Tsenの定理

$A=k[x_1,\dots,x_M]$、$\mathfrak{m}=(x_1,\dots,x_M)$、$I=(f_1,\dots,f_r)$ とおく。各 $f_i$ は定数項をもたないので $I\subset\mathfrak{m}$ である。
$I\subset Q\subset\mathfrak{m}$ を満たす素イデアル $Q$ の全体は $\mathfrak{m}$ を含むので空でない。素イデアルの全順序な族の共通部分は素イデアルなので、Zorn の補題により、この全体の中に包含について極小な $\mathfrak{p}$ がある。$I\subset Q'\subset\mathfrak{p}$ となる素イデアル $Q'$ は $\mathfrak{m}$ にも含まれるので $Q'=\mathfrak{p}$ であり、$\mathfrak{p}$ は $I$ の上で極小な素イデアルである。Krullの単項イデアル定理 の記事の定理「Krullの一般高さ定理」により $\operatorname{ht}\mathfrak{p}\le r$ である。一方、同じ記事の節「等号となる例と極小性の必要性」により $\operatorname{ht}\mathfrak{m}=M>r$ なので、$\mathfrak{p}\neq\mathfrak{m}$ である。
$\mathfrak{p}$ の零点集合を $V(\mathfrak{p})\subset k^M$ とする。$\mathfrak{p}\subset\mathfrak{m}$ なので $\mathfrak{p}$ の元はすべて原点で $0$ になり、$0\in V(\mathfrak{p})$ である。Hilbertの零点定理 の記事の定理「Hilbertの零点定理」の 3 により、$V(\mathfrak{p})$ 上で $0$ になる多項式の全体は $\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ である。もし $V(\mathfrak{p})=\{0\}$ なら、原点で $0$ になる多項式の全体 $\mathfrak{m}$ が $\mathfrak{p}$ に等しくなり、$\mathfrak{p}\neq\mathfrak{m}$ に反する。よって $V(\mathfrak{p})$ は $0$ でない点 $a$ を含む。$I\subset\mathfrak{p}$ なので $f_1(a)=\cdots=f_r(a)=0$ である。$\square$

$f\in k(t)[x_1,\dots,x_n]$ を次数 $d\ge1$ の斉次多項式、$n>d$ とする。$f=0$ なら主張は自明なので $f\neq0$ とする。係数の分母の積を掛けても零点は変わらないので、係数はすべて $k[t]$ に属するとしてよい。係数の $t$ についての次数の最大値を $R$ とし、
$$ f=\sum_{|\alpha|=d}c_\alpha(t)\,x^\alpha\qquad(c_\alpha\in k[t],\ \deg c_\alpha\le R) $$
と書く。ここで $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ は和が $d$ の非負整数の組、$x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ である。
$n(R+1)$ 個の未知数 $a_{ij}$（$1\le i\le n$、$0\le j\le R$）を用意し、$x_i=\sum_{j=0}^Ra_{ij}t^j$ とおく。$x^\alpha$ は $x_i$ の $d$ 個の積なので、$t$ について次数 $dR$ 以下であり、$t^l$ の係数は $a_{ij}$ についての次数 $d$ の斉次多項式（または $0$）である。$c_\alpha(t)$ を掛けて足し合わせると
$$ f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{l=0}^{(d+1)R}F_l(a)\,t^l $$
となり、各 $F_l$ は $a=(a_{ij})$ についての次数 $d$ の斉次多項式で係数は $k$ に属する（または $F_l=0$）。
方程式 $F_l=0$ の個数は $(d+1)R+1$ 以下であり、未知数の個数は $n(R+1)$ である。$n\ge d+1$ と $d\ge1$ から
$$ n(R+1)\ge(d+1)(R+1)=(d+1)R+d+1>(d+1)R+1 $$
である。$0$ でない $F_l$ だけを集めて lem-tsen-common-zero を使うと（すべて $0$ なら任意の $a$ でよい）、すべての $F_l$ を $0$ にする $a\in k^{n(R+1)}\setminus\{0\}$ が得られる。このとき $x_1,\dots,x_n\in k[t]$ のうち少なくとも 1 つは $0$ でなく、$f(x_1,\dots,x_n)=0$ である。$\square$

