単体的ホモロジー

同義語：simplicial homology単体ホモロジー

概要

前提知識: Δ複体, 鎖複体, 自由アーベル群, 特異ホモロジー, 相対ホモロジーと長完全列

Δ複体の単体を整数係数で足し合わせた鎖に、面の交代和として境界を定めると鎖複体が得られる。そのホモロジーが 単体的ホモロジー である。単体が有限個なら鎖群は有限生成の自由アーベル群で、ホモロジーは整数行列の核と像の計算で求まる。一方、定義は Δ 複体の構造を使うので、同相な空間で同じ答えが出るかは定義からはわからない。主定理は、単体的ホモロジーが空間だけで決まる特異ホモロジーと自然に同型であることを述べ、これによって両者の長所が合わさる：特異ホモロジーの位相不変性と、単体的ホモロジーの有限計算である。退化写像をもつ単体的集合では、退化した単体を割った正規化鎖複体が、幾何学的実現の胞体鎖複体と自然に同型になる。

定義

以下、$X$ を Δ 複体とし、$n$ 単体の集合を $X_n$、$\sigma\in X_n$ の第 $i$ 面を $d_i\sigma:=\sigma\circ\delta^i_*\in X_{n-1}$ と書く（記号は Δ複体の定義「Δ 複体」の後の注意による）。

単体的鎖複体と単体的ホモロジー

$X_n$ を基底とする自由アーベル群を $\Delta_n(X)$ と書き（$n<0$ では $0$）、その元を $n$ 鎖 という。準同型 $\partial_n\colon\Delta_n(X)\to\Delta_{n-1}(X)$ を基底の上で
$$ \partial_n\sigma:=\sum_{i=0}^n(-1)^i\,d_i\sigma $$
と定める（$\partial_0=0$）。lem-sh-boundary により $(\Delta_\bullet(X),\partial)$ は鎖複体であり、そのホモロジー
$$ H^\Delta_n(X):=\operatorname{Ker}\partial_n/\operatorname{Im}\partial_{n+1} $$
を $X$ の $n$ 次の 単体的ホモロジー群（simplicial homology group）という。$\operatorname{Ker}\partial_n$ の元を輪体、$\operatorname{Im}\partial_{n+1}$ の元を境界という。

境界の境界は 0

$\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$ である。

$j< i$ のとき、$\delta^i\circ\delta^j$ と $\delta^j\circ\delta^{i-1}$ はどちらも $[n-2]$ から $[n]$ への、$j$ と $i$ を飛ばす順序を保つ単射なので等しい。よって $d_jd_i\sigma=\sigma\circ(\delta^i\delta^j)_*=d_{i-1}d_j\sigma$ である。
$$ \partial\partial\sigma=\sum_{j< i}(-1)^{i+j}d_jd_i\sigma+\sum_{j\ge i}(-1)^{i+j}d_jd_i\sigma $$
の第 1 の和で $d_jd_i\sigma=d_{i-1}d_j\sigma$ と書き換え、$(i',j'):=(j,i-1)$ とおくと、$i'\le j'$ の全体を動く $\sum(-1)^{i'+j'+1}d_{j'}d_{i'}\sigma$ になり、第 2 の和と打ち消し合う。$\square$

相対版と被約版

$A\subset X$ を部分複体（面で閉じた単体の部分族の像）とすると、$\Delta_\bullet(A)$ は $\Delta_\bullet(X)$ の部分鎖複体である。商 $\Delta_n(X,A):=\Delta_n(X)/\Delta_n(A)$（$A$ に属さない $n$ 単体を基底とする自由アーベル群）のホモロジーを 相対単体的ホモロジー $H^\Delta_n(X,A)$ という。鎖複体の短完全列 $0\to\Delta_\bullet(A)\to\Delta_\bullet(X)\to\Delta_\bullet(X,A)\to0$ から、相対ホモロジーと長完全列の補題「蛇の補題による長完全列の導出」により長完全列
$$ \cdots\to H^\Delta_n(A)\to H^\Delta_n(X)\to H^\Delta_n(X,A)\xrightarrow{\partial}H^\Delta_{n-1}(A)\to\cdots $$
が得られる。$X\ne\emptyset$ のとき、$\varepsilon\colon\Delta_0(X)\to\mathbb{Z}$（各頂点を $1$ へ）を $\Delta_{-1}=\mathbb{Z}$ への境界として付け加えたホモロジーを 被約単体的ホモロジー $\tilde H^\Delta_n(X)$ という。

