超関数

同義語：Schwartz超関数distribution

概要

前提知識: 多変数微分積分, Lebesgue積分, 位相線形空間, 線形汎関数

超関数を導入する理由

古典的な関数は、跳びや角をもつと通常の意味では微分できない。しかし、偏微分方程式では不連続な解や点に集中した源を扱いたい。そこで関数そのものの点ごとの値ではなく、滑らかでコンパクトな台をもつ関数との積分
$$ \varphi\longmapsto\int f(x)\varphi(x)\,dx $$
だけを記録する。この見方を抽象化したものが超関数である。微分をテスト関数側へ移すことで、すべての超関数を何度でも微分できる。
本記事でいう超関数は Schwartz の distribution であり、日本語で hyperfunction と呼ばれる佐藤超関数とは別の概念である。

テスト関数と超関数

$\Omega\subset\mathbb R^n$ を開集合とし、
$$ \mathcal D(\Omega):=C_c^\infty(\Omega) $$
を $\Omega$ 上のテスト関数空間という。コンパクト集合 $K\subset\Omega$ に対し
$$ \mathcal D_K(\Omega):=\{\varphi\in C_c^\infty(\Omega):\operatorname{supp}\varphi\subset K\} $$
とおく。多重指数 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ に対して $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$、$\partial^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$ と書く。
各 $\mathcal D_K(\Omega)$ に半ノルム
$$ p_{K,m}(\varphi):=\max_{|\alpha|\le m}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)| \qquad(m=0,1,2,\ldots) $$
が定める Fréchet 位相を入れ、$\mathcal D(\Omega)$ にはこれらの空間の局所凸帰納極限位相を入れる。この位相でテスト関数列 $\varphi_j$ が $0$ に収束することは、あるコンパクト集合 $K\subset\Omega$ が存在してすべての $\operatorname{supp}\varphi_j$ が $K$ に含まれ、任意の多重指数 $\alpha$ について
$$ \sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi_j(x)|\longrightarrow0 $$
となることと同値である。

超関数

$\Omega$ 上の超関数（distribution）とは、$\mathcal D(\Omega)$ 上の連続線形汎関数
$$ u\colon\mathcal D(\Omega)\longrightarrow\mathbb C $$
のことである。超関数全体を $\mathcal D'(\Omega)$ と書き、$u$ の $\varphi$ における値を $\langle u,\varphi\rangle$ と表す。
連続性は次の評価と同値である。任意のコンパクト集合 $K\subset\Omega$ に対し、ある定数 $C_K>0$ と非負整数 $m_K$ が存在し、すべての $\varphi\in\mathcal D_K(\Omega)$ について
$$ |\langle u,\varphi\rangle| \le C_K\max_{|\alpha|\le m_K}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)| $$
が成り立つ。

超関数の収束

超関数列 $(u_j)$ が $u\in\mathcal D'(\Omega)$ に収束するとは、すべての $\varphi\in\mathcal D(\Omega)$ に対して
$$ \langle u_j,\varphi\rangle\longrightarrow\langle u,\varphi\rangle $$
となることをいう。これは $\mathcal D'(\Omega)$ の弱い意味での収束であり、関数の点ごとの収束とは異なる。

関数と測度から作る超関数

正則超関数

$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に対し
$$ \langle T_f,\varphi\rangle:=\int_\Omega f(x)\varphi(x)\,dx $$
と定めると $T_f\in\mathcal D'(\Omega)$ である。この形の超関数を正則超関数という。$f$ と $T_f$ を同一視して、$L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)\subset\mathcal D'(\Omega)$ と書くことが多い。

局所可積分関数の埋め込みは単射

$f,g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に対し $T_f=T_g$ ならば、$f=g$ がほとんど至る所で成り立つ。

$h=f-g$ とおく。非負で積分が $1$ のテスト関数 $\rho\in\mathcal D(\mathbb R^n)$ を単位球内に台をもつように選び、$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$ とする。$x$ の閉 $\varepsilon$-球が $\Omega$ に含まれるとき、$y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ はテスト関数だから
$$ (h*\rho_\varepsilon)(x) =\int_\Omega h(y)\rho_\varepsilon(x-y)\,dy=0 $$
である。近似単位の定理により $h*\rho_\varepsilon\to h$ は $L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ で収束する。左辺は十分小さい $\varepsilon$ について恒等的に $0$ なので $h=0$ がほとんど至る所で成り立つ。$\square$

