相加平均・相乗平均と凸関数

概要

この記事について

高校で習う「相加平均 $\ge$ 相乗平均」は、2 つの正の数 $a,b$ についての不等式 $\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$ である。この不等式は、対数関数のグラフの形（上に凸であること）と深く結びついており、そこから「凸関数」という大学数学の考え方に進むことができる。
この記事は、その道のりを 4 本の記事に分けて案内する入口である。ここでは主な言葉の意味と例だけを述べ、証明はそれぞれの記事で行う。

主な言葉

相加平均・相乗平均とその大小

正の数 $a,b$ について、$\frac{a+b}2$ を相加平均、$\sqrt{ab}$ を相乗平均という。正の数 $a,b$ について
$$ \frac{a+b}2\ge\sqrt{ab} $$
が成り立ち、等号は $a=b$ のときに限る。これを相加相乗平均の不等式という。

平均を比べる

$a=1$、$b=9$ では、相加平均は $\frac{1+9}2=5$、相乗平均は $\sqrt9=3$ であり、$3\le5$ である。$a=b=4$ では、どちらも $4$ で等しい。
使い方の例：$x>0$ のとき、$x$ と $\frac4x$ の積は $4$ で一定なので、$x+\frac4x\ge2\sqrt4=4$ である。等号は $x=\frac4x$、つまり $x=2$ のときに成り立つので、$x+\frac4x$ の最小値は $4$ である。

反例：負の数では成り立たない

$a=-1$、$b=-4$ とすると、$ab=4$ なので $\sqrt{ab}=2$ は計算できるが、$\frac{a+b}2=-\frac52$ であり、$-\frac52\ge2$ は成り立たない。相加相乗平均の不等式は、数が正（または $0$）であるという条件のもとでの不等式である。

相加相乗平均の不等式の両辺の自然対数をとると、$\log$ が増加関数であることから
$$ \frac{\log a+\log b}2\le\log\frac{a+b}2 $$
と同じ内容になる。左辺は $y=\log x$ のグラフ上の 2 点 $(a,\log a)$、$(b,\log b)$ を結ぶ線分（弦）の中点の高さ、右辺は同じ横座標でのグラフの高さである。
図1：y=log x の弦の中点はグラフより下にある。これが 1 と 9 の相乗平均 3 と相加平均 5 の大小そのものである
この「弦がグラフの下に来る」という形を、向きを逆にして定義にしたものが凸関数である。

凸関数（下に凸な関数）

区間 $I$ で定義された関数 $f$ が、$I$ のすべての $x,y$ と $0\le\lambda\le1$ について
$$ f\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y) $$
を満たすとき、$f$ を $I$ 上の凸関数（下に凸な関数）という。どの弦もグラフより下に来ない、という意味である。$-f$ が凸関数のとき、$f$ を凹関数（上に凸な関数）という。

凸関数と凹関数の例

$f(x)=x^2$ で $x=0$、$y=2$、$\lambda=\frac12$ とすると、左辺は $f(1)=1$、右辺は $\frac{0+4}2=2$ で、$1\le2$ である（弦がグラフより上にある）。$\log x$ は凹関数であり、図 1 はその $x=1$、$y=9$、$\lambda=\frac12$ の場合である。

高校の計算と大学の考え方

高校の計算	大学での考え方	記事
$\frac{a+b}2-\sqrt{ab}=\frac12(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$、積が一定なら和が最小	不等式と、等号が成り立つ点の確認	相加平均と相乗平均
$f''>0$ の区間で「下に凸」、$e^x\ge1+x$	凸関数の定義、2 階導関数による判定、接線の不等式	曲線の凹凸と接線
3 数の相加相乗平均、三角形の $\sin A+\sin B+\sin C$ の最大	重み付き平均と Jensen の不等式	Jensenの不等式（高校数学）
項を分けて相加相乗平均を使う、平均の速さ	重み付きの相加相乗平均、調和・相乗・相加・2 乗平均の大小	平均の大小関係

各記事の代表的な結果

4 本の記事で証明する結果を、数の例で 1 つずつ見ておく。証明はリンク先の記事にある。

等号の点が範囲の外にある場合

$x\ge2$ の範囲で $x+\frac1x$ の最小値を考える。相加相乗平均から $x+\frac1x\ge2$ は正しいが、等号の点 $x=1$ は範囲の外にあるので、$2$ は最小値ではない。$x\ge2$ では $x+\frac1x$ は増加し、最小値は $x=2$ での $\frac52$ である。不等式を使って最小値を求めるときは、等号の点が範囲に入るかを必ず確かめる（相加平均と相乗平均）。

接線の不等式

$y=e^x$ は下に凸で、$x=0$ での接線は $y=1+x$ である。下に凸なグラフは接線より上にあるので、すべての実数 $x$ について $e^x\ge1+x$ となる。たとえば $x=1$ では $e=2.718\ldots\ge2$、$x=-1$ では $e^{-1}=0.367\ldots\ge0$ である（曲線の凹凸と接線）。

3 点以上の平均

$\sin x$ は $0\le x\le\pi$ で上に凸である。Jensen の不等式を三角形の内角 $A,B,C$（和が $\pi$）に使うと
$$ \frac{\sin A+\sin B+\sin C}3\le\sin\frac{A+B+C}3=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2 $$
となり、$\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{3\sqrt3}2=2.598\ldots$ が分かる。直角二等辺三角形では $1+\sqrt2=2.414\ldots$ で、確かにこれより小さい（Jensenの不等式（高校数学））。

4 つの平均の並び方

$1$ と $4$ の調和平均は $\frac2{1+\frac14}=1.6$、相乗平均は $2$、相加平均は $2.5$、2 乗平均は $\sqrt{\frac{1+16}2}=2.915\ldots$ であり、この順に大きくなる。どんな正の数の組でもこの順に並び、全部が等しいのは数がすべて等しいときだけである（平均の大小関係）。

読む順番

次の順に読むとよい。前の記事の結果を後の記事で使うが、使う事実はそのつど言い直してある。

相加平均と相乗平均：2 数・3 数の相加相乗平均の不等式を、差を平方の形にする方法と因数分解で証明する。半円の図による見方、最小値・最大値の求め方、等号の点が範囲に入らないときの落とし穴が分かる。
曲線の凹凸と接線：「下に凸」を弦の不等式で定義し、なぜ $f''\ge0$ で判定できるのかを平均値の定理で証明する。下に凸なグラフは接線より上にあること（$e^x\ge1+x$、$\log x\le x-1$）と、$\log$ が上に凸であることから相加相乗平均の不等式が出ることが分かる。
Jensenの不等式（高校数学）：2 点の弦の不等式を $n$ 点の重み付き平均に広げる Jensen の不等式を、帰納法で証明する。三角形の内角の正弦の和、逆数の和の最小値、国際数学オリンピック（2001 年）第 2 問への使い方が分かる。
平均の大小関係：$n$ 個の正の数について、調和平均 $\le$ 相乗平均 $\le$ 相加平均 $\le$ 2 乗平均を証明する。重み付きの相加相乗平均の不等式を $\log x\le x-1$ だけから導く方法と、Young の不等式への応用が分かる。
1 だけを読んでも高校の範囲の相加相乗平均は完結する。凸関数に興味があれば 2 と 3 へ、いろいろな平均の比較に興味があれば 4 へ進むとよい。