Kolmogorov–Arnoldの表現定理

下の def-ka-separating の意味で、すべての $\delta>0$ について分離被覆をもつ内関数の族が存在する（prop-ka-inner）。そのような族を 1 つとると、prop-ka-reduction により、任意の連続関数 $f\colon[0,1]^n\to\mathbb{R}$ はこの族による表示をもつ。内関数の族は $f$ を見る前に選んであるので、主張が従う。$\square$

$M=0$ なら $v_q=0$ でよい。$M>0$ とし、$\varepsilon:=\dfrac1{2r}$ とおく。$h$ は $K$ 上で一様連続なので（一様連続 の定理「Heine–Cantorの定理」）、$\delta>0$ を $|x-y|<\delta$ なら $|h(x)-h(y)|<\varepsilon M$ となるようにとる。この $\delta$ の分離被覆 $B_{q,j}$、$J_{q,j}$ をとり、各 $B_{q,j}$ から点 $z_{q,j}$ を 1 つ選ぶ。
外関数の候補． 色 $q$ を固定する。色 $q$ の箱が 1 つもなければ $v_q:=0$ とする（このとき色 $q$ はどの $x$ についても下の悪い色である）。区間 $J_{q,j}$ は有限個で互いに交わらない閉区間なので、左から順に並べられる。$v_q$ を、各 $J_{q,j}$ の上で定数 $h(z_{q,j})/r$、隣り合う 2 つの区間のあいだでは両端の値を結ぶ 1 次関数、すべての区間より左（右）では最も左（右）の区間の値に等しい定数と定める。$v_q$ は有限個の区間でつないだ連続関数で、その値はどれも $h(z_{q,j})/r$ の間にあるから $\|v_q\|_\infty\le M/r$ である。
誤差の評価． $x\in K$ を固定し、$x$ を含む箱 $B_{q,j}$ がある色 $q$ をよい色、そうでない色を悪い色と呼ぶ。よい色の個数を $k$ とすると、分離被覆の 3 により $k\ge n+1$、したがって悪い色は $r-k\le n$ 個である。
よい色 $q$ について、$x\in B_{q,j}$ とすると $u_q(x)\in J_{q,j}$ なので $v_q(u_q(x))=h(z_{q,j})/r$ である。同じ色の $J$ は交わらないので、この $j$ は $u_q(x)$ だけで決まる。$|x-z_{q,j}|\le\operatorname{diam}B_{q,j}<\delta$ から
$$ \Bigl|v_q(u_q(x))-\frac{h(x)}{r}\Bigr|=\frac{|h(z_{q,j})-h(x)|}{r}<\frac{\varepsilon M}{r}. $$
悪い色 $q$ については、$|v_q|\le M/r$ と $|h(x)|\le M$ から $\bigl|v_q(u_q(x))-h(x)/r\bigr|\le 2M/r$ である。$h(x)=\sum_q h(x)/r$ と書いて足し合わせると
$$ \Bigl|h(x)-\sum_{q}v_q(u_q(x))\Bigr|\le k\cdot\frac{\varepsilon M}{r}+(r-k)\cdot\frac{2M}{r}\le\varepsilon M+\frac{2n}{2n+1}M=\frac{4n+1}{4n+2}M. $$
ここで $k\le r$ と $r-k\le n$ を使った。$x$ は任意なので主張が従う。$\square$

$h_0:=f$ とし、$m\ge0$ について $h_m$ が連続関数として定まったら、lem-ka-step を $h_m$ に当てはめて得た外関数の候補を $v_{q,m}$ とし、
$$ h_{m+1}:=h_m-\sum_{q=0}^{2n}v_{q,m}\circ u_q $$
とおく。$u_q$ と $v_{q,m}$ は連続なので $h_{m+1}$ も連続である。帰納法により $\|h_m\|_\infty\le\theta^m\|f\|_\infty$、$\|v_{q,m}\|_\infty\le\theta^m\|f\|_\infty/r$ である。
$0\le\theta<1$ なので $\sum_m\theta^m\|f\|_\infty/r$ は収束し、一様収束 の定理「Weierstrassの優級数判定法」により $\Psi_q:=\sum_{m\ge0}v_{q,m}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束する。各項は連続なので、同記事の定理「連続関数の一様極限の連続性」により $\Psi_q$ は $\mathbb{R}$ 上で連続である。
定義を足し合わせると、各 $N$ について
$$ f-\sum_{q=0}^{2n}\Bigl(\sum_{m=0}^{N-1}v_{q,m}\Bigr)\circ u_q=h_N $$
であり、$\|h_N\|_\infty\le\theta^N\|f\|_\infty\to0$ である。左辺は各 $x$ で $f(x)-\sum_q\Psi_q(u_q(x))$ に収束するので、$f=\sum_q\Psi_q\circ u_q$ が $K$ 上で成り立つ。$\square$

1：$0\le q\le 2n\le3n-1$ なので $(q+1)d\le3nd=s$ であり、開区間 $(js+qd,js+(q+1)d)$ は、$(js,(j+1)s)$ を長さ $d$ の $3n$ 個の開区間に分けたうちの $q$ 番目（$0$ から数える）に含まれる。色が違えば番目が違い、$j$ が違えば $(js,(j+1)s)$ が交わらないので、$G_q$ と $G_{q'}$ は交わらない。
2：要点は、$0$ と $1$ が $G_q$ に属さないことである。

