双有理不変量
概要
双有理不変量（birational invariant）とは、多様体のあるクラスの上の量で、双有理同値な 2 つの多様体で必ず一致するものである。体 $k$ 上の滑らかな固有多様体では、微分形式のテンソル $\Omega^p$、$(\Omega^1)^{\otimes m}$、$S^m\Omega^1$、$\omega^{\otimes m}$（$m\ge1$）の大域切断の次元がそうであり、とくに幾何種数と多重種数は双有理不変量である。証明は、有理写像の不確定点が余次元 $2$ 以上にしか現れないことと、局所自由層の切断がそこを越えて延びることによる。有理多様体ではこれらがすべて $0$ になり、有理でないことの判定に使われる。
何を捉える概念か
2 つの多様体が双有理同値であることを示すには、双有理写像を 1 つ作ればよい（双有理写像）。逆に双有理同値でないことを示すには、ありうる有理写像をすべて調べる代わりに、双有理同値な多様体の間で必ず一致する量を 1 つ見つけ、その値が違うことを示せばよい。そのような量が双有理不変量である。
関数体とその超越次数（次元）は定義からすぐに双有理不変量だが、それだけでは幾何がほとんど見えない。この記事の主題は、滑らかな固有多様体の上の微分形式の大域切断の次元が双有理不変量になることである。
| 問い | 答え |
|---|---|
| どんな量が双有理不変か | 滑らかな固有多様体の $h^0(\Omega^p)$、$h^0((\Omega^1)^{\otimes m})$、$h^0(S^m\Omega^1)$、多重種数 $h^0(\omega^{\otimes m})$（$m\ge1$）（thm-birational-invariants-main） |
| なぜ不変か | 有理写像の不確定点は余次元 $2$ 以上にしか現れず（lem-birational-invariants-domain）、局所自由層の切断はそのような集合を越えて延びるから |
| 何に使えるか | 有理多様体ではこれらがすべて $0$ になる（cor-birational-invariants-rational）。曲線と射影直線の積 $C\times\mathbb{P}^1$ の双有理同値類は $C$ の種数で分かれる（ex-birational-invariants-ruled） |
| 何が不変でないか | Picard 群の階数、$K^2$、負の冪の $h^0(\omega^{\otimes(-1)})$ などは双有理同値な多様体の間で値が変わる（ex-birational-invariants-not、反例の表） |
定義
定義はクラス $\mathcal{C}$ に依存する。この記事でおもに使うのは「$k$ 上の滑らかな固有多様体」のクラスである。どのクラスでも、関数体 $K(X)$ の $k$ 代数としての同型類と、その超越次数 $\dim X$ は双有理不変量である（双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」）。
滑らかな多様体の上では、微分形式からいくつもの局所自由層が作られる。
$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の滑らかな多様体とする。微分形式の層 $\Omega^1_X:=\Omega^1_{X/k}$ は階数 $n$ の局所自由層である（Kähler微分）。$m\ge1$、$1\le p\le n$ について、局所自由層
$$
(\Omega^1_X)^{\otimes m},\qquad S^m\Omega^1_X,\qquad \Omega^p_X:={\textstyle\bigwedge^p}\Omega^1_X,\qquad \omega_X^{\otimes m}\quad(\omega_X:=\Omega^n_X)
$$
のどれか 1 つを $\mathcal{T}(\Omega^1_X)$ と書き、$\mathcal{T}$ をテンソル構成という。$X$ が $k$ 上固有なら $h^0(X,\mathcal{T}(\Omega^1_X)):=\dim_kH^0(X,\mathcal{T}(\Omega^1_X))$ は有限である（固有射による連接層の順像は連接である。EGA3 3.2.1）。$P_m(X):=h^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ を $m$ 重種数、$p_g(X):=P_1(X)$ を幾何種数という（多重種数）。
テンソル構成 $\mathcal{T}$ は、局所自由層 $\mathcal{E}$ に局所自由層 $\mathcal{T}(\mathcal{E})$ を、$\mathcal{O}$ 線形な射 $u\colon\mathcal{E}\to\mathcal{F}$ に射 $\mathcal{T}(u)\colon\mathcal{T}(\mathcal{E})\to\mathcal{T}(\mathcal{F})$ を対応させ、合成と恒等射を保つ。また射 $g\colon V\to X$ による引き戻しと交換する（$g^*\mathcal{T}(\mathcal{E})\cong\mathcal{T}(g^*\mathcal{E})$）。以下ではこの 2 つの性質だけを使う。
主定理
