カテゴリー性
概要
カテゴリー性（categoricity）とは、理論のモデルがすべて同型であるという性質のことで、濃度 $\kappa$ のモデルがすべて同型であることを $\kappa$-範疇性という。一階述語論理では、Löwenheim–Skolem の定理により範疇的な理論は有限構造の理論に限られるので、主に $\kappa$-範疇性が調べられる。端点のない稠密な線形順序の理論は可算範疇的であり（Cantor の定理）、有理数体上のベクトル空間の理論は非可算な濃度でだけ範疇的である。可算言語の理論は、1 つの非可算濃度で範疇的ならすべての非可算濃度で範疇的になり（Morley の範疇性定理）、有限のモデルをもたない $\kappa$-範疇的な理論は完全である。
前提知識: 構造(モデル), 一階述語論理, Löwenheim–Skolemの定理, 濃度
公理系を書く目的の 1 つは、ある数学的構造を「同型を除いて 1 つに」特徴づけることである。たとえば自然数は、0 と後者関数と帰納法の原理によって同型を除いて決まる。このように、公理系のモデルがすべて同型になる性質を カテゴリー性（categoricity、範疇性）という。
一階述語論理では、この意味のカテゴリー性は有限構造に限られる。無限のモデルをもつ一階の理論には、Löwenheim–Skolemの定理 によりさまざまな濃度のモデルがあり、それらは同型になりえないからである。そこで、濃度を 1 つ固定して、その濃度のモデルがすべて同型になるかを問う $\kappa$-範疇性 が考えられる。この記事では、カテゴリー性と $\kappa$-範疇性を定義し、一階の理論が範疇的になるのは有限構造の理論だけであることを示す。そのうえで、可算な稠密線形順序がすべて同型になること（Cantor の定理）と、有理数体上のベクトル空間の理論が非可算な濃度でだけ範疇的であることを証明し、Morley の範疇性定理と二階の公理系の範疇性に触れる。
定義
以下、$L$ は一階言語、$L$ の文の集合を理論とよぶ。構造の台集合は空でなく、構造 $\mathcal M$ の台集合を $M$、その濃度を $\lvert M\rvert$ と書く。構造の同型は 構造(モデル) の記事の定義「準同型・埋め込み・同型」の意味で、$\mathcal M\cong\mathcal N$ と書く。基数についての議論では 選択公理 を仮定する。
$L$ の理論 $T$ が 範疇的（categorical）であるとは、$T$ がモデルをもち、$T$ の任意の 2 つのモデルが同型であることをいう。
基数 $\kappa$ について、$T$ が $\kappa$-範疇的（$\kappa$-categorical）であるとは、$T$ が濃度 $\kappa$ のモデルをもち、$T$ の濃度 $\kappa$ の任意の 2 つのモデルが同型であることをいう。$\aleph_0$-範疇的な理論を 可算範疇的、ある非可算基数 $\kappa$ について $\kappa$-範疇的な理論を 非可算範疇的 という。
$\kappa$-範疇的の定義は Löwenheim–Skolemの定理 の記事で使われているものと同じである。構造 $\mathcal M$ について、$\mathcal M$ で真な文の全体を $\operatorname{Th}(\mathcal M)$ と書き、$\mathcal M$ の 理論 という。$\mathcal N$ が $\operatorname{Th}(\mathcal M)$ のモデルであることと、$\mathcal N$ が $\mathcal M$ と同じ文を満たす（初等同値、$\mathcal N\equiv\mathcal M$）ことは同値である。実際、$\mathcal N\models\operatorname{Th}(\mathcal M)$ で $\mathcal N\models\sigma$ なのに $\mathcal M\not\models\sigma$ なら、$\lnot\sigma\in\operatorname{Th}(\mathcal M)$ となって $\mathcal N\models\lnot\sigma$ に反する。
$T$ が範疇的ならば、$T$ のすべてのモデルは同じ文を満たす。とくに、どの文 $\sigma$ についても、$\sigma$ が $T$ のすべてのモデルで真であるか、$\lnot\sigma$ が $T$ のすべてのモデルで真であるかのどちらかが成り立つ。