基本性質

単体的ホモロジーの基本性質

$X$ を Δ 複体とする。

$X$ に $d$ より大きい次元の単体がなければ、$n>d$ で $H^\Delta_n(X)=0$ であり、$H^\Delta_d(X)$ は自由アーベル群である。
$X_n$ が有限集合なら、$H^\Delta_n(X)$ は有限生成である。
頂点 $v,w$ を、$d_1e=v$、$d_0e=w$ となる辺 $e$ があるとき結ぶ、とする。この関係が生成する同値関係の類全体を $\pi$ とすると、$H^\Delta_0(X)$ は $\pi$ を基底とする自由アーベル群である。
単体が有限個なら、$\displaystyle\sum_n(-1)^n|X_n|=\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}H^\Delta_n(X)$ である。

$n>d$ では $\Delta_n(X)=0$ である。$H^\Delta_d(X)=\operatorname{Ker}\partial_d$ は自由アーベル群の部分群なので自由である（自由アーベル群の定理「自由アーベル群の部分群は自由」）。2. $\operatorname{Ker}\partial_n$ は有限階数の自由アーベル群の部分群なので有限生成であり（同記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」）、その商も有限生成である。3. $\partial_0=0$ なので $H^\Delta_0(X)=\Delta_0(X)/\langle w-v\rangle$ であり、各類の頂点をすべて 1 つの生成元に送る写像がこの商から $\pi$ 上の自由アーベル群への同型を与える。4. Euler標数の定理「鎖複体の Euler 標数」を $\Delta_\bullet(X)$ に当てはめる。$\square$

3 の類の個数は $X$ の弧状連結成分の個数に等しい。これは主定理と、特異ホモロジーの $H_0$ が弧状連結成分を基底とする自由アーベル群であること（Hat02 Propositions 2.6–2.7、p. 109）から従う。

計算例

正方形 $[0,1]^2$ の辺を貼り合わせた曲面に、対角線で分けた三角形 2 個の Δ 複体の構造を入れて計算する。頂点の順序は各三角形の辺の向きと両立するように選ぶ。

トーラスと射影平面

トーラス $T$：$(s,0)\sim(s,1)$、$(0,t)\sim(1,t)$。頂点は 1 個 $v$。辺は $a$（底辺 $(0,0)\to(1,0)$）、$b$（左辺 $(0,0)\to(0,1)$）、$c$（対角線 $(0,0)\to(1,1)$）、三角形は $L=[(0,0),(1,0),(1,1)]$、$U=[(0,0),(0,1),(1,1)]$ で、
$$ \partial L=b-c+a,\qquad \partial U=a-c+b,\qquad \partial_1=0 $$
である。$\{a,b,a+b-c\}$ は $\Delta_1$ の基底なので $H^\Delta_1(T)\cong\mathbb{Z}^2$（$[a],[b]$ が基底）、$\partial(pL+qU)=(p+q)(a+b-c)$ から $H^\Delta_2(T)=\mathbb{Z}(L-U)\cong\mathbb{Z}$、$H^\Delta_0(T)\cong\mathbb{Z}$ である（Hat02 Example 2.3、p. 106 と同じ計算）。
射影平面 $P=\mathbb{R}\mathrm{P}^2$：$(s,0)\sim(1-s,1)$、$(0,t)\sim(1,1-t)$（商空間(位相) の例「正方形の対辺を貼り合わせた空間」）。頂点は $v=(0,0)$ と $w=(1,0)$ の 2 個。辺は $a$（底辺 $v\to w$）、$b$（左辺 $v\to w$）、$c$（対角線 $(1,0)\to(0,1)$、$w\to w$）、三角形は $A=[(0,0),(1,0),(0,1)]$、$B=[(1,1),(1,0),(0,1)]$ で、
$$ \partial A=c-b+a,\qquad \partial B=c-a+b,\qquad \partial a=\partial b=w-v,\quad \partial c=0 $$
である。$\operatorname{Ker}\partial_1$ の基底 $\{c,\ a-b+c\}$ に対して $\operatorname{Im}\partial_2$ の基底は $\{a-b+c,\ 2c\}$ なので $H^\Delta_1(P)\cong\mathbb{Z}/2$ である。$\partial_2$ は単射なので $H^\Delta_2(P)=0$、$H^\Delta_0(P)\cong\mathbb{Z}$ である（Hat02 Example 2.4、pp. 106–107）。