証明の鍵は次の 2 つの補題である。1 つ目は「有理写像は余次元 $1$ の点ではつねに定義される」ことである。
$X$ を $k$ 上の正規な多様体、$Y$ を $k$ 上固有な多様体、$f\colon X\dashrightarrow Y$ を有理写像とする。$f$ の不確定点の集合 $X\setminus\operatorname{dom}(f)$ の各点 $x$ で $\dim\mathcal{O}_{X,x}\ge2$ である。すなわち不確定点の集合は余次元 $2$ 以上である。
$x\in X$ で $\dim\mathcal{O}_{X,x}\le1$ とし、$x\in\operatorname{dom}(f)$ を示す。$\dim\mathcal{O}_{X,x}=0$ なら $x$ は生成点で、生成点は $f$ のどの代表の定義域にも入る。$\dim\mathcal{O}_{X,x}=1$ とする。$R:=\mathcal{O}_{X,x}$ は Krull 次元 $1$ の Noether 局所整域で、$X$ が正規なので整閉である。よって $R$ は離散付値環であり（離散付値環 の定理「整閉性による特徴づけ」）、その商体は $K(X)$ である。
$f$ の代表と生成点の合成 $u\colon\operatorname{Spec}K(X)\to Y$、包含 $R\subset K(X)$ が定める $i\colon\operatorname{Spec}K(X)\to\operatorname{Spec}R$ をとる。$u$ は $k$ 上の射なので、$(u,\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}k)$ は構造射 $Y\to\operatorname{Spec}k$ に対する付値環の図式である。$Y$ は $k$ 上固有で Noether なので、付値判定法 の定理「固有性の付値判定法」により、$k$ 上の射 $t\colon\operatorname{Spec}R\to Y$ で $t\circ i=u$ となるものがある。双有理写像 の命題「局所環による定義域の判定」により $x\in\operatorname{dom}(f)$ である。
したがって閉集合 $Z:=X\setminus\operatorname{dom}(f)$ の点 $x$ はすべて $\dim\mathcal{O}_{X,x}\ge2$ をみたす。$Z$ の既約成分の生成点 $z$ について $\dim\mathcal{O}_{X,z}$ はその成分の余次元なので、$Z$ は余次元 $2$ 以上である。$\square$
2 つ目は代数的 Hartogs の定理で、双有理幾何学 の補題「局所自由層の切断の延長」で証明されている。$X$ を正規な Noether 整スキーム、$U\subset X$ を補集合が余次元 $2$ 以上の開集合、$\mathcal{E}$ を有限階数の局所自由層とすると、制限 $H^0(X,\mathcal{E})\to H^0(U,\mathcal{E})$ は全単射である。
$X,Y$ を $k$ 上の滑らかな固有多様体とし、双有理同値であるとする。$\mathcal{T}$ を def-birational-invariants-tensor のテンソル構成とすると
$$
h^0(X,\mathcal{T}(\Omega^1_X))=h^0(Y,\mathcal{T}(\Omega^1_Y))
$$
である。とくに $h^0(X,\Omega^p_X)$（$1\le p\le\dim X$）、幾何種数、すべての $m\ge1$ の多重種数 $P_m$ は、滑らかな固有多様体のクラスの上の双有理不変量である。
$\varphi\colon X\dashrightarrow Y$ を双有理写像とし、$U:=\operatorname{dom}(\varphi)$、$g\colon U\to Y$ をその上の射とする。双有理同値な多様体の次元は等しいので $n:=\dim X=\dim Y$ である。
引き戻し．微分形式の引き戻し $g^*\Omega^1_Y\to\Omega^1_U$（Kähler微分 の注意「スキームでの形」の第 1 基本完全列の左の射）は、階数 $n$ の局所自由層の間の射である。これに $\mathcal{T}$ を当てると $g^*\mathcal{T}(\Omega^1_Y)\cong\mathcal{T}(g^*\Omega^1_Y)\to\mathcal{T}(\Omega^1_U)$ を得て、大域切断の上の線形写像
$$
\Phi\colon H^0(Y,\mathcal{T}(\Omega^1_Y))\xrightarrow{\ g^*\ }H^0(U,\mathcal{T}(\Omega^1_X))\xleftarrow{\ \sim\ }H^0(X,\mathcal{T}(\Omega^1_X))
$$
が定まる。右の矢印は制限で、全単射である。実際、$X$ は滑らかなので正規であり、lem-birational-invariants-domain により $X\setminus U$ は余次元 $2$ 以上だから、代数的 Hartogs の定理が使える。