$T$ の 2 つのモデルは同型であり、同型な構造は同じ文を満たす（一階述語論理 の記事の定理「同型補題」）。$T$ のモデルを 1 つとり、$\sigma$ がそこで真なら $\sigma$ がすべてのモデルで真、偽なら $\lnot\sigma$ がすべてのモデルで真である。$\square$
この性質をもつ理論は 完全な理論 である。$\kappa$-範疇性からも、有限のモデルをもたないという条件のもとで同じ結論が従う（後の「Łoś–Vaught の判定法との関係」の節）。
直感
公理系は、それを満たす構造の「共通の性質」を書いたものである。公理が少なければ、互いに似ていないモデルがたくさんある。公理を増やしていくと、モデルはしだいに似てきて、最後には同型なものしか残らないかもしれない。それがカテゴリー性である。一階の文は台集合の大きさを制御できないので、無限構造ではこの最後の段階に到達できない。しかし大きさをそろえれば、構造が 1 つに決まる理論は珍しくない。たとえば「端点のない稠密な全順序」という短い公理系は、可算な構造の中では $(\mathbb Q,<)$ をただ 1 つ指定している。
一階の理論が範疇的になる場合
$\mathcal M$ を $L$ 構造とする。$\operatorname{Th}(\mathcal M)$ が範疇的であることと、$M$ が有限集合であることは同値である。とくに、無限のモデルをもつ理論は範疇的でない。
$M$ が無限なら、$\mathcal M$ と初等同値で同型でない構造がある（Löwenheim–Skolemの定理 の記事の系「無限構造の理論は同型を除いて決まらない」）。それは $\operatorname{Th}(\mathcal M)$ のモデルなので、$\operatorname{Th}(\mathcal M)$ は範疇的でない。最後の主張も、無限のモデル $\mathcal M$ をもつ理論 $T$ について、$T\subset\operatorname{Th}(\mathcal M)$ だから $\operatorname{Th}(\mathcal M)$ のモデルはすべて $T$ のモデルであることから従う。
$M=\{a_1,\dots,a_n\}$（相異なる $n$ 個）が有限であるとし、$\mathcal N\equiv\mathcal M$ をとる。$\mathcal N\cong\mathcal M$ を示せばよい。
段 1（$\mathcal N$ も $n$ 元）． 文 $\exists x_1\cdots\exists x_n\bigl(\bigwedge_{i< j}x_i\neq x_j\land\forall y\,\bigvee_{i}y=x_i\bigr)$ は「ちょうど $n$ 元」を表し、$\mathcal M$ で真なので $\mathcal N$ でも真である。よって $\lvert N\rvert=n$ である。
段 2（有限の部分言語ごとの同型）． $L$ の有限部分集合 $L_0$ について、$M$ から $N$ への全単射で、$L_0$ の記号を保つもの（$L_0$ への簡約どうしの同型）の全体を $S(L_0)$ とする。$S(L_0)$ が空でないことを示す。変数 $x_1,\dots,x_n$ の論理式 $\delta_{L_0}$ を、次の論理式すべての連言とする。
- $i\neq j$ について $x_i\neq x_j$。
- $L_0$ の定数記号 $c$ について $c=x_k$（$c^{\mathcal M}=a_k$）。
- $L_0$ の $m$ 項関数記号 $f$ と $(i_1,\dots,i_m)\in\{1,\dots,n\}^m$ について $f(x_{i_1},\dots,x_{i_m})=x_k$（$f^{\mathcal M}(a_{i_1},\dots,a_{i_m})=a_k$）。
- $L_0$ の $m$ 項関係記号 $R$ と $(i_1,\dots,i_m)$ について、$\mathcal M$ で $R(a_{i_1},\dots,a_{i_m})$ が成り立つなら $R(x_{i_1},\dots,x_{i_m})$、成り立たないならその否定。