Kleinの壺も同じ形の構造をもち、$H^\Delta_1\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$H^\Delta_2=0$ となる（Kleinの壺の命題「Klein の壺の Δ 複体構造とホモロジー」）。

各次元に単体が 1 つの Δ 複体

$\Delta^n$ の同じ次元の面をすべて（頂点の順序を保って）同一視した Δ 複体 $Y_n$ は、各 $k\le n$ に $k$ 単体をちょうど 1 つ $\tau_k$ もつ。$d_i\tau_k=\tau_{k-1}$ なので
$$ \partial\tau_k=\sum_{i=0}^k(-1)^i\tau_{k-1}=\begin{cases}\tau_{k-1}&(k\ \text{が正の偶数}),\\0&(k\ \text{が奇数})\end{cases} $$
である。よって $H^\Delta_0(Y_n)\cong\mathbb{Z}$、$0< k< n$ で $H^\Delta_k(Y_n)=0$ であり、$H^\Delta_n(Y_n)$ は $n$ が奇数なら $\mathbb{Z}$、正の偶数なら $0$ である（$k$ が奇数なら $\operatorname{Ker}\partial_k=\mathbb{Z}\tau_k=\operatorname{Im}\partial_{k+1}$、$k$ が正の偶数なら $\operatorname{Ker}\partial_k=0$）。$n=2$ の $Y_2$ は Δ複体の例「基本的な Δ 複体」のとんがり帽子であり、ホモロジーは一点と同じである。

三角形の 3 頂点をつぶした空間

$\Delta^2$ の 3 頂点だけを 1 点に同一視した Δ 複体は、頂点 1・辺 $e_{01},e_{12},e_{02}$・三角形 $\sigma$ をもち、$\partial\sigma=e_{12}-e_{02}+e_{01}$、$\partial_1=0$ である。$(1,-1,1)$ は $\mathbb{Z}^3$ の基底の一部にとれるので $H^\Delta_1\cong\mathbb{Z}^2$、$\partial_2$ は単射なので $H^\Delta_2=0$ である。

主定理：特異ホモロジーとの一致

各 $n$ 単体 $\sigma\colon\Delta^n\to X$ はそのまま特異 $n$ 単体でもある。境界の式は特異ホモロジーと同じなので、$\sigma\mapsto\sigma$ は鎖写像 $\Delta_\bullet(X)\to C_\bullet(X)$ を定め、部分複体 $A$ について $\Delta_\bullet(A)$ を $C_\bullet(A)$ に写すので、相対版の鎖写像 $\Delta_\bullet(X,A)\to C_\bullet(X,A)$ も定まる。

単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致

$X$ を Δ 複体、$A$ をその部分複体（空でもよい）とする。上の鎖写像が誘導する準同型
$$ H^\Delta_n(X,A)\longrightarrow H_n(X,A) $$
は、すべての $n$ で同型である。

