Perronの公式

$g(s):=y^s/s$ は $s=0$ だけに 1 位の極をもち、留数は $y^0=1$ である。$\lvert y^s\rvert=y^\sigma$ である。
$y>1$ の場合。$V>0$ として、頂点 $c-iT$、$c+iT$、$-V+iT$、$-V-iT$ の長方形の周を正の向きに回る。内部の極は $s=0$ だけなので、留数定理 により周の上の積分は $2\pi i$ である。上の辺では $\lvert s\rvert\ge T$ なので
$$ \Bigl\lvert\int_{c+iT}^{-V+iT}g(s)\,ds\Bigr\rvert\le\frac1T\int_{-V}^cy^\sigma\,d\sigma\le\frac1T\int_{-\infty}^cy^\sigma\,d\sigma=\frac{y^c}{T\log y} $$
であり、下の辺も同じである。左の辺では $\lvert g(s)\rvert\le y^{-V}/V$、長さは $2T$ なので、積分は $V\to\infty$ で $0$ に近づく。右の辺の積分は $2\pi iI(y,T)$ なので、$V\to\infty$ として
$$ \lvert I(y,T)-1\rvert\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{2y^c}{T\log y}=\frac{y^c}{\pi T\log y} $$
を得る。もう 1 つの評価のために、$R:=\lvert c+iT\rvert$ とし、線分 $[c-iT,c+iT]$ と、円 $\lvert s\rvert=R$ のうち $\operatorname{Re}s\le c$ の部分の弧（$c+iT$ から $-R$ を通って $c-iT$ に至る）でできる閉曲線を考える。この閉曲線が囲む範囲 $\{\lvert s\rvert< R,\ \operatorname{Re}s< c\}$ は $0$ を含むので、留数定理により $I(y,T)-1$ は弧の上の積分を $-2\pi i$ で割ったものである。弧の上では $\operatorname{Re}s\le c$ なので $\lvert g(s)\rvert\le y^c/R$ で、弧の長さは $2\pi R$ 以下だから、$\lvert I(y,T)-1\rvert\le\frac1{2\pi}\cdot2\pi R\cdot\frac{y^c}R=y^c$ である。
$0< y< 1$ の場合。今度は右へ動かす。頂点 $c-iT$、$V-iT$、$V+iT$、$c+iT$（$V>c$）の長方形の内部に極はないので、周の上の積分は $0$ である。横の辺は $\frac1T\int_c^\infty y^\sigma\,d\sigma=\frac{y^c}{T\lvert\log y\rvert}$ 以下、右の辺は $2T\cdot y^V/V\to0$ なので、$\lvert I(y,T)\rvert\le\frac{y^c}{\pi T\lvert\log y\rvert}$ である。弧については円 $\lvert s\rvert=R$ の $\operatorname{Re}s\ge c$ の部分をとると、囲む範囲 $\{\lvert s\rvert< R,\ \operatorname{Re}s>c\}$ は $0$ を含まず、弧の上で $y^{\operatorname{Re}s}\le y^c$ なので、$\lvert I(y,T)\rvert\le y^c$ である。
$y=1$ の場合。$s=c+it$ とすると $ds=i\,dt$ なので
$$ I(1,T)=\frac1{2\pi}\int_{-T}^T\frac{dt}{c+it}=\frac1{2\pi}\int_{-T}^T\frac{c-it}{c^2+t^2}\,dt=\frac1\pi\int_0^T\frac{c\,dt}{c^2+t^2}=\frac1\pi\arctan\frac Tc $$
である（$t/(c^2+t^2)$ は奇関数なので積分は $0$）。$\arctan\frac Tc+\arctan\frac cT=\frac\pi2$ と $\arctan u\le u$（$u\ge0$）から $\frac12-I(1,T)=\frac1\pi\arctan\frac cT\le\frac c{\pi T}$ である。$\square$