$L_0$ と $n$ が有限なので、これは有限個の連言である。$(a_1,\dots,a_n)$ が $\delta_{L_0}$ を満たすので $\mathcal M\models\exists x_1\cdots\exists x_n\,\delta_{L_0}$ であり、$\mathcal N$ でもこの文は真である。それを満たす $b_1,\dots,b_n\in N$ をとり、$h(a_i):=b_i$ とおく。最初の連言肢から $h$ は単射で、$\lvert N\rvert=n$ なので全単射である。残りの連言肢は、$h$ が $L_0$ の定数・関数・関係を保つことをちょうど述べている。よって $h\in S(L_0)$ である。
段 3（全体の同型）． $S(L_0)$ は $n!$ 個以下の元からなる空でない集合で、$L_0\subset L_1$ なら $S(L_1)\subset S(L_0)$ である。$\lvert S(L_0)\rvert$ が最小になる有限の $L_0$ を 1 つとる。任意の有限の $L_1$ について、$S(L_0\cup L_1)$ は $S(L_0)$ の空でない部分集合で、元の個数は $\lvert S(L_0)\rvert$ 以上なので $S(L_0\cup L_1)=S(L_0)$ であり、したがって $S(L_0)\subset S(L_1)$ である。$h\in S(L_0)$ をとると、$L$ の各記号 $s$ について $h\in S(\{s\})$ なので、$h$ はすべての記号を保つ。よって $h$ は $\mathcal M$ から $\mathcal N$ への同型写像である。$\square$
$L$ が有限なら段 3 は不要で、段 2 を $L_0=L$ に当てはめれば終わる。段 3 は、無限に多くの記号があっても、有限個の全単射の中から全部の記号を保つものを選び出せることを示している。
この定理により、一階論理でカテゴリー性を問うときは、濃度を固定した $\kappa$-範疇性を考えることになる。
可算範疇性：Cantor の定理
言語 $\{< \}$（2 項関係記号 1 つ）で、次の 6 つの文からなる理論を $\mathrm{DLO}$（端点のない稠密な線形順序の理論）とする。
- $\forall x\,\lnot\,x< x$
- $\forall x\,\forall y\,\forall z\,(x< y\land y< z\to x< z)$
- $\forall x\,\forall y\,(x< y\lor x=y\lor y< x)$
- $\forall x\,\exists y\,x< y$
- $\forall x\,\exists y\,y< x$
- $\forall x\,\forall y\,(x< y\to\exists z\,(x< z\land z< y))$
1〜3 は狭義の全順序であること、4・5 は最大元も最小元もないこと、6 は稠密であることを表す（OLT26 Definition 25.25、p. 390）。$(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb R,<)$ は $\mathrm{DLO}$ のモデルである。$\mathrm{DLO}$ のモデルは空でなく最大元をもたないので、$a_0< a_1< a_2< \cdots$ と相異なる元が限りなく取れ、無限である。
可算無限な 2 つの端点のない稠密な全順序は同型である。すなわち $\mathrm{DLO}$ は $\aleph_0$-範疇的であり、その可算モデルはすべて $(\mathbb Q,<)$ と同型である。
$A,B$ を可算無限な $\mathrm{DLO}$ のモデルとし、$A=\{a_0,a_1,\dots\}$、$B=\{b_0,b_1,\dots\}$ と番号を付ける。$A$ の有限部分集合を定義域とし、$x< y\Rightarrow p(x)< p(y)$ を満たす写像 $p$ を 部分同型 とよぶ。全順序なので、部分同型は単射で、$x< y\iff p(x)< p(y)$ を満たす（$x\not< y$ なら $x=y$ か $y< x$ で、それぞれ $p(x)=p(y)$、$p(y)< p(x)$ となる）。
段 1（前進の一歩）． 部分同型 $p$ と $a\in A$ について、$a$ を定義域に含む部分同型 $q\supset p$ があることを示す。$a$ が $p$ の定義域にあれば $q=p$ でよい。そうでないとし、$p$ の定義域を $c_1< \cdots< c_m$ と並べる。$b\in B$ を次のように選ぶ。
- $m=0$ なら $b$ は任意。
- $a< c_1$ なら、最小元がないので $b< p(c_1)$ となる $b$ をとる。