Diracのデルタ超関数

$a\in\Omega$ に対し
$$ \langle\delta_a,\varphi\rangle:=\varphi(a) $$
と定めると、$|\langle\delta_a,\varphi\rangle|\le\sup_K|\varphi|$ より $\delta_a\in\mathcal D'(\Omega)$ である。これは点 $a$ に集中した単位質量を表し、Dirac のデルタ超関数という。より一般に、局所有限な複素 Radon 測度 $\mu$ は
$$ \langle T_\mu,\varphi\rangle=\int_\Omega\varphi\,d\mu $$
によって超関数を定める。

反例：Diracのデルタは局所可積分関数ではない

$\delta_0=T_f$ となる $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$ は存在しない。
実際、$\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)$ を $\varphi(0)=1$、$\operatorname{supp}\varphi\subset\{x:|x|\le1\}$ となるように取り、$\varphi_\varepsilon(x)=\varphi(x/\varepsilon)$ とする。すると
$$ \langle\delta_0,\varphi_\varepsilon\rangle=1 $$
である。一方、$|\varphi_\varepsilon|\le\|\varphi\|_\infty$ かつ台が半径 $\varepsilon$ の球に含まれるので、Lebesgue 積分の絶対連続性から
$$ |\langle T_f,\varphi_\varepsilon\rangle| \le\|\varphi\|_\infty\int_{|x|\le\varepsilon}|f(x)|\,dx\longrightarrow0. $$
両者は一致しない。したがって超関数は単に「非常に不連続な関数」なのではなく、局所可積分関数を真に拡張した対象である。

超関数の微分

超関数微分

$u\in\mathcal D'(\Omega)$ と多重指数 $\alpha$ に対し、$u$ の超関数微分を
$$ \langle\partial^\alpha u,\varphi\rangle :=(-1)^{|\alpha|}\langle u,\partial^\alpha\varphi\rangle $$
で定める。

符号 $(-1)^{|\alpha|}$ は境界項のない部分積分に由来する。この定義により、古典的に微分できない対象も任意の階数だけ微分できる。

超関数微分は超関数であり古典微分を延長する

$u\in\mathcal D'(\Omega)$ なら $\partial^\alpha u\in\mathcal D'(\Omega)$ である。また $f\in C^{|\alpha|}(\Omega)$ なら
$$ \partial^\alpha T_f=T_{\partial^\alpha f} $$
が成り立つ。

$u$ がコンパクト集合 $K$ 上で次数 $m_K$ の連続性評価を満たすとする。すると
$$ |\langle\partial^\alpha u,\varphi\rangle| =|\langle u,\partial^\alpha\varphi\rangle| \le C_K\max_{|\beta|\le m_K}\sup_K|\partial^{\alpha+\beta}\varphi| \le C_K\max_{|\gamma|\le m_K+|\alpha|}\sup_K|\partial^\gamma\varphi| $$
だから、$\partial^\alpha u$ は超関数である。
$f\in C^{|\alpha|}(\Omega)$ の場合、$\varphi$ はコンパクトな台をもつので境界項は消え、部分積分を $|\alpha|$ 回行えば
$$ \langle\partial^\alpha T_f,\varphi\rangle =(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega f\,\partial^\alpha\varphi\,dx =\int_\Omega(\partial^\alpha f)\varphi\,dx =\langle T_{\partial^\alpha f},\varphi\rangle $$
を得る。$\square$

Heaviside関数の微分

Heaviside 関数
$$ H(x)=\begin{cases}0&(x<0),\\1&(x>0) \end{cases} $$
は $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)$ に属する。任意の $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ に対し
$$ \langle H',\varphi\rangle =-\int_0^\infty\varphi'(x)\,dx =\varphi(0) =\langle\delta_0,\varphi\rangle $$
だから、超関数の意味で $H'=\delta_0$ である。跳びの大きさがデルタ超関数として微分に現れる。