$f(\sum_jy_{1j}\omega_j,\dots,\sum_jy_{nj}\omega_j)$ を展開し、$f$ の係数と $\omega_j$ の積を基底 $\omega_1,\dots,\omega_e$ で書き直すと、$\sum_{k=1}^ec_k(y)\,\omega_k$ の形になる。ここで $c_k\in K[y]$ は次数 $d$ の斉次多項式（または $0$）である。$\omega_k$ 倍の写像の行列を $M_k\in M_e(K)$ とすると、$y\in K^{ne}$ での値について $z=f(x)$ 倍の写像の行列は $\sum_kc_k(y)M_k$ であり、その成分は $y$ の次数 $d$ の斉次多項式である。$e$ 次の行列式は成分の $e$ 個の積の和なので、$N_{L/K}(f(x))=\det\bigl(\sum_kc_k(y)M_k\bigr)$ は次数 $de$ の斉次多項式で表される。$\square$

$e=[L:K]$ とし、$f\in L[x_1,\dots,x_n]$ を次数 $d\ge1$ の斉次多項式、$n>d$ とする。lem-tsen-norm-form により、$g(y):=N_{L/K}(f(x))$ は $ne$ 個の変数 $y_{ij}$ についての次数 $de\ge1$ の斉次多項式で、係数は $K$ に属する。$ne>de$ なので、$K$ が $C_1$ 体であることから $g(y)=0$ となる $y\in K^{ne}\setminus\{0\}$ がある（$g$ が零多項式なら任意の $y\neq0$ でよい）。$\omega_j$ は $K$ 上一次独立なので、$x_i=\sum_jy_{ij}\omega_j$ のうち少なくとも 1 つは $0$ でない。$N_{L/K}(f(x))=0$ なので $f(x)=0$ である。$\square$

$K$ は $k$ 上超越次数 $1$ なので、$k$ 上超越的な $t\in K$ がある。$k(t)\subset K$ は有理関数体と同型であり、$K$ は $k(t)$ 上代数的である（超越次数が $1$ なので、$K$ の任意の元は $t$ と $k$ 上代数的に従属する）。$K$ は $k$ 上有限生成なので $k(t)$ 上も有限個の代数的な元で生成され、$K/k(t)$ は有限次拡大である。prop-tsen-rational により $k(t)$ は $C_1$ 体であり、lem-tsen-finite-extension により $K$ も $C_1$ 体である。$\square$

$e=[L:K]$、$\omega_1,\dots,\omega_e$ を $K$ 基底とし、$a\in K^\times$ とする。lem-tsen-norm-form（$n=1$、$f=x_1$）により $N_{L/K}(\sum_jy_j\omega_j)$ は $y_1,\dots,y_e$ の次数 $e$ の斉次多項式なので、
$$ g(y_1,\dots,y_e,z):=N_{L/K}\Bigl(\sum_jy_j\omega_j\Bigr)-a\,z^e $$
は $e+1$ 変数の次数 $e$ の斉次多項式である。$C_1$ 体の定義から $0$ でない零点 $(y,z)$ がある。$z=0$ なら $N_{L/K}(\sum_jy_j\omega_j)=0$ から $\sum_jy_j\omega_j=0$、すなわち $y=0$ となって矛盾するので、$z\neq0$ である。$w:=z^{-1}\sum_jy_j\omega_j$ とおくと $N_{L/K}(w)=z^{-e}N_{L/K}(\sum_jy_j\omega_j)=a$ である。$\square$