- $c_m< a$ なら、最大元がないので $p(c_m)< b$ となる $b$ をとる。
- $c_i< a< c_{i+1}$ なら、$p(c_i)< p(c_{i+1})$ と稠密性から $p(c_i)< b< p(c_{i+1})$ となる $b$ をとる。
全順序なので、どの $a$ もこれらのどれかに当たる。$q:=p\cup\{(a,b)\}$ とおくと、$p$ の定義域の各元 $c$ について、$a< c$ と $b< p(c)$ が同値になるように $b$ を選んだので（推移性で確かめられる）、$q$ は部分同型である。
段 2（後退の一歩）． 部分同型 $p$ と $b\in B$ について、$b$ を値域に含む部分同型 $q\supset p$ がある。$p^{-1}$ は $B$ から $A$ への部分同型なので、段 1 を $A,B$ の役割を入れ替えて $p^{-1}$ と $b$ に使い、得られた部分同型の逆写像を $q$ とすればよい。
段 3（往復して全体へ）． $p_0:=\emptyset$ とし、$p_{2k+1}$ は段 1 で $p_{2k}$ を広げて $a_k$ を定義域に入れたもの、$p_{2k+2}$ は段 2 で $p_{2k+1}$ を広げて $b_k$ を値域に入れたものとする。$p:=\bigcup_kp_k$ は、増大する写像の和なので写像であり、定義域は $A$ 全体、値域は $B$ 全体である。$x< y$ なら $x,y$ はある $p_k$ の定義域に入り、$p(x)=p_k(x)< p_k(y)=p(y)$ である。冒頭で見たとおり、$p$ は単射で $x< y\iff p(x)< p(y)$ を満たす全単射、すなわち同型写像である。$\square$
この往復の議論（back-and-forth argument）は OLT26 Theorem 25.16・Theorem 25.26（pp. 387–390）と同じ方法である。段 1 だけを繰り返すと $A$ から $B$ への順序を保つ単射しか得られない。値域が $B$ 全体になるように、段 2 を交互にはさむことが要点である。
Löwenheim–Skolemの定理 の記事の例「稠密な線形順序と代数閉体」は、この定理と Łoś–Vaught の判定法から $\mathrm{DLO}$ が完全であり、$(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb R,<)$ が同じ文を満たすことを導いている。
$(\mathbb R,<)$ と $(\mathbb R\setminus\{0\},<)$ は、どちらも濃度 $2^{\aleph_0}$ の $\mathrm{DLO}$ のモデルである（$\mathbb R\setminus\{0\}$ でも、相異なる 2 元の間には $0$ 以外の実数がある）。しかし同型でない。$(\mathbb R,<)$ では、上に有界な空でない部分集合は上限をもつ。$(\mathbb R\setminus\{0\},<)$ では、部分集合 $\{x< 0\}$ は $1$ で上に抑えられるが、その上界は正の実数全体で、最小のものがない。同型写像は上界と最小元を保つので、この性質も保たれる。したがって $\mathrm{DLO}$ は $2^{\aleph_0}$-範疇的でない。
非可算範疇性
記号をもたない言語（等号だけ）で、$n=2,3,\dots$ について「少なくとも $n$ 元ある」を表す文 $\exists x_1\cdots\exists x_n\bigwedge_{i< j}x_i\neq x_j$ を並べた理論を $T_\infty$ とする。$T_\infty$ のモデルはちょうど無限集合であり、記号がないので同型写像は全単射にほかならない。同じ濃度の集合の間には全単射があるので、$T_\infty$ はすべての無限基数 $\kappa$ について $\kappa$-範疇的である。
次に、可算では範疇的でないが、非可算では範疇的になる理論を調べる。言語 $L_{\mathbb Q}:=\{0,+\}\cup\{\lambda_q\mid q\in\mathbb Q\}$（$0$ は定数記号、$+$ は 2 項関数記号、各 $\lambda_q$ は 1 項関数記号）で、可換群の公理と、各 $q,r\in\mathbb Q$ についての文
$$
