Penroseの敷き詰め

正五角形の内角は $108^\circ$ である。
(1) 三角形 $ABC$ は、2 辺 $AB=BC=1$、底辺 $AC=\varphi$ の二等辺三角形で、頂角は $\angle ABC=108^\circ$、底角は $\dfrac{180^\circ-108^\circ}2=36^\circ$ である。
(2) 三角形 $ACD$ は、2 辺 $AC=AD=\varphi$、底辺 $CD=1$ の二等辺三角形である。頂点 $C$ の内角 $108^\circ$ から $\angle BCA=36^\circ$ を引くと $\angle ACD=72^\circ$ なので、底角は $72^\circ$、頂角は $\angle CAD=180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ$ である。
(3) 面積を三角形の面積の公式で求めると
$$ \triangle ABC=\frac12\cdot1\cdot1\cdot\sin108^\circ=0.4755\ldots,\qquad\triangle ACD=\frac12\cdot\varphi\cdot\varphi\cdot\sin36^\circ=0.7694\ldots $$
で、比は $\dfrac{0.7694\ldots}{0.4755\ldots}=1.6180\ldots$ となり、$\varphi$ に近い。

1. 凧：半凧の頂角 $36^\circ$ の頂点どうしを重ねるので、先端の角は $2\cdot36^\circ=72^\circ$ である。軸のもう一方の端（くぼみ側の頂点）では底角が 2 つ重なって $2\cdot72^\circ=144^\circ$、脇の頂点は $72^\circ$ である。4 つの角の和は $72^\circ+144^\circ+72^\circ+72^\circ=360^\circ$ である。辺は、先端から出る 2 本が $\varphi$、くぼみ側の頂点から出る 2 本が $1$ である。
2. 矢：半矢の底角 $36^\circ$ の頂点どうしを重ねた方が先端で、角は $72^\circ$ である。軸のもう一方の端は頂角 $108^\circ$ が 2 つ重なって $216^\circ$ で、$180^\circ$ を超えるので内側にへこむ。脇の頂点は $36^\circ$ である。和は $72^\circ+216^\circ+36^\circ+36^\circ=360^\circ$ である。辺は、先端から出る 2 本が $\varphi$、くぼみ側の頂点から出る 2 本が $1$ である。

1. 5 枚の凧を、先端を 1 点に集めて並べる。先端の角は $72^\circ$ なので $5\cdot72^\circ=360^\circ$ で、すき間なく 1 周する。隣り合う凧は長さ $\varphi$ の辺で接し、その両端は先端（白）と脇の頂点（黒）どうしなので、印の色がそろう。この配置を 太陽 という。
2. 5 枚の矢を、先端を 1 点に集めて並べても $5\cdot72^\circ=360^\circ$ で 1 周し、中心はどれも黒、長さ $\varphi$ の辺の外側の端はどれも白（脇の頂点）なので印がそろう。この配置を 星 という。
   どちらも 1 点のまわりの $72^\circ$ の回転で自分自身に重なる、5 回対称の配置である。

$\sin36^\circ=0.5877\ldots$、$\sin72^\circ=0.9510\ldots$、$\varphi^2=\varphi+1=2.6180\ldots$ なので
$$ K=2.6180\ldots\times0.5877\ldots=1.5388\ldots,\qquad D=0.9510\ldots,\qquad\frac KD=1.6180\ldots $$
である。ex-pt-start (3) の比も、半凧と半矢の面積の比として同じ値だった。
凧と矢を同じ枚数ずつ使うと、凧の面積の合計は矢の約 $1.618$ 倍になる。逆に、凧の枚数が矢の $\varphi$ 倍なら、凧の面積の合計は矢の $\varphi^2=2.618\ldots$ 倍になる。

半凧を座標に置いて lem-pt-deflate (1) の長さを計算すると、$SX=1.0000\ldots$、$XY=0.6180\ldots=\dfrac1\varphi$ となり、補題と一致する。

太陽（ex-pt-sun）は凧 5 枚、つまり半凧 $a_0=10$ 枚、半矢 $b_0=0$ 枚である。thm-pt-count (1) で計算すると次の表になる。最後の列は prf-pt-count の段 3 の $d_n=a_n-\varphi b_n$ で、毎回 $\varphi^2=2.618\ldots$ で割られている。

$\dfrac{a_n}{10}$ は $1,2,5,13,34,89,233$、$\dfrac{b_n}{10}$ は $0,1,3,8,21,55,144$ で、Fibonacci 数 $F_0=0$、$F_1=1$、$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$ の 1 つおきの項 $a_n=10F_{2n+1}$、$b_n=10F_{2n}$ になっている。実際、$a_n=10F_{2n+1}$、$b_n=10F_{2n}$ なら
$$ b_{n+1}=a_n+b_n=10\left(F_{2n+1}+F_{2n}\right)=10F_{2n+2},\qquad a_{n+1}=2a_n+b_n=10\left(F_{2n+1}+F_{2n+2}\right)=10F_{2n+3} $$
なので、数学的帰納法で全部の $n$ について成り立つ。$n=6$ の比 $\dfrac{2330}{1440}=\dfrac{233}{144}$ は、Fibonacci 数の隣り合う項の比である（正五角形と黄金比 の例「Fibonacci 数の比」）。

凧と矢を、長さ $1$ の辺 2 本どうしで貼り合わせる。凧のくぼみ側の頂点の角 $144^\circ$ と、矢のくぼみ側の頂点の角 $216^\circ$ の和は $360^\circ$ なので、すき間なく閉じる。外側に残る辺は凧の長さ $\varphi$ の辺 2 本と矢の長さ $\varphi$ の辺 2 本で、4 辺の長さが等しいので、できた四角形はひし形である。角は凧の先端 $72^\circ$、矢の先端 $72^\circ$、脇の頂点で $72^\circ+36^\circ=108^\circ$ が 2 つである。
ひし形は平行四辺形なので、2 本の辺のベクトルの整数倍だけずらした写しを並べると、平面をすき間なく覆う。こうしてできる敷き詰めは、辺のベクトルの平行移動で自分自身に重なる周期的な敷き詰めで、凧と矢の枚数は $1:1$、比は $1$ であって $\varphi$ ではない（図 8）。
この組み方は def-pt-tiling の印の規則に反する。凧の脇の頂点（黒）に矢の脇の頂点（白）が重なり、凧のくぼみ側の頂点（白）に矢のくぼみ側の頂点（黒）が重なるからである（図 7）。Wei26 も、凧と矢をひし形に組むことを禁じている。

2 辺が $2$、底辺が $1$ の二等辺三角形を 2 枚貼り合わせて、凧に似た四角形を作る。頂角を $\theta$ とすると、頂点から底辺に下ろした垂線で分けた直角三角形から $\sin\dfrac\theta2=\dfrac{1/2}2=\dfrac14$ で、$\dfrac\theta2=14.47\ldots^\circ$、$\theta=28.95\ldots^\circ$ である。先端の角は $2\theta=57.91\ldots^\circ$ で、$5$ 枚では $289.5\ldots^\circ$、$6$ 枚では $347.4\ldots^\circ$ で $360^\circ$ に届かず、$7$ 枚では $405.3\ldots^\circ$ で重なる。先端を 1 点に集めて、すき間も重なりもなく 1 周させることはできない。ex-pt-sun の太陽が作れたのは、凧の先端の角が $72^\circ=\dfrac{360^\circ}5$ だったからである。