単体的ホモロジー
概要
単体的ホモロジー（simplicial homology）とは、Δ 複体の $n$ 単体を基底とする自由アーベル群に、面の交代和 $\partial\sigma=\sum_i(-1)^i d_i\sigma$ を境界として入れた鎖複体のホモロジーである。単体が有限個なら鎖群は有限生成の自由アーベル群で、ホモロジーは整数行列の核と像から計算でき、トーラスでは $H_1\cong\mathbb{Z}^2$、射影平面では $H_1\cong\mathbb{Z}/2$ となる。主定理として、単体を特異単体とみなす鎖写像は、Δ 複体とその部分複体の対について特異ホモロジーへの同型を誘導する。したがって単体的ホモロジーは Δ 複体の構造によらずホモトピー型だけで決まり、単体の個数の交代和は Euler 標数に等しい。
前提知識: Δ複体, 鎖複体, 自由アーベル群, 特異ホモロジー, 相対ホモロジーと長完全列
Δ複体 の単体を整数係数で足し合わせた鎖に、面の交代和として境界を定めると鎖複体が得られる。そのホモロジーが 単体的ホモロジー である。単体が有限個なら鎖群は有限生成の自由アーベル群で、ホモロジーは整数行列の核と像の計算で求まる。一方、定義は Δ 複体の構造を使うので、同相な空間で同じ答えが出るかは定義からはわからない。主定理は、単体的ホモロジーが空間だけで決まる特異ホモロジーと自然に同型であることを述べ、これによって両者の長所が合わさる：特異ホモロジーの位相不変性と、単体的ホモロジーの有限計算である。
定義
以下、$X$ を Δ 複体とし、$n$ 単体の集合を $X_n$、$\sigma\in X_n$ の第 $i$ 面を $d_i\sigma:=\sigma\circ\delta^i_*\in X_{n-1}$ と書く（記号は Δ複体 の定義「Δ 複体」の後の注意による）。
$X_n$ を基底とする自由アーベル群を $\Delta_n(X)$ と書き（$n<0$ では $0$）、その元を $n$ 鎖 という。準同型 $\partial_n\colon\Delta_n(X)\to\Delta_{n-1}(X)$ を基底の上で
$$
\partial_n\sigma:=\sum_{i=0}^n(-1)^i\,d_i\sigma
$$
と定める（$\partial_0=0$）。lem-sh-boundary により $(\Delta_\bullet(X),\partial)$ は鎖複体であり、そのホモロジー
$$
H^\Delta_n(X):=\operatorname{Ker}\partial_n/\operatorname{Im}\partial_{n+1}
$$
を $X$ の $n$ 次の 単体的ホモロジー群（simplicial homology group）という。$\operatorname{Ker}\partial_n$ の元を 輪体、$\operatorname{Im}\partial_{n+1}$ の元を 境界 という。
$\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$ である。
$j< i$ のとき、$\delta^i\circ\delta^j$ と $\delta^j\circ\delta^{i-1}$ はどちらも $[n-2]$ から $[n]$ への、$j$ と $i$ を飛ばす順序を保つ単射なので等しい。よって $d_jd_i\sigma=\sigma\circ(\delta^i\delta^j)_*=d_{i-1}d_j\sigma$ である。
$$
\partial\partial\sigma=\sum_{j< i}(-1)^{i+j}d_jd_i\sigma+\sum_{j\ge i}(-1)^{i+j}d_jd_i\sigma
$$
の第 1 の和で $d_jd_i\sigma=d_{i-1}d_j\sigma$ と書き換え、$(i',j'):=(j,i-1)$ とおくと、$i'\le j'$ の全体を動く $\sum(-1)^{i'+j'+1}d_{j'}d_{i'}\sigma$ になり、第 2 の和と打ち消し合う。$\square$
相対版と被約版
$A\subset X$ を部分複体（面で閉じた単体の部分族の像）とすると、$\Delta_\bullet(A)$ は $\Delta_\bullet(X)$ の部分鎖複体である。商 $\Delta_n(X,A):=\Delta_n(X)/\Delta_n(A)$（$A$ に属さない $n$ 単体を基底とする自由アーベル群）のホモロジーを 相対単体的ホモロジー $H^\Delta_n(X,A)$ という。鎖複体の短完全列 $0\to\Delta_\bullet(A)\to\Delta_\bullet(X)\to\Delta_\bullet(X,A)\to0$ から、相対ホモロジーと長完全列 の補題「蛇の補題による長完全列の導出」により長完全列