\forall x\,\forall y\ \lambda_q(x+y)=\lambda_q(x)+\lambda_q(y),\quad\forall x\ \lambda_{q+r}(x)=\lambda_q(x)+\lambda_r(x),\quad\forall x\ \lambda_{qr}(x)=\lambda_q(\lambda_r(x)),\quad\forall x\ \lambda_1(x)=x
$$
と、文 $\exists x\,\lnot\,x=0$ からなる理論を $T_{\mathbb Q}$ とする。$\lambda_q$ を「$q$ 倍」と読めば、$T_{\mathbb Q}$ のモデルは $\{0\}$ でない $\mathbb Q$ 上のベクトル空間にほかならず、モデルの間の同型写像は全単射な $\mathbb Q$-線形写像にほかならない（構造(モデル) の記事の例「体上のベクトル空間」）。
$V$ を $\{0\}$ でない $\mathbb Q$ 上のベクトル空間、$B$ をその基底とすると、$\lvert V\rvert=\max(\lvert B\rvert,\aleph_0)$ である。
要点：$V$ の元は「有理数と基底の元の組」の有限集合で表せるので、$\lvert V\rvert$ は $\lvert\mathbb Q\times B\rvert$ を超えない。
詳しい証明を開く
$B\subset V$ なので $\lvert B\rvert\le\lvert V\rvert$ である。$v\neq0$ をとると、$q\mapsto qv$ は $\mathbb Q$ から $V$ への単射である（$qv=rv$ なら $(q-r)v=0$ で、$v\neq0$ だから $q=r$）。よって $\aleph_0\le\lvert V\rvert$ である。
逆向きを示す。$X:=\mathbb Q\times B$ とおくと $X$ は無限で $\lvert X\rvert=\max(\lvert B\rvert,\aleph_0)$ である（基数 の記事の命題「無限基数の和と積」）。$V$ の各元は、有限集合 $F\subset B$ と $0$ でない有理数 $q_b$（$b\in F$）によって $\sum_{b\in F}q_bb$ とただ 1 通りに書けるので、$v\mapsto\{(q_b,b)\mid b\in F\}$ は $V$ から $X$ の有限部分集合全体への単射である。$X$ の有限部分集合は、ある $n$ について $X^n$ の元の成分を集めたものなので、有限部分集合全体の濃度は $\bigsqcup_{n\ge0}X^n$ の濃度以下である。同じ命題により $n\ge1$ で $\lvert X^n\rvert=\lvert X\rvert$ なので、各 $n$ について全単射 $X^n\to X$（$n=0$ では単射）を選べば、$\bigsqcup_nX^n$ から $\mathbb N\times X$ への単射が得られ、その濃度は $\aleph_0\cdot\lvert X\rvert=\lvert X\rvert$ 以下である。以上から $\lvert V\rvert\le\lvert X\rvert=\max(\lvert B\rvert,\aleph_0)$ である。$\square$
理論 $T_{\mathbb Q}$ は $\aleph_0$-範疇的でなく、すべての非可算基数 $\kappa$ について $\kappa$-範疇的である。
$\aleph_0$-範疇的でないこと：$\mathbb Q$ と $\mathbb Q^2$ はどちらも可算な $T_{\mathbb Q}$ のモデルである（lem-cat-vector-card）。同型写像は全単射な線形写像なので基底を基底に移すが、2 つの次元は $1$ と $2$ で異なるので、基底と次元 の記事の定理「次元の一意性」により同型でない。
