Tits系、BN対

$\dot{w}'$ も $w$ の代表元なら、ある $h\in H$ に対して $\dot{w}'=\dot{w}h$ と書ける。$H=B\cap N\subseteq B$ だから
$$ B\dot{w}'B=B\dot{w}hB=B\dot{w}B $$
である。したがって $C(w)$ は代表元に依存しない。$\square$

$X:=\bigcup_{w\in W}C(w)$ と置く。$C(1)=B$ なので $B\subseteq X$ であり、左から $B$ を掛けても $X$ は変わらない。
$s\in S$ とする。第4公理から、各 $w\in W$ について
$$ \dot{s}C(w)\subseteq B\dot{s}B\dot{w}B \subseteq C(sw)\cup C(w)\subseteq X $$
である。よって $\dot{s}X\subseteq X$ である。$S$ は $W$ を生成し、$H\subseteq B$ だから、$N$ の任意の元は $H$ の元と単純生成元の代表元の積で書ける。したがって $NX\subseteq X$ である。
以上より $X$ は左から $B$ と $N$ を掛ける操作で閉じている。$1\in X$ かつ $G=\langle B,N\rangle$ なので、$G$ の任意の元は $X$ に属する。逆の包含は定義から明らかであり、$G=X$ である。$\square$

まず任意の
$$ g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in G $$
を考える。$c=0$ なら $g\in B$ である。$c\ne0$ なら
$$ g= \begin{pmatrix} b-ad/c&a/c\\ 0&1 \end{pmatrix} \dot{s} \begin{pmatrix} c&d\\ 0&1 \end{pmatrix}. $$
実際に右辺を掛けると $g$ になり、左端の行列の行列式は
$$ b-ad/c=-\det(g)/c\ne0 $$
なので両端の行列は $B$ に属する。よって $G=B\cup B\dot{s}B$ である。$B\dot{s}B$ の行列は左下成分が非零だから、この合併は交わらない。とくに $G$ は $B$ と $\dot{s}$、したがって $B$ と $N$ で生成される。
$H$ は対角行列群であり、モノミアル行列による共役で対角成分が置換されるだけなので $H\triangleleft N$ である。また $W=N/H=\{1,s\}$ である。第4公理は $w=1$ では明らかであり、$w=s$ では
$$ B\dot{s}B\dot{s}B\subseteq G=B\cup B\dot{s}B $$
から従う。最後に
$$ \dot{s} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \dot{s}^{-1} =\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\notin B $$
なので第5公理も成り立つ。すべての公理が確認できた。$\square$

$W_{\emptyset}=\{1\}$ なので $P_{\emptyset}=B\dot{1}B=B$ である。また $W_S=\langle S\rangle=W$ だから、Bruhat分解により
$$ P_S=\bigcup_{w\in W}B\dot{w}B=G $$
である。$\square$