中心単純環 の記事の定理「分離閉包上の分裂」の 2 により、有限次 Galois 拡大 $E/K$ と $E$ 代数の同型 $\varphi\colon D\otimes_KE\to M_n(E)$ がある。$A_i:=\varphi(e_i\otimes1)\in M_n(E)$ とおき、
$$ P(y):=\det\Bigl(\sum_{i=1}^{n^2}y_iA_i\Bigr)\in E[y_1,\dots,y_{n^2}] $$
と定める。成分が $y$ の 1 次式の $n$ 次行列の行列式なので、$P$ は次数 $n$ の斉次多項式であり、$1\in D$ の座標を代入すると $\det I=1$ になるので $0$ でない。
係数は $K$ に属する。 $\tau\in\operatorname{Gal}(E/K)$ をとり、$\tau$ を $M_n(E)$ には成分ごとに、$D\otimes_KE$ には $1\otimes\tau$ として作用させる。$\varphi^\tau:=\tau\circ\varphi\circ(1\otimes\tau)^{-1}$ は環の同型で、$\lambda\in E$ について $\varphi^\tau(\lambda x)=\tau(\tau^{-1}(\lambda)\varphi((1\otimes\tau)^{-1}x))=\lambda\varphi^\tau(x)$ なので $E$ 代数の同型である。よって $\varphi^\tau\circ\varphi^{-1}$ は $M_n(E)$ の $E$ 代数の自己同型であり、中心単純環 の記事の系「自己同型は内部自己同型」により、ある $h\in\mathrm{GL}_n(E)$ による共役 $X\mapsto hXh^{-1}$ である。$\varphi^\tau(e_i\otimes1)=\tau(A_i)$ なので $\tau(A_i)=hA_ih^{-1}$ である。$P$ の係数に $\tau$ を施した多項式は
$$ \det\Bigl(\sum_iy_i\tau(A_i)\Bigr)=\det\Bigl(h\Bigl(\sum_iy_iA_i\Bigr)h^{-1}\Bigr)=P(y) $$
であり（行列式の乗法性は多項式環 $E[y]$ 上でも成り立つ）、$P$ の係数は $\operatorname{Gal}(E/K)$ のすべての元で固定される。$E/K$ は Galois 拡大なので係数は $K$ に属する。$\operatorname{Nrd}_D:=P$ とおく。
斜体なら $0$ でない元で $0$ にならない。 $y\neq0$ なら $x=\sum_iy_ie_i\neq0$ であり、$D$ が斜体なので $x$ は可逆である。$x\otimes1$ は $D\otimes_KE$ で可逆なので $\varphi(x\otimes1)=\sum_iy_iA_i$ も可逆であり、$P(y)\neq0$ である。$\square$

lem-tsen-finite-extension により $L$ も $C_1$ 体なので、$C_1$ 体 $K$ について $\operatorname{Br}(K)=0$ を示せばよい。Brauer群 の記事の命題「斜体による代表」により、$\operatorname{Br}(K)$ の各類は $K$ 上の中心斜体 $D$ を含む。$D$ の次数を $n$ とし、$n\ge2$ と仮定する。lem-tsen-reduced-norm の $\operatorname{Nrd}_D$ は $n^2$ 変数の次数 $n$ の斉次多項式で、$n^2>n$ なので $C_1$ 体の定義から $0$ でない零点をもつ。これは $D$ が斜体であることに反する。よって $n=1$、$D=K$ であり、その類は $\operatorname{Br}(K)$ の単位元である。$\square$

1 と 2 は thm-tsen と thm-tsen-c1-brauer・prop-tsen-norm-surjective から従う。3：素数 $p$ が $K$ の標数と異なるとき、1 によりすべての有限次分離拡大 $L$ で $\operatorname{Br}(L)(p)=0$ なので、コホモロジー次元 の記事の定理「Brauer群による判定」により $\operatorname{cd}_p(K)\le1$ である。$K$ の標数が $p>0$ のとき、同じ記事の定理「標数 $p$ での $p$ 次元」により $\operatorname{cd}_p(K)\le1$ である。よって $\operatorname{cd}(K)\le1$ である。$\square$