要点：骨格 $X^k$ について、対 $(X^k,X^{k-1})$ のホモロジーは単体的・特異のどちらでも「$k$ 単体を基底とする自由アーベル群が $k$ 次にだけある」形になり、比較写像はその基底を保つ。あとは対の長完全列と五項補題で $k$ について帰納し、無限次元の場合はコンパクト性で有限の骨格に帰着させる。
段 1（骨格の対）。 $k\ge1$ とする。$\Delta_n(X^k,X^{k-1})$ は $n=k$ のとき $X_k$ を基底とし、それ以外は $0$ なので、$H^\Delta_n(X^k,X^{k-1})$ も同じである。特異ホモロジーの側では、Δ複体の命題「Δ 複体は CW 複体である」により $X^k$ は $X^{k-1}$ に $k$ 単体を貼った空間で、$(X^k,X^{k-1})$ は良い対である（良い対の節「球面と円板」）。特性写像をまとめた
$$ \Phi\colon\textstyle\coprod_{\sigma\in X_k}(\Delta^k,\partial\Delta^k)\longrightarrow(X^k,X^{k-1}) $$
は商空間の同相 $\coprod\Delta^k/\coprod\partial\Delta^k\cong X^k/X^{k-1}$ を誘導するので、同記事の定理「良い対の相対ホモロジー」を両側に当てはめると $\Phi_*$ は同型である。$H_n(\Delta^k,\partial\Delta^k)$ は $n=k$ のとき恒等写像 $\Delta^k\to\Delta^k$ の類で生成される無限巡回群で、それ以外は $0$ なので（Hat02 Example 2.23、p. 125）、非交和の相対ホモロジーは各成分の直和なので、$H_k(X^k,X^{k-1})$ は特性写像 $\sigma$ の類を基底とする自由アーベル群であり、比較写像は基底 $\sigma$ を基底 $[\sigma]$ に送る同型である。$k=0$ では $X^0$ は離散空間で、両側とも頂点を基底とする $0$ 次の自由アーベル群になる（Hat02 Propositions 2.6・2.8、pp. 109–110）。
段 2（有限次元、$A=\emptyset$）。 対 $(X^k,X^{k-1})$ の長完全列は単体的・特異の両方にあり、比較写像は鎖複体の短完全列の間の写像から来るので、長完全列の間の可換図式を与える（長完全列の命題「接続準同型の自然性」）：
$$ \begin{array}{ccccccccc} H^\Delta_{n+1}(X^k,X^{k-1})&\to&H^\Delta_n(X^{k-1})&\to&H^\Delta_n(X^k)&\to&H^\Delta_n(X^k,X^{k-1})&\to&H^\Delta_{n-1}(X^{k-1})\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ H_{n+1}(X^k,X^{k-1})&\to&H_n(X^{k-1})&\to&H_n(X^k)&\to&H_n(X^k,X^{k-1})&\to&H_{n-1}(X^{k-1}) \end{array} $$
段 1 により 1・4 列目は同型で、$k$ についての帰納法の仮定により 2・5 列目も同型なので、五項補題の定理「五項補題」により中央も同型である。$X=X^d$ なら $k=d$ で結論を得る。
段 3（無限次元）。 Δ複体の命題「Δ 複体は CW 複体である」により、$X$ のコンパクト集合は有限個の開単体としか交わらず、したがってある骨格 $X^k$ に含まれる。全射性：特異輪体 $z$ は有限個の特異単体の和で、像はコンパクトなので $z$ はある $X^k$ の輪体であり、段 2 により $X^k$ の中で単体的輪体とホモローグである。単射性：単体的輪体 $z$ が $X$ の特異鎖 $c$ の境界なら、$c$ もある $X^k$（$z$ を含むように大きくとる）の鎖で、段 2 の単射性により $z$ は $X^k$ の単体的境界、したがって $X$ の単体的境界である。
段 4（相対版）。 対 $(X,A)$ の単体的・特異の長完全列の間の可換図式に、$A$ と $X$ についての段 3 と五項補題を当てはめる（部分複体 $A$ は、CW複体の部分複体として閉集合であり、それ自身 Δ 複体である）。$\square$

段 1 の商空間の同相の確かめを開く

$\Phi$ と $X^{k-1}\to X^k$ をまとめた $X^{k-1}\sqcup\coprod\Delta^k\to X^k$ は、Δ複体の命題「Δ 複体は CW 複体である」の証明により商写像で、同一視されるのは $x\in\partial\Delta^k_\sigma$ と $\sigma(x)$ の組だけである。$X^{k-1}$ をつぶした商 $X^k/X^{k-1}$ への合成も商写像であり（商写像の命題「商写像の合成」）、$\coprod\Delta^k$ からの制限は $\coprod\partial\Delta^k$ を 1 点に、内部を単射に写す。$\coprod\Delta^k\to X^k/X^{k-1}$ が商写像であることは、$X^k/X^{k-1}$ の部分集合の逆像が $X^{k-1}$ の上では空集合か全体であることから従う。したがって商写像の系「商空間からの連続写像と同相の判定」により $\coprod\Delta^k/\coprod\partial\Delta^k\cong X^k/X^{k-1}$ である。