要点：$\lambda=(a_1+t,a_2+t^2,\dots,a_M+t^M)$ とずらすと、各 $\ell_\rho(\lambda)$ は $t$ の $0$ でない多項式になり、根は有限個である。

要点：各区間 $A_{q,a}$ の左端での $g_{p,q}$ の値を lem-ka-perturb で $\eta$ 未満だけずらして定数値 $\lambda_{p,q,a}$ とし、区間のあいだを 1 次関数でつなぐ。ずれは「値のずらし $\eta$」と「$L$ と刻み幅の積」で押さえられる。

再帰． 区分 1 次関数の族 $\varphi^{(k)}_{p,q}$ と正の数 $b_k$（$k=0,1,2,\dots$）を作る。$\varphi^{(0)}_{p,q}:=0$、$b_0:=1$ とする。$k\ge1$ で $\varphi^{(k-1)}$ と $b_{k-1}$ ができたとし、$L$ を族 $\varphi^{(k-1)}_{p,q}$ に共通の Lipschitz 定数（傾きの絶対値の最大）、$\eta_k:=b_{k-1}/32$ とする。整数 $N_k\ge2$ を
$$ \frac{2L}{N_k}\le\eta_k,\qquad\frac{\sqrt n}{N_k}<2^{-k} $$
となるようにとり、lem-ka-flatten を $g=\varphi^{(k-1)}$、$\eta=\eta_k$、$N=N_k$ に当てはめて得た $g'$ を $\varphi^{(k)}$ とする。この段の区間・箱・値を $A^{(k)}_{q,a}$、$B^{(k)}_{q,\alpha}$、$\lambda^{(k)}_{p,q,a}$、$c^{(k)}_{q,\alpha}$ と書く。
$$ \|\varphi^{(k)}_{p,q}-\varphi^{(k-1)}_{p,q}\|_\infty<2\eta_k=\frac{b_{k-1}}{16} $$
である。同じ色の相異なる箱の $c^{(k)}$ の差の絶対値の最小を $D_k>0$ とし（比べる組がなければ $D_k:=1$）、
$$ b_k:=\min\Bigl\{\frac{b_{k-1}}2,\ \frac{D_k}{2n}\Bigr\} $$
とおく。$b_k$ は第 $k$ 段の値が決まったあとに決まり、後の段の関数を使わない。
極限． $b_{k+j}\le2^{-j}b_k$ なので
$$ \sum_{i=k+1}^{\infty}\|\varphi^{(i)}_{p,q}-\varphi^{(i-1)}_{p,q}\|_\infty\le\sum_{j=0}^{\infty}\frac{b_{k+j}}{16}\le\frac{b_k}{8}. $$
とくに級数 $\sum_{i\ge1}(\varphi^{(i)}_{p,q}-\varphi^{(i-1)}_{p,q})$ は 一様収束 の定理「Weierstrassの優級数判定法」により $[0,1]$ 上で一様収束する。その第 $k$ 部分和が $\varphi^{(k)}_{p,q}$ なので、$\varphi^{(k)}_{p,q}$ は一様収束し、極限 $\varphi_{p,q}$ は連続で（同記事の定理「連続関数の一様極限の連続性」）、すべての $k$ で $\|\varphi_{p,q}-\varphi^{(k)}_{p,q}\|_\infty\le b_k/8$ である。
分離被覆． $\delta>0$ を与え、$2^{-k}<\delta$ となる $k\ge1$ をとる。$x\in B^{(k)}_{q,\alpha}$ なら $\varphi^{(k)}_{p,q}(x_p)=\lambda^{(k)}_{p,q,\alpha_p}$ なので $\sum_p\varphi^{(k)}_{p,q}(x_p)=c^{(k)}_{q,\alpha}$ であり、
$$ \bigl|u_q(x)-c^{(k)}_{q,\alpha}\bigr|\le\sum_{p=1}^{n}\|\varphi_{p,q}-\varphi^{(k)}_{p,q}\|_\infty\le\frac{nb_k}{8}. $$
そこで $J^{(k)}_{q,\alpha}:=\bigl[c^{(k)}_{q,\alpha}-nb_k/8,\ c^{(k)}_{q,\alpha}+nb_k/8\bigr]$ とおく。同じ色の相異なる $\alpha,\alpha'$ について中心の距離は $D_k$ 以上であり、$D_k\ge2nb_k$ は半径の和 $nb_k/4$ より大きいので、$J^{(k)}_{q,\alpha}$ と $J^{(k)}_{q,\alpha'}$ は交わらない。箱 $B^{(k)}_{q,\alpha}$ は空でないコンパクト集合で、直径は $\sqrt n/N_k$ 以下で $\sqrt n/N_k<2^{-k}<\delta$ であり、lem-ka-colored-cover の 3 により $n+1$ 重の被覆の条件もみたす。よって極限の族は尺度 $\delta$ の分離被覆をもつ。$\delta$ は任意である。$\square$