$$
\cdots\to H^\Delta_n(A)\to H^\Delta_n(X)\to H^\Delta_n(X,A)\xrightarrow{\partial}H^\Delta_{n-1}(A)\to\cdots
$$
が得られる。$X\ne\emptyset$ のとき、$\varepsilon\colon\Delta_0(X)\to\mathbb{Z}$（各頂点を $1$ へ）を $\Delta_{-1}=\mathbb{Z}$ への境界として付け加えたホモロジーを 被約単体的ホモロジー $\tilde H^\Delta_n(X)$ という。
基本性質
$X$ を Δ 複体とする。
- $X$ に $d$ より大きい次元の単体がなければ、$n>d$ で $H^\Delta_n(X)=0$ であり、$H^\Delta_d(X)$ は自由アーベル群である。
- $X_n$ が有限集合なら、$H^\Delta_n(X)$ は有限生成である。
- 頂点 $v,w$ を、$d_1e=v$、$d_0e=w$ となる辺 $e$ があるとき結ぶ、とする。この関係が生成する同値関係の類全体を $\pi$ とすると、$H^\Delta_0(X)$ は $\pi$ を基底とする自由アーベル群である。
- 単体が有限個なら、$\displaystyle\sum_n(-1)^n|X_n|=\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}H^\Delta_n(X)$ である。
- $n>d$ では $\Delta_n(X)=0$ である。$H^\Delta_d(X)=\operatorname{Ker}\partial_d$ は自由アーベル群の部分群なので自由である（自由アーベル群 の定理「自由アーベル群の部分群は自由」）。2. $\operatorname{Ker}\partial_n$ は有限階数の自由アーベル群の部分群なので有限生成であり（同記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」）、その商も有限生成である。3. $\partial_0=0$ なので $H^\Delta_0(X)=\Delta_0(X)/\langle w-v\rangle$ であり、各類の頂点をすべて 1 つの生成元に送る写像がこの商から $\pi$ 上の自由アーベル群への同型を与える。4. Euler標数 の定理「鎖複体の Euler 標数」を $\Delta_\bullet(X)$ に当てはめる。$\square$
3 の類の個数は $X$ の弧状連結成分の個数に等しい。これは主定理と、特異ホモロジーの $H_0$ が弧状連結成分を基底とする自由アーベル群であること（Hat02 Propositions 2.6–2.7、p. 109）から従う。
計算例
正方形 $[0,1]^2$ の辺を貼り合わせた曲面に、対角線で分けた三角形 2 個の Δ 複体の構造を入れて計算する。頂点の順序は各三角形の辺の向きと両立するように選ぶ。
- トーラス $T$：$(s,0)\sim(s,1)$、$(0,t)\sim(1,t)$。頂点は 1 個 $v$。辺は $a$（底辺 $(0,0)\to(1,0)$）、$b$（左辺 $(0,0)\to(0,1)$）、$c$（対角線 $(0,0)\to(1,1)$）、三角形は $L=[(0,0),(1,0),(1,1)]$、$U=[(0,0),(0,1),(1,1)]$ で、
$$ \partial L=b-c+a,\qquad \partial U=a-c+b,\qquad \partial_1=0 $$
である。$\{a,b,a+b-c\}$ は $\Delta_1$ の基底なので $H^\Delta_1(T)\cong\mathbb{Z}^2$（$[a],[b]$ が基底）、$\partial(pL+qU)=(p+q)(a+b-c)$ から $H^\Delta_2(T)=\mathbb{Z}(L-U)\cong\mathbb{Z}$、$H^\Delta_0(T)\cong\mathbb{Z}$ である（Hat02 Example 2.3、p. 106 と同じ計算）。 - 射影平面 $P=\mathbb{R}\mathrm{P}^2$：$(s,0)\sim(1-s,1)$、$(0,t)\sim(1,1-t)$（商空間(位相) の例「正方形の対辺を貼り合わせた空間」）。頂点は $v=(0,0)$ と $w=(1,0)$ の 2 個。辺は $a$（底辺 $v\to w$）、$b$（左辺 $v\to w$）、$c$（対角線 $(1,0)\to(0,1)$、$w\to w$）、三角形は $A=[(0,0),(1,0),(0,1)]$、$B=[(1,1),(1,0),(0,1)]$ で、