帰結

単体的ホモロジーの位相不変性

Δ 複体 $X$ の単体的ホモロジーは、Δ 複体の構造の選び方によらず、$X$ のホモトピー型だけで決まる。
単体が有限個の Δ 複体の特異ホモロジーは有限生成で、単体の最大次元より上の次数では $0$ である。
単体が有限個の Δ 複体 $X$ では、単体の個数の交代和 $\sum_n(-1)^n|X_n|$ は Δ 複体の構造によらず、Euler標数 $\chi(X)$ に等しい。

1 は thm-sh-singular と特異ホモロジーのホモトピー不変性（特異ホモロジーのホモトピー不変性の系「ホモトピー同値はホモロジー同型を与える」）による。2 は thm-sh-singular と prop-sh-basic の 1・2、3 は thm-sh-singular と prop-sh-basic の 4 による。$\square$

たとえば $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ の 2 つの構造（三角形 2 個のもの ex-sh-torus-rp2 と、Δ複体の命題「実射影空間の Δ 複体構造」の三角形 4 個のもの）は、単体の個数の交代和がともに $2-3+2=3-6+4=1$ になる。

単体的集合の正規化鎖と実現の胞体鎖

Δ 複体には面写像しかないが、単体的集合には退化写像 $s_j$ もあり、非退化な単体の面が退化していることがある。単体的集合 $K$ の幾何学的実現 $\lvert K\rvert$ は、非退化な $n$ 単体 $y$ ごとに特性写像 $\iota_y\colon\lvert\Delta^n\rvert\to\lvert K\rvert$ をもつ $n$ 胞体を 1 つずつ貼った CW複体で、その $n$ 骨格 $\lvert K\rvert^{(n)}$ は次元 $n$ 以下の単体の像である（幾何学的実現の定理「幾何学的実現の CW 構造」）。記号はその記事に従い、$x\in K_n$ について $\iota_x[t]=[x,t]$、$\iota_{\alpha^*x}=\iota_x\circ\lvert\alpha\rvert$ である。この節では、退化した単体を割った鎖複体が、退化した面を落とすことでちょうど $\lvert K\rvert$ の胞体ホモロジーの鎖複体になることを示す。

単体的集合の正規化鎖複体

単体的集合 $K$ とアーベル群 $A$ について、$C_n(K;A):=\bigoplus_{x\in K_n}A$（元を有限和 $\sum a_xx$ と書く）、$\partial=\sum_{i=0}^n(-1)^id_i$ とおく。退化した単体 $x$（ある $s_j$ の像に入るもの）の $A$ 倍が生成する部分群を $D_n(K;A)$ とし、
$$ N(K;A):=C(K;A)/D(K;A) $$
を $K$ の 正規化鎖複体 という。$N_n(K;A)$ は非退化な $n$ 単体 $x$ ごとの $A$ の直和で、境界は
$$ \partial[x]=\sum_{i=0}^n(-1)^i[d_ix]\qquad([y]:=0\ \ (y\ \text{が退化しているとき})) $$
である。そのホモロジーを $H_n(K;A)$ と書く。単体的写像 $F\colon K\to L$ は $[x]\mapsto[F(x)]$ により鎖写像 $F_\sharp\colon N(K;A)\to N(L;A)$ を定める。

$\partial\partial=0$ は lem-sh-boundary と同じ計算で、$D(K;A)$ が部分複体であることは単体的恒等式 $d_is_j=s_{j-1}d_i$（$i< j$）、$d_js_j=d_{j+1}s_j=\mathrm{id}$、$d_is_j=s_jd_{i-1}$（$i>j+1$）から従う：$\partial(s_jz)$ の項のうち $i=j,j+1$ の 2 項は符号が逆で打ち消し合い、残りは退化している。$F$ は退化写像と可換なので退化した単体を退化した単体に写し、$F_\sharp$ は定まる。Dold–Kan対応の正規化複体は単体的アーベル群に対する同じ考え方である。