$\kappa$-範疇的であること：$\kappa$ を非可算基数とする。濃度 $\kappa$ の集合 $B$ を基底とするベクトル空間（$B$ から $\mathbb Q$ への写像で有限個の点を除いて $0$ のものの全体）は、lem-cat-vector-card により濃度 $\kappa$ のモデルである。次に $V,W$ を濃度 $\kappa$ のモデルとし、基底 $B_V,B_W$ をとる（基底と次元 の記事の定理「一般のベクトル空間の基底の存在」）。lem-cat-vector-card により $\kappa=\max(\lvert B_V\rvert,\aleph_0)$ で、$\kappa>\aleph_0$ なので $\lvert B_V\rvert=\kappa$ である。同様に $\lvert B_W\rvert=\kappa$ なので、全単射 $g\colon B_V\to B_W$ がある。$h\bigl(\sum_bq_bb\bigr):=\sum_bq_bg(b)$ と定めると、表し方の一意性により $h$ は矛盾なく定まる線形写像で、$g^{-1}$ から同じように作った写像が逆写像になる。よって $h$ は全単射な線形写像、すなわち $V$ から $W$ への同型写像である。$\square$
可算モデルが同型にならないのは次元が $1,2,\dots,\aleph_0$ と何通りもとれるからで、非可算モデルでは次元が濃度で決まってしまうので範疇的になる。標数を固定した代数閉体の理論も同じ型の振る舞いをする（Löwenheim–Skolemの定理 の記事の例「稠密な線形順序と代数閉体」とその後の段落）。そこでは超越次数が次元の役割を果たす。
非可算な濃度については、次の深い定理が知られている（この記事では証明しない）。
可算言語の理論 $T$ が無限のモデルをもち、ある非可算基数 $\kappa$ について $\kappa$-範疇的ならば、$T$ はすべての非可算基数について範疇的である。
これは Mor65 Theorem 5.6（p. 537）である。同論文は序文（p. 514）で、範疇性の概念を 1954 年に導入した Łoś と Vaught に触れ、Łoś の問い「1 つの非可算濃度で範疇的な理論は、すべての非可算濃度で範疇的か」への肯定的な答えとしてこれを述べている。この定理により、可算言語の理論の範疇性は「可算で範疇的か」「非可算で範疇的か」の 2 つの問いの答えで分類され、4 つの組み合わせはすべて起こる。
| 非可算範疇的 | 非可算範疇的でない | |
|---|---|---|
| $\aleph_0$-範疇的 | $T_\infty$（ex-cat-infinite-sets） | $\mathrm{DLO}$ |
| $\aleph_0$-範疇的でない | $T_{\mathbb Q}$（thm-cat-vector）、標数 $0$ の代数閉体の理論 | $T_P$（下の例） |
言語 $\{P\}\cup\{c_n\mid n\in\mathbb N\}$（$P$ は 1 項関係記号、$c_n$ は定数記号）で、文 $P(c_n)$（$n\in\mathbb N$）、$\lnot\,c_m=c_n$（$m\neq n$）と、各 $n$ について「$P$ を満たさない元が少なくとも $n$ 個ある」を表す文からなる理論を $T_P$ とする。同型写像 $h$ は $h(c_n)=c_n$ を満たし、$P$ を満たす元の集合を $P$ を満たす元の集合へ、満たさない元の集合を満たさない元の集合へ全単射に移す。
- 可算モデル：$P$ を満たす元がちょうど $c_0,c_1,\dots$ であるモデルと、それ以外に $P$ を満たす元が 1 つあるモデルは、どちらも可算だが同型でない。前者の $P$ はすべて定数の値なので、$h$ による像は後者の定数の値の全体になり、余分な 1 元に届かない。
- 濃度 $\kappa>\aleph_0$ のモデル：$P$ を満たさない元が $\aleph_0$ 個のモデルと $\kappa$ 個のモデル（どちらも全体の濃度は $\kappa$）は同型でない。
$\mathrm{DLO}$ が非可算範疇的でないことは、ex-cat-dlo-continuum と thm-cat-morley から従う。
Łoś–Vaught の判定法との関係
Löwenheim–Skolemの定理 の記事の定理「Łoś–Vaught の判定法」によれば、理論 $T$ がモデルをもち、有限のモデルをもたず、ある基数 $\kappa\ge\lvert L\rvert+\aleph_0$ について $\kappa$-範疇的ならば、$T$ は完全である。$T_\infty$ と $T_{\mathbb Q}$ はどちらも言語が可算で、モデルはすべて無限なので（lem-cat-vector-card）、この仮定を満たす。範疇性からこのように理論の完全性を導く方法は、完全な理論 の記事で扱う。可算モデルどうしが同型でない $T_{\mathbb Q}$ にも判定法が使えることは、非可算範疇性が完全性の証明に役立つことを示している。