単射性．双有理写像 の命題「双有理同値と同型な開集合」により、空でない開集合 $V\subset U$ と $V'\subset Y$ で $g|_V\colon V\to V'$ が同型になるものがある。同型による微分形式の引き戻しは同型なので、$g^*\Omega^1_Y\to\Omega^1_U$ は $V$ の上で同型であり、$\mathcal{T}$ を当てたものも $V$ の上で同型である。$s\ne0$ を $H^0(Y,\mathcal{T}(\Omega^1_Y))$ の元とする。$Y$ は整で $\mathcal{T}(\Omega^1_Y)$ は局所自由なので、$s$ の空でない開集合 $V'$ への制限も $0$ でない（局所的に $\mathcal{O}^{\oplus r}$ と同一視すると、整スキームの上の関数は空でない開集合で $0$ なら $0$ である）。よって $g^*s$ の $V$ への制限は $0$ でなく、$\Phi(s)\ne0$ である。
結論．$\Phi$ は単射なので $h^0(Y,\mathcal{T}(\Omega^1_Y))\le h^0(X,\mathcal{T}(\Omega^1_X))$ である（両辺は有限）。逆の双有理写像 $\varphi^{-1}\colon Y\dashrightarrow X$ に同じ議論を当てると逆の不等式を得る。$\square$
証明で使った仮定を整理する。固有性は、余次元 $1$ の点への延長（付値判定法）と次元の有限性に使った。滑らかさは、$\Omega^1$ が局所自由であることと、$X$ が正規であることに使った。$\mathcal{T}$ が「$\Omega^1$ の正の冪」であることは、引き戻しの射 $g^*\Omega^1_Y\to\Omega^1_U$ の向きに使った。双対 $(\Omega^1)^\vee$ や $\omega^{\otimes(-1)}$ には引き戻しの射が向きを変えて存在せず、実際に不変性は崩れる（反例の表）。
$k$ が代数閉体で $X,Y$ が射影的、$\mathcal{T}=\omega$ の場合が Har77 II, Theorem 8.19（p. 181）であり、$\Omega^p$ と $\omega^{\otimes m}$ の場合は同書 II, Exercise 8.8（p. 190）で同じ方法による証明が求められている。多重種数の場合は 双有理幾何学 の定理「多重種数の双有理不変性」でも証明されている。小平次元は多重種数だけで決まるので、これも双有理不変量である（多重種数）。
使い方
$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の滑らかな固有多様体とし、有理である（$\mathbb{P}^n_k$ と双有理同値である）とする。このとき任意のテンソル構成 $\mathcal{T}$ について $h^0(X,\mathcal{T}(\Omega^1_X))=0$ である。とくに $p_g(X)=0$、すべての $m\ge1$ で $P_m(X)=0$、すべての $1\le p\le n$ で $h^0(X,\Omega^p_X)=0$ である。
thm-birational-invariants-main により $X=\mathbb{P}^n_k$ の場合に示せばよい。Euler 列 $0\to\Omega^1_{\mathbb{P}^n}\to\mathcal{E}\to\mathcal{O}\to0$、$\mathcal{E}:=\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}$ がある（Kähler微分 の例「射影空間の Euler 列」）。右端の $\mathcal{O}$ は局所自由なので、この列は局所的に分裂し、$\Omega^1$ は局所的に $\mathcal{E}$ の直和因子である。$\mathcal{E}^{\otimes m}$、$S^m\mathcal{E}$、$\bigwedge^p\mathcal{E}$、$(\bigwedge^n\mathcal{E})^{\otimes m}$ はそれぞれ直和因子の同じ構成を直和因子として含むので、$\mathcal{T}(\Omega^1)\to\mathcal{T}(\mathcal{E})$ は単射である。一方 $\mathcal{T}(\mathcal{E})$ は $\mathcal{O}(-d)$ のいくつかの直和で、$d$ は $m$、$p$、$nm$ のどれかなので $d\ge1$ である。$H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-d))=0$（$d\ge1$。Har77 III, Theorem 5.1, p. 225）だから $H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{T}(\Omega^1))\subset H^0(\mathcal{T}(\mathcal{E}))=0$ である。$\square$
対偶をとると、どれか 1 つのテンソル構成で $h^0>0$ となる滑らかな固有多様体は有理でない。たとえば $\mathbb{P}^3$ の次数 $d\ge4$ の滑らかな曲面 $X$ は $\omega_X\cong\mathcal{O}_X(d-4)$（Har77 II, Example 8.20.3, p. 183）なので $p_g(X)\ge h^0(\mathcal{O}_X)=1$ であり、有理でない。