正規化鎖複体と胞体鎖複体の自然な同型

単体的集合 $K$ について、非退化な $n$ 単体 $x$ に
$$ \Phi_K[x]:=(\iota_x)_*[\iota_n]\in H_n\bigl(\lvert K\rvert^{(n)},\lvert K\rvert^{(n-1)}\bigr)=C_n^{\mathrm{CW}}(\lvert K\rvert) $$
を対応させる写像は、鎖複体の同型 $\Phi_K\colon N(K;\mathbb Z)\to C^{\mathrm{CW}}_\bullet(\lvert K\rvert)$ を与える。ここで $[\iota_n]$ は $H_n(\lvert\Delta^n\rvert,\partial\lvert\Delta^n\rvert)$ の、恒等写像 $\iota_n$ の類である生成元である。$\Phi$ は単体的写像 $F\colon K\to L$ について自然であり、$\lvert F\rvert$ は胞体写像で $\lvert F\rvert_\sharp\circ\Phi_K=\Phi_L\circ F_\sharp$ をみたす。任意のアーベル群 $A$ について $\Phi_K\otimes A$ は自然な同型 $N(K;A)\cong C^{\mathrm{CW}}_\bullet(\lvert K\rvert)\otimes A$ である。

退化した面は低い骨格に落ちる

要点：胞体鎖の境界は特異鎖の境界を骨格の対で読んだものなので、$\iota_x$ の境界の特異鎖 $\sum(-1)^i\iota_{d_ix}$ をそのまま読めばよい。退化した面 $d_ix$ の特異単体は $1$ つ低い骨格に入り、相対ホモロジーの類が $0$ になる。

詳しい証明を開く

基底。幾何学的実現の補題「位相的単体は閉球体と同相」の同相で $(\lvert\Delta^n\rvert,\partial\lvert\Delta^n\rvert)$ を $(D^n,\partial D^n)$ と同一視し、$[D^n]$ として $[\iota_n]$ に対応する生成元をとる（$[\iota_n]$ が生成元であることは Hat02 Example 2.23、p. 125）。胞体ホモロジーの補題「骨格の対のホモロジー」の 1 により、非退化な $n$ 単体 $x$ ごとの $(\iota_x)_*[\iota_n]$ は $C_n^{\mathrm{CW}}(\lvert K\rvert)$ の基底である。$N_n(K;\mathbb Z)$ の基底は非退化な $[x]$ なので、$\Phi_K$ は各次数で同型である。

2 つの観察。(i) 任意の $x\in K_n$ について、$\iota_x$ は対の写像 $(\lvert\Delta^n\rvert,\partial\lvert\Delta^n\rvert)\to(\lvert K\rvert^{(n)},\lvert K\rvert^{(n-1)})$ である。境界の点 $s$ は台による分解 $s=\lvert\delta\rvert s'$（$\delta$ は $[m]\to[n]$ の単射、$m< n$）をもち、$\iota_x(s)=[\delta^*x,s']$ で $\delta^*x$ は次元 $m$ の単体だからである。(ii) $x$ が退化しているなら、$x=\beta^*y$（$y$ は根、$\dim y< n$）と書けて $\iota_x=\iota_y\circ\lvert\beta\rvert$ の像は $\lvert K\rvert^{(n-1)}$ に入る。したがって $(\iota_x)_*[\iota_n]$、つまり相対輪体 $\iota_x$ の $H_n(\lvert K\rvert^{(n)},\lvert K\rvert^{(n-1)})$ での類は、$H_n(\lvert K\rvert^{(n-1)},\lvert K\rvert^{(n-1)})=0$ を経由するので $0$ である。

鎖写像であること。$n\ge1$、$x$ を非退化な $n$ 単体とする。$[\iota_n]$ の連結準同型による像は、特異輪体 $\partial\iota_n=\sum_i(-1)^i\lvert\delta^i\rvert$ の類 $[\partial\iota_n]\in H_{n-1}(\partial\lvert\Delta^n\rvert)$ である。連結準同型の自然性と $\iota_x\circ\lvert\delta^i\rvert=\iota_{d_ix}$ から

$$\partial_n\Phi_K[x]=\Bigl[\sum_{i=0}^n(-1)^i\iota_{d_ix}\Bigr]\in H_{n-1}\bigl(\lvert K\rvert^{(n-1)}\bigr)$$