滑らかな関数との積

一般の2つの超関数の積は、整合的には定義できない。しかし一方が滑らかなら積を定義できる。

滑らかな関数と超関数の積

$a\in C^\infty(\Omega)$、$u\in\mathcal D'(\Omega)$ に対して
$$ \langle au,\varphi\rangle:=\langle u,a\varphi\rangle $$
と定める。$a\varphi$ は再び $\mathcal D(\Omega)$ に属するので、これは超関数を定める。

超関数に対するLeibniz則

$a\in C^\infty(\Omega)$、$u\in\mathcal D'(\Omega)$ と多重指数 $\alpha$ に対し
$$ \partial^\alpha(au) =\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta} (\partial^\beta a)(\partial^{\alpha-\beta}u) $$
が成り立つ。

まず $|\alpha|=1$、例えば $\alpha=e_j$ の場合を示す。任意のテスト関数 $\varphi$ に対し
$$ \begin{aligned} \langle\partial_j(au),\varphi\rangle &=-\langle u,a\partial_j\varphi\rangle\\ &=-\langle u,\partial_j(a\varphi)-(\partial_ja)\varphi\rangle\\ &=\langle a\partial_ju,\varphi\rangle +\langle(\partial_ja)u,\varphi\rangle. \end{aligned} $$
よって $\partial_j(au)=a\partial_ju+(\partial_ja)u$ である。これを各座標方向に $|\alpha|$ 回反復し、同じ微分の分配の仕方をまとめると、多重二項係数 $\binom{\alpha}{\beta}$ が現れて表示式を得る。$\square$

超関数どうしの積が一般にはないこと

$H'=\delta_0$ を用いて形式的に $H^2=H$ を微分すると $2H\delta_0=\delta_0$ となる。しかし $H$ は $0$ で不連続なので、上の定義は $H\delta_0$ を定めない。$H(0)$ の代表値を任意に選んでも、$L^1_{\mathrm{loc}}$ 関数として同じ $H$ が異なる積を与えてしまう。この現象は、超関数どうしの積を常に定義できると考えてはいけないことを示す。積が必要な場合は、滑らかさ、波面集合など追加条件を明示する。

制限・台・変数変換

開集合 $U\subset\Omega$ と $u\in\mathcal D'(\Omega)$ に対し、テスト関数 $\varphi\in\mathcal D(U)$ を $\Omega$ 上で $0$ 延長して
$$ \langle u|_U,\varphi\rangle:=\langle u,\varphi\rangle $$
と定める。これを $u$ の $U$ への制限という。$u|_U=0$ となる開集合をすべて合わせた最大の開集合を $Z(u)$ とし、
$$ \operatorname{supp}u:=\Omega\setminus Z(u) $$
を $u$ の台という。正則超関数 $T_f$ の台は、$f=0$ がほとんど至る所で成り立つ最大の開集合の補集合であり、$\operatorname{supp}\delta_a=\{a\}$ である。
微分同相 $F\colon\Omega\to\Omega'$ と $u\in\mathcal D'(\Omega')$ に対し、引き戻し $F^*u\in\mathcal D'(\Omega)$ を
$$ \langle F^*u,\varphi\rangle :=\left\langle u, (\varphi\,|\det DF|^{-1})\circ F^{-1} \right\rangle $$
で定める。この Jacobian 因子により、正則超関数について $F^*T_f=T_{f\circ F}$ となる。任意の滑らかな写像による引き戻しは常に定義できるわけではなく、一般の場合には波面集合に関する条件が必要であるHor90。

どの空間を使うか

$\mathcal D'(\Omega)$ は局所的な微分と偏微分方程式に適している。一方、$\mathbb R^n$ 全体で Fourier 変換を扱うときは、急減少関数の空間 $\mathcal S(\mathbb R^n)$ とその連続双対 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$、すなわち緩増加超関数を使う。コンパクトな台をもつ超関数は $\mathcal E'(\Omega)$ と書かれ、畳み込みや Fourier–Laplace 変換で特別な性質をもつ。これらは同じ目的の別名ではなく、テスト関数空間の選び方が異なる別のクラスであるFJ98。