完全環

1 ⇒ 2：$M\neq0$ で $IM=M$ と仮定し、$I$ の元の列 $a_1,a_2,\dots$ と $M$ の元の列 $m_1,m_2,\dots$ で、すべての $n$ について
$$ a_1a_2\cdots a_nm_n\neq0 $$
となるものを順に作る。$IM=M\neq0$ なので $a_1m_1\neq0$ となる $a_1\in I$、$m_1\in M$ がある。$a_1\cdots a_nm_n\neq0$ まで作れたとする。$m_n\in M=IM$ なので $m_n=\sum_{l=1}^rb_ly_l$（$b_l\in I$、$y_l\in M$）と書け、
$$ 0\neq a_1\cdots a_nm_n=\sum_{l=1}^ra_1\cdots a_nb_ly_l $$
だから、ある $l$ で $a_1\cdots a_nb_ly_l\neq0$ である。$a_{n+1}:=b_l$、$m_{n+1}:=y_l$ とおけばよい。こうして得た列ではすべての $n$ で $a_1\cdots a_n\neq0$ となり、1 に反する。
2 ⇒ 1：$I$ の元の列 $a_1,a_2,\dots$ で、すべての $n$ について $a_1a_2\cdots a_n\neq0$ となるものがあるとする。基底 $x_1,x_2,\dots$ をもつ自由加群 $F$ と、元 $x_n-a_nx_{n+1}$（$n\ge1$）で生成される部分加群 $G$ をとり、$M:=F/G$、$z_n:=x_n+G$ とおく。$z_n=a_nz_{n+1}\in IM$ であり、$M$ は $z_1,z_2,\dots$ で生成されるので $IM=M$ である。
$M\neq0$、すなわち $x_1\notin G$ を示す。$x_1\in G$ なら、ある $q$ と $r_1,\dots,r_q\in R$ で
$$ x_1=\sum_{n=1}^qr_n(x_n-a_nx_{n+1}) $$
と書ける。基底の係数を比べると、$x_1$ の係数から $r_1=1$、$2\le n\le q$ の $x_n$ の係数から $r_n=r_{n-1}a_{n-1}$、$x_{q+1}$ の係数から $r_qa_q=0$ である。前の 2 つから $r_n=a_1a_2\cdots a_{n-1}$ なので、最後の式は $a_1a_2\cdots a_q=0$ となり、仮定に反する。よって $M\neq0$ で $IM=M$ となり、2 に反する。$\square$

1：$L+JM=M$ なら $J(M/L)=M/L$ なので、thm-pfr-nakayama により $M/L=0$ である。
2：$M\neq0$ なら $JM\neq M$ であり、$M/JM$ は半単純環 $\bar R$ 上の $0$ でない加群なので単純加群の直和である（半単純環 の記事の定理「加群による特徴づけ」）。1 つの直和成分を除いた残りの和の、$M$ での逆像が極大部分加群である。$\square$

$M/JM$ は半単純環 $\bar R$ 上の加群なので、単純加群の族の直和 $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda$ と同型である（半単純環 の記事の定理「加群による特徴づけ」）。半完全環 の記事の定理「半完全環上の射影被覆」の 2 により、各 $S_\lambda$ はある $Re_{i(\lambda)}/Je_{i(\lambda)}$ と同型である。
$$ P:=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}Re_{i(\lambda)} $$
とおくと、$P$ は射影加群であり、$JP=\bigoplus_\lambda Je_{i(\lambda)}$ なので同型 $\theta\colon P/JP\to M/JM$ がある。$P$ は射影的なので、自然な全射 $\pi_P\colon P\to P/JP$、$\pi_M\colon M\to M/JM$ について $\pi_M\circ f=\theta\circ\pi_P$ となる準同型 $f\colon P\to M$ がある。
$\theta\circ\pi_P$ は全射なので $f(P)+JM=M$ であり、cor-pfr-radical の 1 により $f(P)=M$ である。また $\ker f\subset\ker(\theta\circ\pi_P)=JP$ である。部分加群 $L\subset P$ が $L+\ker f=P$ を満たせば $L+JP=P$ であり、cor-pfr-radical の 1（加群 $P$ に適用）により $L=P$ である。よって $\ker f$ は余分であり、$f$ は射影被覆である。$\square$

1：$x\in N$ の $0$ でない成分が $i,j\le m$ の範囲にあれば、$x$ は $m$ 次の狭義下三角行列とみなせるので $x^m=0$ である。よって $c\neq0$ なら $(c+x)^{-1}=c^{-1}\sum_{l=0}^{m-1}(-c^{-1}x)^l$ が存在し、$N$ の元は冪零なので単元でない（$x$ が単元で $x^m=0$ なら $1=0$ となる）。単元でない元の全体は両側イデアル $N$ なので $R$ は局所環であり、真の左イデアルは単元を含まないから $N$ に含まれ、$N$ がただ 1 つの極大左イデアル、すなわち $J=N$ である。$\bar R=R/N\cong k$ は体なので半単純である。
2：$a_1\in N$ の $0$ でない成分がすべて第 $q-1$ 列以前にあるとする（$q\ge1$）。$y$ の $0$ でない成分が第 $d$ 列以前にあれば、$a\in N$ について $(ya)_{ij}=\sum_ly_{il}a_{lj}$ が $0$ でないには $l\le d$ かつ $j< l$ が要るので、$ya$ の $0$ でない成分は第 $d-1$ 列以前にある。よって $a_1a_2\cdots a_n$ の $0$ でない成分は第 $q-n$ 列以前にあり、$a_1a_2\cdots a_q=0$ である。
3：$E_{ij}$ を $(i,j)$ 成分だけが $1$ の行列とし、$a_n:=E_{n+1,n}\in N$ とすると、$a_na_{n-1}\cdots a_1=E_{n+1,n}E_{n,n-1}\cdots E_{2,1}=E_{n+1,1}\neq0$ である。$\square$

1：$R$ の左イデアルは各成分の左イデアルの直積 $\prod_iI_i$ の形である（$I\ni a$ なら、$i$ 成分だけが $1$ の中心的冪等元 $\epsilon_i$ について $\epsilon_ia\in I$）。よって極大左イデアルは 1 つの成分だけが極大左イデアルで残りが全体のものであり、$J(R)=\prod_iJ(R_i)$、$R/J(R)\cong\prod_iR_i/J(R_i)$ である。半単純環の有限直積は半単純であり、逆に半単純環の剰余環は半単純なので（半単純環 の記事の補題「補部分加群の存在」の 2）、$\bar R$ が半単純であることと各 $R_i/J(R_i)$ が半単純であることは同値である。$J(R)$ の元の列の積は成分ごとに計算され、一度 $0$ になった積は右から何を掛けても $0$ のままなので、各成分の列の積がそれぞれある番号で $0$ になれば、その番号の最大値で全体が $0$ になる。逆に $J(R_i)$ の列は、ほかの成分を $0$ とすれば $J(R)$ の列になる。よって $J(R)$ が左 T 冪零であることと各 $J(R_i)$ が左 T 冪零であることは同値である。
2：完全環は半完全環なので、半完全環 の記事の命題「可換な半完全環」により有限個の局所環の直積 $\prod_iR_i$ に同型であり、1 により各 $R_i$ は完全環、すなわち極大イデアル $J(R_i)$ が T 冪零である。逆に、そのような局所環 $R_i$ は $R_i/J(R_i)$ が体なので完全環であり、1 により直積も完全環である。$\square$