2次錐

1：$A$ では $z^2=xy$ だから、$A$ は $k$ 上の単項式 $x^ay^bz^\varepsilon$（$a,b\ge0$、$\varepsilon\in\{0,1\}$）で張られる。$\varphi(x^ay^bz^\varepsilon)=s^{2a+\varepsilon}t^{2b+\varepsilon}$ であり、$(p,q)=(2a+\varepsilon,2b+\varepsilon)$ から $\varepsilon\equiv p\pmod2$、$a=(p-\varepsilon)/2$、$b=(q-\varepsilon)/2$ が復元できる。$p\equiv q\pmod 2$ となる単項式 $s^pt^q$ はちょうどこの形で現れ、これらは $A'$ の $k$ 基底である。したがって $\varphi$ は $A$ の生成系を $A'$ の基底へ全単射に送るので、その生成系は $A$ の基底であり、$\varphi\colon A\to A'$ は同型である。$A'\subset k[s,t]$ は整域である。
2：$s^2,t^2\in A'$ だから $k[s,t]$ は $A'$ 上整であり、Krull 次元は整拡大で変わらないので（AM69 Corollary 5.9、Theorem 5.11）$\dim A'=\dim k[s,t]=2$ である。正規性を示す。$K':=\operatorname{Frac}(A')\subset k(s,t)$ とおく。$s\notin K'$ である：$s=g/h$（$g,h\in A'$、$h\ne0$）なら $sh=g$ だが、左辺の単項式は $s,t$ の次数の和が奇数、右辺は偶数なので $g=sh=0$ となり矛盾する。次に $k[s,t]\cap K'=A'$ である：$f\in k[s,t]\cap K'$ を偶数次の部分 $f_e$ と奇数次の部分 $f_o$ に分けると $f_o\in K'$ で、$f_o\ne0$ なら $f_o/s=f_os/s^2\in K'$ から $s=f_o/(f_o/s)\in K'$ となり矛盾する。よって $f=f_e\in A'$ である。最後に $u\in K'$ が $A'$ 上整なら $k[s,t]$ 上も整であり、一意分解整域は整閉なので（整閉整域 の定理「一意分解整域の整閉性」）$u\in k[s,t]\cap K'=A'$ である。
3：$V(x)\cap V(y)=V(x,y,z^2)=\{O\}$ だから $X\setminus\{O\}=D(x)\cup D(y)$ である。$A_x$ では $y=z^2/x$ なので $A_x=k[x,x^{-1},z]$ であり（1 の同型で $k[s^2,s^{-2},st]$ に対応し、$s^2,st$ は代数的独立）、これは正則環（多項式環の局所化）である。$D(y)$ も同様である。頂点では、$k[x,y,z]$ の極大イデアル $\mathfrak{M}=(x,y,z)$ について $xy-z^2\in\mathfrak{M}^2$ だから $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\cong\mathfrak{M}/\mathfrak{M}^2$ は $x,y,z$ の類を基底とする $3$ 次元の空間である。$A$ は体上有限生成な $2$ 次元の整域で $A/\mathfrak{m}=k$ だから $\operatorname{ht}\mathfrak{m}=2$（Har77 I Theorem 1.8A、p. 6）、すなわち $\dim A_\mathfrak{m}=2<3$ であり、$A_\mathfrak{m}$ は正則局所環でない。$\square$