である。各 $\iota_{d_ix}$ の面 $\iota_{d_jd_ix}$ は (i) と同じく $\lvert K\rvert^{(n-2)}$ に入るので、各 $\iota_{d_ix}$ は単独で対 $(\lvert K\rvert^{(n-1)},\lvert K\rvert^{(n-2)})$ の相対輪体であり、$d_{n}\Phi_K[x]=j_{n-1}\partial_n\Phi_K[x]=\sum_i(-1)^i[\iota_{d_ix}]$ である。$d_ix$ が非退化なら $[\iota_{d_ix}]=(\iota_{d_ix})_*[\iota_{n-1}]=\Phi_K[d_ix]$、退化しているなら (ii) により $0$ である。よって $d_n\Phi_K[x]=\Phi_K(\partial[x])$ である。同じ非退化な面が何度も現れるときは、その係数が足し合わされる。$n=1$ でも頂点はすべて非退化で、同じ式が成り立つ。

自然性。$x\in K_n$ の根を $y$ とすると $F(x)=\beta^*F(y)$ で、$F(y)$ の根の次元は $\dim y$ 以下なので、$F$ は $\operatorname{sk}_nK$ を $\operatorname{sk}_nL$ に写す。よって $\lvert F\rvert[x,t]=[F(x),t]$ は骨格を骨格に写す胞体写像で、$\lvert F\rvert\circ\iota_x=\iota_{F(x)}$ である。非退化な $x$ について $\lvert F\rvert_\sharp\Phi_K[x]=(\iota_{F(x)})_*[\iota_n]$ は、$F(x)$ が非退化なら $\Phi_L[F(x)]$、退化しているなら (ii) により $0$ で、どちらも $\Phi_LF_\sharp[x]$ に等しい。

係数。$N(K;A)=N(K;\mathbb Z)\otimes A$ であり、$\Phi_K\otimes A$ は同型の鎖写像と恒等写像のテンソル積なので鎖同型で、自然性も保たれる。$A$ に条件は要らない。$\square$

単体的集合のホモロジーと実現のホモロジー

単体的集合 $K$ とアーベル群 $A$ について、単体的写像に関して自然な同型 $H_n(K;A)\cong H_n(\lvert K\rvert;A)$ がある。

thm-sh-cellular により $H_n(K;A)\cong H_n(C^{\mathrm{CW}}_\bullet(\lvert K\rvert)\otimes A)$ である。胞体ホモロジーの定理「胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型」とその後の係数の段落（$C^{\mathrm{CW}}_\bullet(X;A)\cong C^{\mathrm{CW}}_\bullet(X)\otimes A$）により右辺は $H_n(\lvert K\rvert;A)$ に同型で、同記事の命題「胞体写像が誘導する鎖写像」により、この同型は胞体写像 $\lvert F\rvert$ と両立する。$\square$

とくに $K=\operatorname{Sing}X$ なら、$H_n(\operatorname{Sing}X;A)$ は退化した特異単体を割った特異鎖複体のホモロジーで、上の系はそれを $\lvert\operatorname{Sing}X\rvert$ の特異ホモロジーと結ぶ。$\lvert\operatorname{Sing}X\rvert$ と $X$ 自身の比較は別の問題で、ここでは扱わない。主張は May99 Chapter 16 §4（p. 127）に述べられ、胞体境界の計算の筋は同 §3（pp. 125–126）にある。上の証明は写像度を直接計算せず、相対ホモロジーの類として面を読むことで、退化した面と同じ面の重複を同時に扱っている。

