h同境定理

1 を示す（2 はこの記事では証明しない。下の段落を見よ）。$i\colon M_0\to W$ はホモトピー同値なので、すべての $k$ で $i_*\colon H_k(M_0)\to H_k(W)$ は同型である（ホモトピー同値 の命題「基本群・ホモロジーへの帰結」）。対 $(W,M_0)$ の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の定理「対の長完全列」）
$$ H_k(M_0)\xrightarrow{i_*}H_k(W)\xrightarrow{j_*}H_k(W,M_0)\xrightarrow{\partial}H_{k-1}(M_0)\xrightarrow{i_*}H_{k-1}(W) $$
で、左の $i_*$ は全射なので $j_*=0$ であり、$\partial$ は単射である。右の $i_*$ は単射なので $\partial$ の像は $0$ である。単射で像が $0$ なので $H_k(W,M_0)=0$ である（$k=0$ では $H_{-1}=0$ とみればよい）。$M_1$ についても同じである。$\square$

h 同境 $(W;M_0,M_1)$ をとる。包含 $M_0\to W$ はホモトピー同値なので $\pi_1(W)\cong\pi_1(M_0)=1$ であり、同様に $\pi_1(M_1)\cong\pi_1(W)=1$ である（ホモトピー同値 の命題「基本群・ホモロジーへの帰結」）。$M_0$ は連結なので $W$ も連結である。prop-hcob-homology の 1 により $H_*(W,M_0)=0$ で、$\dim W=\dim M_0+1\ge6$ である。thm-hcob-main の $F$ について、$x\mapsto F(x,1)$ は $M_0$ から $M_1$ への微分同相写像である。$\square$

現在の基底 $(c_j)$ について $b_i=\sum_jQ_{ij}c_j$ と書き、整数行列 $Q=(Q_{ij})$ を考える。はじめ $(c_j)=(a_j)$ で、$(b_i)$ と $(a_j)$ はどちらも基底なので $Q$ は整数行列の逆行列をもち、$\det Q=\pm1$ である（自由アーベル群 の命題「行列式による基底の判定」）。$Q$ が単位行列になれば $(c_j)=(b_j)$ なので、$Q$ を単位行列にすればよい。
操作と $Q$ の変化．(E1) で $c_i'=c_i+\varepsilon c_j$ とすると $c_i=c_i'-\varepsilon c_j$ なので、$Q$ の第 $j$ 列が「第 $j$ 列 $-\varepsilon\cdot$ 第 $i$ 列」に変わり、ほかの列は変わらない。(E2) は第 $i$ 列の符号を変える。$i,j,\varepsilon$ は任意なので、次の列の基本変形が使える：(C1) ある列に別の列の $\pm1$ 倍を足す、(C2) ある列の符号を変える。どちらも $\lvert\det Q\rvert=1$ を保つ。
$\det Q=\pm1$ の整数行列が (C1)(C2) で単位行列にできることを $k$ に関する帰納法で示す。$k=1$ なら $Q=(\pm1)$ で、(C2) で $(1)$ にできる。$k\ge2$ とする。
段 1（第 1 行を $(1,0,\dots,0)$ にする）．第 1 行の成分 $Q_{11},\dots,Q_{1k}$ の生成する $\mathbb{Z}$ の部分群を $d\mathbb{Z}$（$d\ge0$）とする。第 1 行で余因子展開すると $\pm1=\det Q=\sum_jQ_{1j}\tilde Q_{1j}$ なので $d=1$ である。(C1)(C2) は第 1 行の成分の生成する部分群を変えない。第 1 行に $0$ でない成分が 2 つ以上あるあいだ、そのうち $\lvert Q_{1i}\rvert\ge\lvert Q_{1j}\rvert$ となる 2 つを選び、第 $i$ 列に第 $j$ 列の $\mp1$ 倍を足して $\lvert Q_{1i}\rvert$ を $\lvert Q_{1i}\rvert-\lvert Q_{1j}\rvert$ に減らす。$\sum_l\lvert Q_{1l}\rvert$ は正の整数で真に減るので、この手続きは有限回で止まり、第 1 行の $0$ でない成分はただ 1 つになる。その値 $e$ は部分群 $e\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ を生成するので $e=\pm1$ である。それが第 $i$ 列（$i\ne1$）にあれば、第 1 列に第 $i$ 列を足し（$Q_{11}$ が $e$ になる）、第 $i$ 列から第 1 列の $1$ 倍を引く（$Q_{1i}$ が $0$ になる）。最後に必要なら (C2) で $Q_{11}=1$ にする。
段 2（帰納法）．いま $Q=\begin{pmatrix}1&0\\v&Q'\end{pmatrix}$（$v\in\mathbb{Z}^{k-1}$、$Q'$ は $(k-1)$ 次）で、$\det Q'=\det Q=\pm1$ である。第 $2$ 列から第 $k$ 列のあいだの (C1)(C2) は第 1 行の $0$ を保ち、$Q'$ に列の基本変形として働き、第 1 列を変えない。帰納法の仮定により $Q'$ を単位行列にできる。
段 3（第 1 列を掃き出す）．このとき第 $(l+1)$ 列は第 $(l+1)$ 成分だけが $1$ の単位ベクトルなので、第 1 列から第 $(l+1)$ 列を $v_l$ 回（$v_l< 0$ なら $-v_l$ 回足す）引けば第 1 列の第 $(l+1)$ 成分が $0$ になり、ほかの成分は変わらない。$l=1,\dots,k-1$ について行えば $Q$ は単位行列になる。$\square$