$k$ を代数閉体、$C$ を種数 $g$ の滑らかな射影曲線とし（$g=h^0(C,\Omega^1_C)$。Serre双対性 により $h^1(C,\mathcal{O}_C)$ に等しい）、$X:=C\times_k\mathbb{P}^1$ とおく。このとき
$$
h^0(X,\Omega^1_X)=g,\qquad P_m(X)=0\quad(m\ge1)
$$
である。したがって $C\times\mathbb{P}^1$ と $C'\times\mathbb{P}^1$ が双有理同値なら $g(C)=g(C')$ であり、$C\times\mathbb{P}^1$ が有理であることと $g=0$ は同値である（$g=0$ なら $C\cong\mathbb{P}^1$ で、$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は有理。双有理写像 の系「曲線の種数は双有理不変量」と例「反例：射影直線の積と射影平面」）。多重種数はすべて $0$ なので、これらの曲面を区別するのは $h^0(\Omega^1)$ である。
要点：$\Omega^1_X\cong p^*\Omega^1_C\oplus q^*\Omega^1_{\mathbb{P}^1}$（$p,q$ は射影）と、大域切断の Künneth 公式による。
計算を開く
積の微分形式：$k$ 代数 $A,B$ と $A\otimes_kB$ 加群 $M$ について、$k$ 導分 $D\colon A\otimes_kB\to M$ は $D_A(a):=D(a\otimes1)$、$D_B(b):=D(1\otimes b)$ の組で決まり、逆に導分の組 $(D_A,D_B)$ から $D(a\otimes b):=(1\otimes b)D_A(a)+(a\otimes1)D_B(b)$ が導分を定める。よって $\operatorname{Der}_k(A\otimes B,M)=\operatorname{Der}_k(A,M)\times\operatorname{Der}_k(B,M)$ であり、Kähler 微分の普遍性から $\Omega_{A\otimes B/k}\cong(\Omega_{A/k}\otimes_kB)\oplus(A\otimes_k\Omega_{B/k})$ である。アフィン開集合の積で貼り合わせて $\Omega^1_X\cong p^*\Omega^1_C\oplus q^*\Omega^1_{\mathbb{P}^1}$ を得る。最高外冪をとると $\omega_X\cong p^*\Omega^1_C\otimes q^*\mathcal{O}(-2)$ である（$\Omega^1_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)$）。
大域切断：多重種数 の補題「大域切断の Künneth 公式」により、$H^0(X,p^*\mathcal{F}\otimes q^*\mathcal{G})=H^0(C,\mathcal{F})\otimes H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{G})$ である。$H^0(C,\mathcal{O}_C)=k$、$H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=k$、$H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2))=0$ だから $h^0(\Omega^1_X)=g\cdot1+1\cdot0=g$ である。また $\omega_X^{\otimes m}=p^*(\Omega^1_C)^{\otimes m}\otimes q^*\mathcal{O}(-2m)$ で $H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2m))=0$ なので $P_m(X)=0$ である。
曲面については、算術種数 $\chi(\mathcal{O}_X)-1$ も代数閉体上の滑らかな射影曲面のクラスの上の双有理不変量である。これは上の方法ではなく、双有理写像をブローアップに分解して示す（曲面の双有理射の分解定理 の系「曲面の算術種数の双有理不変性」）。Brauer 群の双有理不変性は Brauer群の双有理不変性 で扱う。
$k$ を代数閉体、$P\in\mathbb{P}^2$ を点、$\pi\colon\tilde{X}=\mathrm{Bl}_P\mathbb{P}^2\to\mathbb{P}^2$ をそのブローアップとする（ブローアップ）。$\pi$ は双有理射で、$\tilde{X}$ は滑らかな射影曲面である（Har77 V, Proposition 3.1, p. 386）。
- Picard 群：$\operatorname{Pic}\tilde{X}\cong\operatorname{Pic}\mathbb{P}^2\oplus\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}^2$ で、$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^2\cong\mathbb{Z}$ と階数が違う（Har77 V, Proposition 3.2, p. 386）。