逆に、完全な理論が範疇的であるとは限らない。$\mathrm{DLO}$ は完全だが $2^{\aleph_0}$-範疇的でない（ex-cat-dlo-continuum）。
二階の公理系の範疇性
カテゴリー性という言葉は、一階の理論に限らず、数学の公理系がその対象を同型を除いて 1 つに決めるかという問いにも使われる。自然数を $0$ と後者関数と「$0$ を含み後者で閉じた部分集合は全体に一致する」という帰納法の公理で特徴づけると、それを満たす構造はすべて同型になる（自然数 の記事の定理「Peano構造の範疇性」）。帰納法の公理が「すべての部分集合」についての主張であることが要点で、論理の言葉では二階の文である。二階論理の標準的な意味論のもとで、二階の Peano 算術のモデルはすべて同型であり（OLT26 Corollary 39.2、p. 609）、完備な順序体としての実数も二階の公理で範疇的に記述できる（同書 §24.3、p. 371。この記事では証明しない）。
これに対して、帰納法を論理式ごとの公理図式に置き換えた一階の Peano 算術は、thm-cat-finite により範疇的でなく、$\mathbb N$ と同型でない可算モデルももつ（超準モデル の記事の定理「算術の超準モデルの存在」）。二階の範疇性と一階の非範疇性の差は、帰納法の公理が量化する範囲（すべての部分集合か、論理式で定義される部分集合だけか）の差である。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-cat-cantor の「可算」 | $(\mathbb R,<)$ と $(\mathbb R\setminus\{0\},<)$ | 同型であること |
| thm-cat-cantor の「端点がない」 | $\mathbb Q\cap[0,1]$ と $\mathbb Q\cap(0,1)$（通常の順序） | 同型であること |
| thm-cat-cantor の「稠密」 | $(\mathbb Z,<)$ と、$\mathbb Z\times\{0,1\}$ の辞書式順序 | 同型であること |
| Łoś–Vaught の判定法の「有限のモデルをもたない」 | $T_{\mathbb Q}$ から $\exists x\,\lnot\,x=0$ を除いた理論 $T_{\mathbb Q}^0$ | 完全であること |
| prop-cat-complete の「範疇的」（$\kappa$-範疇的に弱める） | $T_{\mathbb Q}^0$ と $\kappa=\aleph_1$ | モデルが同じ文を満たすこと |
1 行目：ex-cat-dlo-continuum で確かめた。
2 行目：どちらも可算な稠密全順序である。$\mathbb Q\cap[0,1]$ には最小元 $0$ があり、$\mathbb Q\cap(0,1)$ には最小元がない（$x$ に対し $x/2$ がより小さい）。同型写像は最小元を最小元に移すので、同型でない。
3 行目：$\mathbb Z\times\{0,1\}$ の辞書式順序は「$i< j$、または $i=j$ かつ $m< n$ のとき $(m,i)< (n,j)$」で、$\mathbb Z$ の 2 つの写しを前後に並べたものである。どちらも端点のない可算な全順序だが稠密でない。$(\mathbb Z,<)$ では、どの 2 元の間にも有限個の元しかない。辞書式順序では $(0,0)$ と $(0,1)$ の間に $(1,0),(2,0),\dots$ と無限個の元がある。同型写像は 2 元の間の元を全単射に移すので、同型でない。
4・5 行目：$T_{\mathbb Q}^0$ のモデルは $\{0\}$ を含むすべての $\mathbb Q$ 上のベクトル空間である。非可算な濃度 $\kappa$ のモデルは $\{0\}$ でないので、thm-cat-vector の証明がそのまま使え、$T_{\mathbb Q}^0$ は $\kappa$-範疇的である。しかし文 $\exists x\,\lnot\,x=0$ は $\mathbb Q$ で真、1 元のモデル $\{0\}$ で偽なので、$T_{\mathbb Q}^0$ は完全でなく、そのモデルは同じ文を満たさない。有限のモデル $\{0\}$ が判定法の結論を破っている。
関連項目
参考文献
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