$C_{\lambda-1}=0$ なので $C_\lambda$ のすべての元は輪体であり、$0=H_\lambda(C_*)=C_\lambda/\partial(C_{\lambda+1})$ から $\partial$ は全射である。自由アーベル群 の命題「自由アーベル群への全射は分裂する」により、準同型 $s\colon C_\lambda\to C_{\lambda+1}$ で $\partial\circ s=\mathrm{id}$、$C_{\lambda+1}=\ker\partial\oplus s(C_\lambda)$ となるものがある。$\ker\partial$ は有限階数の自由アーベル群の部分群なので自由で有限階数である（同記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」）。その基底を $z_1,\dots,z_{r-m}$ とし、$b_i:=s(a_i)$（$i\le m$）、$b_{m+j}:=z_j$ とおけば、直和の基底の和として $(b_i)$ は $C_{\lambda+1}$ の基底で、求める性質をもつ。$C_\lambda\ne0$ なので $m\ge1$ で、$b_1\ne0$ である。$\square$

段 1（指数を $2$ 以上 $n-2$ 以下にする）．$f$ を自己指数的な Morse 関数とする。$H_0(W,M_0)=0$ で、$W$ と $M_0$ は単連結、$n\ge5$ なので、(G5) により指数 $0$ と $1$ の臨界点をなくせる（指数 $1$ の点は指数 $3$ の点に替わる）。次に $-f$ を同境 $(W;M_1,M_0)$ の Morse 関数とみる。指数 $\lambda$ の臨界点は $-f$ の指数 $n-\lambda$ の臨界点である（Morse関数 の命題「指数と極値」の 2 と同じ計算）。$H_*(W,M_1)=0$（prop-hcob-homology の後の段落の双対性）で、$M_1$ も単連結なので、$-f$ に (G5) を使えば、$f$ の指数 $n$ と $n-1$ の臨界点をなくせる（$f$ の指数 $n-1$ の点は指数 $n-3$ の点に替わる）。$n\ge5$ なので $n-3\ge2$ であり、段 1 の途中で指数 $0,1$ の点が再び現れることはない。以上で、$f$ のすべての臨界点の指数は $2\le\lambda\le n-2$ にある（Mil65 p. 107 の証明はこの形である）。最後に、指数を変えずに自己指数的な Morse 関数に取り替える（Mil65 Theorem 4.8、p. 44）。
段 2（帰納法の設定）．臨界点の個数 $N$ に関する帰納法で示す。$N=0$ なら上の段落により $W$ は積である。$N>0$ とし、臨界点の最小の指数を $\lambda$ とする。ハンドルの鎖複体 $C_*$ は $\lambda\le k\le n-2$ の範囲でだけ $0$ でなく、$H_*(C_*)\cong H_*(W,M_0)=0$ である（Theorem 7.4）。
段 3（基底を選ぶ）．$C_\lambda$ の基底として、指数 $\lambda$ の臨界点 $p_1,\dots,p_m$ の芯の類 $a_1,\dots,a_m$ をとる。lem-hcob-split により $C_{\lambda+1}\ne0$ で、$C_{\lambda+1}$ の基底 $(b_i)$ で $\partial b_1=a_1$ となるものがある。$C_{\lambda+1}\ne0$ なので $\lambda+1\le n-2$ で、$2\le\lambda+1\le n-2$ なので、指数 $\lambda+1$ の臨界点だけを含む部分の同境 $f^{-1}([\lambda+\frac12,\lambda+\frac32])$ に (G4) を使える（この部分は連結である。等位面は、連結な $M_0$ から、指数が $2$ 以上 $n-2$ 以下の臨界点を越えるたびに余次元 $2$ 以上の球面に沿った手術を受けるだけなので連結で、部分の同境の各点は勾配的なベクトル場に沿って下の等位面か指数 $\lambda+1$ の臨界点の下向きの円板を通って下の等位面につながる。Mil65 p. 98 も 7.6 をこの部分に使っている）。$f$ と $\xi$ をその部分の中で変えて、指数 $\lambda+1$ の臨界点 $q_1,\dots,q_r$ の芯の類がちょうど $(b_i)$ になるようにできる。$\partial$ の行列の成分は交点数なので、$\partial b_1=a_1$ は、等位面 $f^{-1}(\lambda+\frac12)$ の中で $p_1$ の帯球面と $q_1$ の貼り付け球面の交点数が $1$、$p_i$（$i\ge2$）の帯球面と $q_1$ の貼り付け球面の交点数が $0$ であることを意味する。
段 4（次元の数え上げ）．$p_1$ と $q_1$ に (G3) が使えることを確かめる。$\lambda\ge2$ はすでにわかっている。

• $\lambda+1\le n-3$ なら、Theorem 6.4 の条件「$\lambda\ge2$ かつ $\lambda+1\le n-3$」がみたされる。
• そうでなければ、$\lambda+1\le n-2$ と合わせて $\lambda+1=n-2$、すなわち $\lambda=n-3$ である。$n\ge6$ なので $\lambda\ge3$ であり、Corollary 6.5 の条件「$\lambda\ge3$ かつ $\lambda+1\le n-2$」がみたされる。
  どちらの場合も、$f$ を $p_1$ の近くで上げ、$q_1$ の近くで下げて、$p_1$ と $q_1$ だけを臨界点にもつ部分の同境を切り出し（Mil65 Theorem 4.1、p. 37 と 4.2、p. 39）、その部分と両端が単連結であることを確かめて（同 p. 99。p. 70 の Remark 1 と同じ議論）、(G3) で $p_1$ と $q_1$ を打ち消せる。
  段 5（帰納法の完了）．打ち消した後の Morse 関数は臨界点が $N-2$ 個で、指数はやはり $2$ 以上 $n-2$ 以下にある。必要なら Theorem 4.8 で再び自己指数的にする。$W$、$M_0$、$M_1$ と $H_*(W,M_0)=0$ は変わらないので、帰納法の仮定により $W$ は積である。$\square$