単体的な球面

$n\ge1$ について、$\Delta^n$ の境界 $\partial\Delta^n$ を 1 点につぶした単体的集合 $S:=\Delta^n/\partial\Delta^n$ を考える。$S$ の $m$ 単体は、全射 $[m]\to[n]$ と、つぶした点 $v$ の $m$ 次の退化 $v_m$（$m\ge1$ で退化）である。$m>n$ の全射は退化しているので、非退化な単体は $v$ と $x:=\mathrm{id}_{[n]}$ の 2 つだけである。$n\ge2$ なら $d_ix$ はすべて $v_{n-1}$ で退化しているので $\partial[x]=0$、$n=1$ なら $\partial[x]=[v]-[v]=0$ である。よって $N(S;A)$ は次数 $0$ と $n$ に $A$ を 1 つずつもち、境界は $0$ で、$H_0(S;A)\cong H_n(S;A)\cong A$、ほかは $0$ である。cor-sh-simplicial-set により、これは $\lvert S\rvert\cong S^n$ のホモロジーに一致する。Δ 複体では単体の面もまた複体の単体なので、$n\ge2$ では頂点 1 つと $n$ 単体 1 つだけで $S^n$ を作ることはできない（$n$ 単体の面になる $(n-1)$ 単体がない）。単体的集合では面が退化してよいので、この 2 つで足りる。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
Δ 複体の位相の条件（Δ複体の定義「Δ 複体」の 3）	$[0,1]$ の各点を $0$ 単体とする族	単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致（thm-sh-singular）：$H^\Delta_0$ は非可算個の生成元をもつ自由アーベル群、$H_0([0,1])\cong\mathbb{Z}$
次数が単体の最大次元であること（prop-sh-basic の 1）	$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$（ex-sh-torus-rp2 の 2）	ホモロジーが自由アーベル群であること：$H^\Delta_1\cong\mathbb{Z}/2$
$n$ 単体が有限個であること（prop-sh-basic の 2）	無限個の点からなる離散空間（各点を $0$ 単体とする）	$H^\Delta_0$ が有限生成であること
退化した単体を割ること（thm-sh-cellular）	1 点の単体的集合 $\Delta^0$ の、割らない鎖複体 $C(\Delta^0;\mathbb Z)$	胞体鎖複体との鎖同型：$C_n(\Delta^0;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ がすべての $n\ge0$ にあるが、$\lvert\Delta^0\rvert$ は 1 点で胞体鎖は次数 $0$ だけ

1 行目の族は def-sh-main の鎖複体を形式的には定めるが、thm-sh-singular の証明の段 1 で使った「$X^0$ が離散空間」が成り立たない。2 行目の $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は 2 次元で、最高次の $H^\Delta_2=0$ は自由だが、その 1 つ下の次数に位数 $2$ の元が現れる。4 行目の $\Delta^0$ は各次数に単体を 1 つ $\sigma_n=s_0^n(\sigma_0)$ だけもち、$n\ge1$ ではそれが退化している。割らない鎖複体の境界は ex-sh-one-each と同じ式 $\partial\sigma_n=\sum_i(-1)^i\sigma_{n-1}$ で、ホモロジーは次数 $0$ の $\mathbb Z$ だけになる。ホモロジーは一致しても、鎖複体として胞体鎖と同型になるのは退化した単体を割ったときである。

補足

係数：アーベル群 $G$ について $\Delta_n(X;G):=\Delta_n(X)\otimes G$ とすると、係数 $G$ の単体的ホモロジーが同じように定まり、同じ方法で特異ホモロジー $H_n(X;G)$ と一致する。係数 $\mathbb{Z}/2$ では符号が消え、$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ の $H_1$ と $H_2$ はどちらも $\mathbb{Z}/2$ になる（ex-sh-torus-rp2 の境界を $2$ を法として読む）。整数係数と他の係数の関係は普遍係数定理が与える。
単体複体の場合：単体複体では、頂点に全順序を 1 つ選んで Δ 複体とみなせば単体的ホモロジーが定まる。順序の選び方によらないことは thm-sh-singular から従う。
胞体ホモロジー：CW 複体の対 $(X^k,X^{k-1})$ の特異ホモロジーを鎖群とする胞体ホモロジーは、段 1 の計算を一般の胞体に広げたもので、Δ 複体では単体的鎖複体と同じ形になる。単体的集合の実現では、正規化鎖複体と同型になる（thm-sh-cellular）。
文献：定義と計算例は Hat02 §2.1（pp. 104–107）、thm-sh-singular は Hat02 Theorem 2.27（pp. 128–130）にある。