$$ \partial A=c-b+a,\qquad \partial B=c-a+b,\qquad \partial a=\partial b=w-v,\quad \partial c=0 $$
である。$\operatorname{Ker}\partial_1$ の基底 $\{c,\ a-b+c\}$ に対して $\operatorname{Im}\partial_2$ の基底は $\{a-b+c,\ 2c\}$ なので $H^\Delta_1(P)\cong\mathbb{Z}/2$ である。$\partial_2$ は単射なので $H^\Delta_2(P)=0$、$H^\Delta_0(P)\cong\mathbb{Z}$ である（Hat02 Example 2.4、pp. 106–107）。
Kleinの壺 も同じ形の構造をもち、$H^\Delta_1\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$H^\Delta_2=0$ となる（Kleinの壺 の命題「Klein の壺の Δ 複体構造とホモロジー」）。
$\Delta^n$ の同じ次元の面をすべて（頂点の順序を保って）同一視した Δ 複体 $Y_n$ は、各 $k\le n$ に $k$ 単体をちょうど 1 つ $\tau_k$ もつ。$d_i\tau_k=\tau_{k-1}$ なので
$$
\partial\tau_k=\sum_{i=0}^k(-1)^i\tau_{k-1}=\begin{cases}\tau_{k-1}&(k\ \text{が正の偶数}),\\0&(k\ \text{が奇数})\end{cases}
$$
である。よって $H^\Delta_0(Y_n)\cong\mathbb{Z}$、$0< k< n$ で $H^\Delta_k(Y_n)=0$ であり、$H^\Delta_n(Y_n)$ は $n$ が奇数なら $\mathbb{Z}$、正の偶数なら $0$ である（$k$ が奇数なら $\operatorname{Ker}\partial_k=\mathbb{Z}\tau_k=\operatorname{Im}\partial_{k+1}$、$k$ が正の偶数なら $\operatorname{Ker}\partial_k=0$）。$n=2$ の $Y_2$ は Δ複体 の例「基本的な Δ 複体」のとんがり帽子であり、ホモロジーは一点と同じである。
$\Delta^2$ の 3 頂点だけを 1 点に同一視した Δ 複体は、頂点 1・辺 $e_{01},e_{12},e_{02}$・三角形 $\sigma$ をもち、$\partial\sigma=e_{12}-e_{02}+e_{01}$、$\partial_1=0$ である。$(1,-1,1)$ は $\mathbb{Z}^3$ の基底の一部にとれるので $H^\Delta_1\cong\mathbb{Z}^2$、$\partial_2$ は単射なので $H^\Delta_2=0$ である。
主定理：特異ホモロジーとの一致
各 $n$ 単体 $\sigma\colon\Delta^n\to X$ はそのまま特異 $n$ 単体でもある。境界の式は特異ホモロジーと同じなので、$\sigma\mapsto\sigma$ は鎖写像 $\Delta_\bullet(X)\to C_\bullet(X)$ を定め、部分複体 $A$ について $\Delta_\bullet(A)$ を $C_\bullet(A)$ に写すので、相対版の鎖写像 $\Delta_\bullet(X,A)\to C_\bullet(X,A)$ も定まる。
$X$ を Δ 複体、$A$ をその部分複体（空でもよい）とする。上の鎖写像が誘導する準同型
$$
H^\Delta_n(X,A)\longrightarrow H_n(X,A)
$$
は、すべての $n$ で同型である。
要点：骨格 $X^k$ について、対 $(X^k,X^{k-1})$ のホモロジーは単体的・特異のどちらでも「$k$ 単体を基底とする自由アーベル群が $k$ 次にだけある」形になり、比較写像はその基底を保つ。あとは対の長完全列と 五項補題 で $k$ について帰納し、無限次元の場合はコンパクト性で有限の骨格に帰着させる。