- 標準因子の自己交点数：$K_{\tilde{X}}=\pi^*K_{\mathbb{P}^2}+E$ より $K_{\tilde{X}}^2=K_{\mathbb{P}^2}^2-1=9-1=8$ である（Har77 V, Proposition 3.3 と Remark 3.3.1, p. 387）。
どちらもブローアップで $1$ ずつ変わるので、双有理不変量ではない。ブローアップは $\operatorname{Pic}$ に例外曲線の類を 1 つ加えるが、thm-birational-invariants-main の量は変えない。
反例：条件を外すと崩れること
thm-birational-invariants-main の仮定を 1 つずつ外す。どの行も 2 つの多様体は双有理同値である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 固有 | $\mathbb{A}^1$ と $\mathbb{P}^1$ | $h^0(\mathbb{A}^1,\Omega^1)=\infty$、$h^0(\mathbb{P}^1,\Omega^1)=0$ |
| 滑らか | 尖点 3 次曲線 $\bar{C}=V(y^2z-x^3)\subset\mathbb{P}^2$ と $\mathbb{P}^1$ | $h^0(\bar{C},\Omega^1)\ge1$、$h^0(\mathbb{P}^1,\Omega^1)=0$ |
| $\Omega^1$ の正の冪であること | $\omega^{\otimes(-1)}$ を $\mathbb{P}^2$ と $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ で比べる | $h^0(\mathbb{P}^2,\omega^{\otimes(-1)})=10$、$h^0(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1,\omega^{\otimes(-1)})=9$ |
1 行目：開埋め込み $\mathbb{A}^1\hookrightarrow\mathbb{P}^1$ は双有理射である。$\Omega^1_{\mathbb{A}^1}$ は $dx$ を基底とする自由加群 $k[x]\,dx$ で、$k$ 上無限次元である。$h^0(\mathbb{P}^1,\Omega^1)=0$ は cor-birational-invariants-rational による。$\mathbb{A}^1$ は滑らかだが固有でない。
2 行目：$\bar{C}$ は整な射影曲線で、$\{z\ne0\}$ の上では $B=k[x,y]/(y^2-x^3)$ のスペクトル、$\{z=0\}$ の上の唯一の点 $[0:1:0]$ の近くでは $z=x^3$ で滑らかである。$t\mapsto[t^2:t^3:1]$ は $\mathbb{P}^1$ からの双有理射を与える（双有理写像 の例「反例：尖点曲線とアフィン直線」）。Kähler微分 の例「反例：尖点における捩れ元と階数の跳ね上がり」の元 $\omega=2x\,dy-3y\,dx\in\Omega_{B/k}$ は $0$ でなく、$y\omega=0$ をみたす。$y^2=x^3$ より原点以外では $y$ は可逆なので、$\omega$ は $\operatorname{Spec}B$ の原点の外で $0$ である。よって $\omega$ と、$\bar{C}$ から原点を除いた開集合の上の $0$ とは貼り合い、$0$ でない大域切断を与える。したがって $h^0(\bar{C},\Omega^1)\ge1$ である。$\bar{C}$ は固有だが原点で滑らかでない。
3 行目：$\omega_{\mathbb{P}^2}\cong\mathcal{O}(-3)$ なので $h^0(\omega^{\otimes(-1)})=h^0(\mathcal{O}(3))$ は 3 変数の 3 次単項式の個数 $10$ である（Har77 III, Theorem 5.1）。ex-birational-invariants-ruled の計算で $C=\mathbb{P}^1$ とすると $\omega_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}\cong p^*\mathcal{O}(-2)\otimes q^*\mathcal{O}(-2)$ であり、Künneth 公式から $h^0(\omega^{\otimes(-1)})=h^0(\mathcal{O}(2))^2=9$ である。2 つの曲面は双有理同値で（双有理写像 の例「反例：射影直線の積と射影平面」）、どちらも滑らかで射影的である。$\omega^{\otimes(-1)}$ は $\Omega^1$ の双対から作られるので、引き戻しの射が逆向きになり、prf-birational-invariants-main の議論が使えない。
関連項目
参考文献
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