線分 $s=c+it$（$\lvert t\rvert\le T$）の上で、第 $n$ 項 $a_nn^{-s}x^s/s$ の絶対値は $\lvert a_n\rvert n^{-c}x^c/c$ 以下であり、$c>\sigma_a$ なので $\sum_n\lvert a_n\rvert n^{-c}< \infty$ である。各項は線分の上で連続なので、Weierstrassの優級数判定法 により級数 $F(s)x^s/s=\sum_na_nn^{-s}x^s/s$ は線分の上で一様に収束し、項ごとに積分できる。$n^{-s}x^s=(x/n)^s$ なので
$$ \frac1{2\pi i}\int_{c-iT}^{c+iT}F(s)\frac{x^s}s\,ds=\sum_{n\ge1}a_n\,I\Bigl(\frac xn,T\Bigr) $$
である。一方、$\delta(x/n)$ は $n< x$ で $1$、$n=x$ で $\frac12$、$n>x$ で $0$ なので、$A_0(x)=\sum_{n\ge1}a_n\,\delta(x/n)$（右辺は有限和）である。したがって
$$ R(x,T)=\sum_{n\ge1}a_n\Bigl(\delta\Bigl(\frac xn\Bigr)-I\Bigl(\frac xn,T\Bigr)\Bigr) $$
であり、各項に lem-pf-kernel を $y=x/n$ で使えば主張の評価を得る（$n=x$ の項は $y=1$ の場合）。$\square$

$R(x,T)\to0$（$T\to\infty$）を示せばよい。thm-pf-truncated の上界の第 $n$ 項を $r_n(T)$ と書く。$r_n(T)\le\lvert a_n\rvert(x/n)^c$ で、$\sum_n\lvert a_n\rvert(x/n)^c=x^c\sum_n\lvert a_n\rvert n^{-c}< \infty$ である。$\varepsilon>0$ について $\sum_{n>N}\lvert a_n\rvert(x/n)^c< \varepsilon$ となる $N\ge x$ をとる。$n\le N$ の有限個の項は、$n\neq x$ なら $\lvert\log(x/n)\rvert>0$ なので $r_n(T)\le\frac{\lvert a_n\rvert(x/n)^c}{\pi T\lvert\log(x/n)\rvert}\to0$、最後の項も $\frac{c\lvert a_x\rvert}{\pi T}\to0$ である。よって $\limsup_{T\to\infty}\lvert R(x,T)\rvert\le\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $R(x,T)\to0$ である。$\square$

$x^c=x\cdot x^{1/\log x}=ex$ であり、$1< c\le1+\frac1{\log2}$ である。thm-pf-truncated の上界を 3 つに分ける。以下の $C_1,C_2,\dots$ は絶対定数である。
(a) $n\le x/2$ または $n\ge2x$ の項。$\lvert\log(x/n)\rvert\ge\log2$ なので、この部分は $\frac{x^c}{\pi T\log2}\sum_{n\ge1}Mn^{-c}$ 以下である。$\sum_{n\ge1}n^{-c}\le1+\int_1^\infty t^{-c}\,dt=1+\frac1{c-1}=1+\log x$ で、$x\ge2$ なら $1+\log x\le C_1\log x$ なので、この部分は $C_2M\frac{x\log x}T$ 以下である。
(b) $x/2< n< 2x$、$n\neq x$ の項。$(x/n)^c< 2^c\le2e$ である。$u:=n/x\in(\frac12,2)$ について、$u\ge1$ なら $\log u=\int_1^u\frac{dt}t\ge\frac{u-1}u\ge\frac{u-1}2$、$u< 1$ なら $\lvert\log u\rvert=\int_u^1\frac{dt}t\ge1-u$ なので、$\lvert\log(x/n)\rvert\ge\frac{\lvert n-x\rvert}{2x}$ である。$\lvert n-x\rvert< 1$ の項は 2 個以下で、それぞれ $\min(\cdot)\le1$ から $2eM$ 以下である。$\lvert n-x\rvert\ge1$ の項は $2eM\cdot\frac{2x}{\pi T\lvert n-x\rvert}$ 以下である。$x$ の右側の整数 $n$ を $x$ に近い順に並べると $\lvert n-x\rvert$ は $1,2,3,\dots$ 以上で、項の個数は $2x$ 未満なので、右側の $\sum\frac1{\lvert n-x\rvert}$ は $\sum_{j\le2x}\frac1j\le1+\log2x$ 以下であり、左側も同じである。$1+\log2x\le C_3\log x$ なので、この部分は $4eM+C_4M\frac{x\log x}T$ 以下である。
(c) $x$ が整数のときの最後の項は $\frac{cM}{\pi T}\le M$ 以下である。
(a)〜(c) を足せば主張を得る。$\square$