段 1（骨格の対）。 $k\ge1$ とする。$\Delta_n(X^k,X^{k-1})$ は $n=k$ のとき $X_k$ を基底とし、それ以外は $0$ なので、$H^\Delta_n(X^k,X^{k-1})$ も同じである。特異ホモロジーの側では、Δ複体 の命題「Δ 複体は CW 複体である」により $X^k$ は $X^{k-1}$ に $k$ 単体を貼った空間で、$(X^k,X^{k-1})$ は良い対である（切除定理(特異ホモロジー) の定義「良い対」の後の注意）。特性写像をまとめた
$$
\Phi\colon\textstyle\coprod_{\sigma\in X_k}(\Delta^k,\partial\Delta^k)\longrightarrow(X^k,X^{k-1})
$$
は商空間の同相 $\coprod\Delta^k/\coprod\partial\Delta^k\cong X^k/X^{k-1}$ を誘導するので、同記事の命題「良い対の相対ホモロジー」を両側に当てはめると $\Phi_*$ は同型である。$H_n(\Delta^k,\partial\Delta^k)$ は $n=k$ のとき恒等写像 $\Delta^k\to\Delta^k$ の類で生成される無限巡回群で、それ以外は $0$ なので（Hat02 Example 2.23、p. 125）、非交和の相対ホモロジーは各成分の直和なので、$H_k(X^k,X^{k-1})$ は特性写像 $\sigma$ の類を基底とする自由アーベル群であり、比較写像は基底 $\sigma$ を基底 $[\sigma]$ に送る同型である。$k=0$ では $X^0$ は離散空間で、両側とも頂点を基底とする $0$ 次の自由アーベル群になる（Hat02 Propositions 2.6・2.8、pp. 109–110）。
段 2（有限次元、$A=\emptyset$）。 対 $(X^k,X^{k-1})$ の長完全列は単体的・特異の両方にあり、比較写像は鎖複体の短完全列の間の写像から来るので、長完全列の間の可換図式を与える（長完全列 の命題「接続準同型の自然性」）：
$$
\begin{array}{ccccccccc}
H^\Delta_{n+1}(X^k,X^{k-1})&\to&H^\Delta_n(X^{k-1})&\to&H^\Delta_n(X^k)&\to&H^\Delta_n(X^k,X^{k-1})&\to&H^\Delta_{n-1}(X^{k-1})\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
H_{n+1}(X^k,X^{k-1})&\to&H_n(X^{k-1})&\to&H_n(X^k)&\to&H_n(X^k,X^{k-1})&\to&H_{n-1}(X^{k-1})
\end{array}
$$
段 1 により 1・4 列目は同型で、$k$ についての帰納法の仮定により 2・5 列目も同型なので、五項補題 の定理「五項補題」により中央も同型である。$X=X^d$ なら $k=d$ で結論を得る。
段 3（無限次元）。 Δ複体 の命題「Δ 複体は CW 複体である」により、$X$ のコンパクト集合は有限個の開単体としか交わらず、したがってある骨格 $X^k$ に含まれる。全射性：特異輪体 $z$ は有限個の特異単体の和で、像はコンパクトなので $z$ はある $X^k$ の輪体であり、段 2 により $X^k$ の中で単体的輪体とホモローグである。単射性：単体的輪体 $z$ が $X$ の特異鎖 $c$ の境界なら、$c$ もある $X^k$（$z$ を含むように大きくとる）の鎖で、段 2 の単射性により $z$ は $X^k$ の単体的境界、したがって $X$ の単体的境界である。
段 4（相対版）。 対 $(X,A)$ の単体的・特異の長完全列の間の可換図式に、$A$ と $X$ についての段 3 と 五項補題 を当てはめる（部分複体 $A$ は、CW複体 の部分複体として閉集合であり、それ自身 Δ 複体である）。$\square$
段 1 の商空間の同相の確かめを開く
$\Phi$ と $X^{k-1}\to X^k$ をまとめた $X^{k-1}\sqcup\coprod\Delta^k\to X^k$ は、Δ複体 の命題「Δ 複体は CW 複体である」の証明により商写像で、同一視されるのは $x\in\partial\Delta^k_\sigma$ と $\sigma(x)$ の組だけである。$X^{k-1}$ をつぶした商 $X^k/X^{k-1}$ への合成も商写像であり（商写像 の命題「商写像の合成」）、$\coprod\Delta^k$ からの制限は $\coprod\partial\Delta^k$ を 1 点に、内部を単射に写す。$\coprod\Delta^k\to X^k/X^{k-1}$ が商写像であることは、$X^k/X^{k-1}$ の部分集合の逆像が $X^{k-1}$ の上では空集合か全体であることから従う。したがって 商写像 の系「商空間からの連続写像と同相の判定」により $\coprod\Delta^k/\coprod\partial\Delta^k\cong X^k/X^{k-1}$ である。