素因子であること。$A/\mathfrak{p}\cong k[y]$ は $1$ 次元の整域なので、$\dim A=2$ と Har77 I Theorem 1.8A（p. 6）により $\operatorname{ht}\mathfrak{p}=2-1=1$ であり、$L$ は素因子である。$L'$ も同様である。
主因子の計算。$x\in A$ なので、すべての素因子 $Y$ で $\operatorname{ord}_Y(x)\ge0$ であり、$\operatorname{ord}_Y(x)>0$ となるのは $Y\subset V(x)$ のときに限る。$V(x)=V(x,z^2)=V(x,z)=L$ だから、そのような $Y$ は $L$ だけである。$\mathcal{O}_{X,L}=A_\mathfrak{p}$ では $y\notin\mathfrak{p}$ が単元で、$x=z^2y^{-1}$ だから $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=(x,z)A_\mathfrak{p}=zA_\mathfrak{p}$ である。よって $z$ は離散付値環 $A_\mathfrak{p}$ の素元で、$\operatorname{ord}_L(z)=1$、$\operatorname{ord}_L(x)=2$、すなわち $\operatorname{div}(x)=2L$ である。$x$ と $y$ の役割を入れ替えて $\operatorname{div}(y)=2L'$ を得る。$V(z)=V(z,xy)=L\cup L'$ で、$\operatorname{ord}_L(z)=1$、同様に $\operatorname{ord}_{L'}(z)=1$ だから $\operatorname{div}(z)=L+L'$ である。
$[L]$ が生成すること。$U:=X\setminus L=D(x)=\operatorname{Spec}A_x$ で、thm-qc-structure の 3 により $A_x\cong k[x,x^{-1},z]$ は一意分解整域 $k[x,z]$ の局所化なので一意分解整域である。Weil因子 の命題「一意分解性と因子類群」により $\operatorname{Cl}(U)=0$ であり、同記事の定理「開集合への制限の完全列」の完全列 $\mathbb{Z}\xrightarrow{1\mapsto[L]}\operatorname{Cl}(X)\to\operatorname{Cl}(U)=0$ から $\operatorname{Cl}(X)$ は $[L]$ で生成される。$2[L]=[\operatorname{div}(x)]=0$ である。
$[L]\ne0$ であること。$L$ が主因子なら、Weil因子 の補題「素因子が主因子であることと単項性」により $\mathfrak{p}=(x,z)$ は単項イデアルであり、$k=A/\mathfrak{m}$ 上のベクトル空間 $\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ の次元は $1$ 以下になる。ところが $A$ の次数付けで $\mathfrak{p}$ の $1$ 次の部分は $kx\oplus kz$ であり、$\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ は $2$ 次以上の元だけからなるので、$x,z$ の類は $\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ で一次独立であり、$\dim_k\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}\ge2$ である。矛盾するので $[L]\ne0$、$\operatorname{Cl}(X)=\{0,[L]\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。最後に $[L']=[\operatorname{div}(z)]-[L]=-[L]=[L]$ である。$\square$

1：prf-qc-class-group で見たとおり $\dim_k\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}\ge2$ であり、$\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}=\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ だから、中山の補題により $\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}$ を生成するには $2$ 個以上の元が要る。$X$ は正規なので、素因子 $L$ が Cartier 因子なら $L$ は局所的に 1 つの方程式で定義され、$L$ のイデアル層は局所的に単項になる（Cartier因子 の系「正規スキーム上の有効性とイデアル層」）。頂点での茎 $\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}$ が単項でないので、$L$ は Cartier 因子でない。
2：$X$ は正規なので、Cartier 因子の類から Weil 因子の類への写像は単射で、$\operatorname{Pic}(X)\cong\operatorname{CaCl}(X)\hookrightarrow\operatorname{Cl}(X)$ であり、像は局所的に主因子である Weil 因子の類である（Weil因子 の定理「Cartier因子とWeil因子」の 2・4）。$\operatorname{Cl}(X)=\{0,[L]\}$ で、$[L]$ が像に入るなら $L=D+\operatorname{div}(f)$（$D$ は局所的に主因子）と書け、$L$ も局所的に主因子になって 1 に反する。よって像は $0$ で、$\operatorname{Pic}(X)=0$ である。
3：$\operatorname{Cl}(X)\ne0$ なので、Weil因子 の命題「一意分解性と因子類群」により $A$ は一意分解整域でない。具体的に、$A$ は $A_0=k$ の次数付き整域なので、単元は $k^\times$ の元だけであり、$a=bc$ なら最高次の斉次成分どうしと最低次の斉次成分どうしの積が $a$ の斉次成分になる。$a$ が $1$ 次の斉次元なら $b,c$ は斉次で次数の和が $1$ になり、一方は単元である。よって $x,y,z$ は既約元である。$A_1$ は $x,y,z$ を基底とするので、$z$ は $x$ とも $y$ とも同伴でない。$\square$