帰結
- Δ 複体 $X$ の単体的ホモロジーは、Δ 複体の構造の選び方によらず、$X$ のホモトピー型だけで決まる。
- 単体が有限個の Δ 複体の特異ホモロジーは有限生成で、単体の最大次元より上の次数では $0$ である。
- 単体が有限個の Δ 複体 $X$ では、単体の個数の交代和 $\sum_n(-1)^n|X_n|$ は Δ 複体の構造によらず、Euler標数 $\chi(X)$ に等しい。
1 は thm-sh-singular と特異ホモロジーのホモトピー不変性（特異ホモロジーのホモトピー不変性 の系「ホモトピー同値はホモロジー同型を与える」）による。2 は thm-sh-singular と prop-sh-basic の 1・2、3 は thm-sh-singular と prop-sh-basic の 4 による。$\square$
たとえば $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ の 2 つの構造（三角形 2 個のもの ex-sh-torus-rp2 と、Δ複体 の命題「実射影空間の Δ 複体構造」の三角形 4 個のもの）は、単体の個数の交代和がともに $2-3+2=3-6+4=1$ になる。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Δ 複体の位相の条件（Δ複体 の定義「Δ 複体」の 3） | $[0,1]$ の各点を $0$ 単体とする族 | 単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致（thm-sh-singular）：$H^\Delta_0$ は非可算個の生成元をもつ自由アーベル群、$H_0([0,1])\cong\mathbb{Z}$ |
| 次数が単体の最大次元であること（prop-sh-basic の 1） | $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$（ex-sh-torus-rp2 の 2） | ホモロジーが自由アーベル群であること：$H^\Delta_1\cong\mathbb{Z}/2$ |
| $n$ 単体が有限個であること（prop-sh-basic の 2） | 無限個の点からなる離散空間（各点を $0$ 単体とする） | $H^\Delta_0$ が有限生成であること |
1 行目の族は def-sh-main の鎖複体を形式的には定めるが、thm-sh-singular の証明の段 1 で使った「$X^0$ が離散空間」が成り立たない。2 行目の $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は 2 次元で、最高次の $H^\Delta_2=0$ は自由だが、その 1 つ下の次数に位数 $2$ の元が現れる。
補足
- 係数：アーベル群 $G$ について $\Delta_n(X;G):=\Delta_n(X)\otimes G$ とすると、係数 $G$ の単体的ホモロジーが同じように定まり、同じ方法で特異ホモロジー $H_n(X;G)$ と一致する。係数 $\mathbb{Z}/2$ では符号が消え、$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ の $H_1$ と $H_2$ はどちらも $\mathbb{Z}/2$ になる（ex-sh-torus-rp2 の境界を $2$ を法として読む）。整数係数と他の係数の関係は 普遍係数定理 が与える。
- 単体複体の場合：単体複体では、頂点に全順序を 1 つ選んで Δ 複体とみなせば単体的ホモロジーが定まる。順序の選び方によらないことは thm-sh-singular から従う。
- 胞体ホモロジー：CW 複体の対 $(X^k,X^{k-1})$ の特異ホモロジーを鎖群とする 胞体ホモロジー は、段 1 の計算を一般の胞体に広げたもので、Δ 複体では単体的鎖複体と同じ形になる。
- 文献：定義と計算例は Hat02 §2.1（pp. 104–107）、thm-sh-singular は Hat02 Theorem 2.27（pp. 128–130）にある。
関連項目
参考文献
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