Heine–Borelの定理

$\mathcal{U}$ を $Q$ の開被覆とし、$Q$ は $\mathcal{U}$ の有限個では覆えないと仮定して矛盾を導く。
閉直方体 $R=\prod_i[c_i,e_i]$ について、各辺を中点 $m_i=(c_i+e_i)/2$ で $[c_i,m_i]$ と $[m_i,e_i]$ に分け、その組み合わせで $2^n$ 個の閉直方体を作る。この $2^n$ 個の和集合は $R$ である。もし $2^n$ 個がどれも $\mathcal{U}$ の有限個で覆えるなら、それらを合わせて $R$ も有限個で覆える。したがって、$R$ が有限個で覆えないなら、$2^n$ 個のうち少なくとも 1 つは有限個で覆えない。$2^n$ 個にあらかじめ順番を付けておき、有限個で覆えないもののうち最初のものを $R'$ と書く。
$Q_0:=Q$、$Q_{k+1}:=Q_k'$ と定めると、閉直方体の減少列 $Q_0\supset Q_1\supset Q_2\supset\cdots$ が得られ、どの $Q_k$ も $\mathcal{U}$ の有限個では覆えない。$Q_k=\prod_i[a_i^{(k)},b_i^{(k)}]$ と書くと、$b_i^{(k)}-a_i^{(k)}=(b_i-a_i)/2^k$ である。
各 $i$ について、$a_i^{(0)}\le a_i^{(1)}\le\cdots$ は単調非減少、$b_i^{(0)}\ge b_i^{(1)}\ge\cdots$ は単調非増加で、どの $k,l$ についても $a_i^{(k)}\le b_i^{(l)}$ である（$m=\max\{k,l\}$ として $a_i^{(k)}\le a_i^{(m)}\le b_i^{(m)}\le b_i^{(l)}$）。よって数の集合 $\{a_i^{(k)}\mid k\ge0\}$ は上に有界で、上限 $p_i:=\sup_ka_i^{(k)}$ が存在し（上限と下限）、すべての $k$ について $a_i^{(k)}\le p_i\le b_i^{(k)}$ である。点 $p:=(p_1,\dots,p_n)$ はすべての $Q_k$ に属する。
$p\in Q$ なので、$p$ を含む $U\in\mathcal{U}$ がある。$U$ は開集合なので、ある $\varepsilon>0$ で $B(p,\varepsilon)\subset U$ となる。$x\in Q_k$ なら、$x$ と $p$ はともに $Q_k$ に属するので
$$ \|x-p\|\le\Bigl(\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{b_i-a_i}{2^k}\Bigr)^2\Bigr)^{1/2}=\frac{\|b-a\|}{2^k} $$
である（$a=(a_i)$、$b=(b_i)$）。$k$ を $\|b-a\|/2^k<\varepsilon$ となるようにとると $Q_k\subset B(p,\varepsilon)\subset U$ であり、$Q_k$ は $\mathcal{U}$ のただ 1 つの成員 $U$ で覆える。これは $Q_k$ の取り方に反する。$\square$

2 ⇒ 1．$K$ を閉集合で有界とし、$K\subset\{x\mid\|x\|\le M\}$ とする。$\lvert x_i\rvert\le\|x\|$ なので $K\subset Q:=[-M,M]^n$ である。$\mathcal{U}$ を $K$ の開被覆とすると、$K$ は閉集合なので $\mathbb{R}^n\setminus K$ は開集合であり、$\mathcal{U}\cup\{\mathbb{R}^n\setminus K\}$ は $\mathbb{R}^n$ 全体、したがって $Q$ の開被覆である。lem-heine-borel-box により、その有限個で $Q$ が覆える。そこから $\mathbb{R}^n\setminus K$ を除いた $\mathcal{U}$ の有限個は $K$ を覆う。よって $K$ はコンパクトである。
1 ⇒ 2．$K$ をコンパクトとする。
有界性：開球 $B(0,m)$（$m=1,2,\dots$）の全体は $\mathbb{R}^n$ を覆うので $K$ の開被覆であり、有限個 $B(0,m_1),\dots,B(0,m_k)$ で $K$ が覆える。$M:=\max_jm_j$ とすれば $K\subset B(0,M)$ である（$K=\emptyset$ なら明らか）。
閉集合であること：$y\notin K$ をとる。各 $x\in K$ について $r_x:=\|x-y\|/2>0$ とおくと、開球 $B(x,r_x)$（$x\in K$）の全体は $K$ の開被覆なので、有限個 $B(x_1,r_{x_1}),\dots,B(x_k,r_{x_k})$ で $K$ が覆える。$r:=\min_jr_{x_j}$ とおく（$K=\emptyset$ なら $\mathbb{R}^n\setminus K$ は全体で開集合）。$z\in K$ ならある $j$ で $\|z-x_j\|< r_{x_j}$ なので
$$ \|z-y\|\ge\|x_j-y\|-\|z-x_j\|>2r_{x_j}-r_{x_j}=r_{x_j}\ge r $$
であり、$B(y,r)\cap K=\emptyset$ である。よって $\mathbb{R}^n\setminus K$ は開集合で、$K$ は閉集合である。$\square$

1 ⇔ 2 は thm-heine-borel-main である。$K$ を距離空間とみると、1 ⇔ 3 は 点列コンパクト の定理「距離空間における同値性」、1 ⇔ 4 は 全有界 の定理「コンパクト性との関係」である。$\square$

thm-heine-borel-main により $K$ はコンパクトである。1 は コンパクト空間 の定理「最大値・最小値の存在」、2 は Heine–Cantorの定理 の定理「Heine–Cantorの定理」による。$\square$

$V$ の基底 $v_1,\dots,v_m$ をとる。係数体が $\mathbb{C}$ のときは、$V$ を $v_1,iv_1,\dots,v_m,iv_m$ を基底とする実ベクトル空間とみる（ノルムの性質は保たれる）。こうして実の基底 $w_1,\dots,w_N$ をとり、$T\colon V\to\mathbb{R}^N$ を座標をとる線形な全単射とする。$\|x\|_T:=\|Tx\|$（右辺は Euclid ノルム）は $V$ のノルムであり、ノルム空間 の定理「有限次元ではすべてのノルムが同値」により、定数 $0< c\le C$ で $c\|x\|\le\|Tx\|\le C\|x\|$（$x\in V$）が成り立つ。よって $T$ も $T^{-1}$ も Lipschitz 連続であり、$T$ は同相写像で、有界集合と有界集合を互いに移す。同相写像はコンパクト性と閉集合であることを保つので、主張は $T(K)\subset\mathbb{R}^N$ についての thm-heine-borel-main に帰着する。$\square$

閉単位球 $\{x\mid\|x\|\le1\}$ は、連続関数 $\|\cdot\|$ による $[0,1]$ の逆像なので閉集合で、有界である。仮定によりこれはコンパクトなので、ノルム空間 の定理「閉単位球のコンパクト性と次元」により $V$ は有限次元である。$\square$

1．閉球 $\bar B(x,r)$ は連続関数 $d(x,\cdot)$ による $[0,r]$ の逆像なので閉集合で、有界である。よって Heine–Borel 性があれば閉球はコンパクトである。逆に閉球がすべてコンパクトとし、$F$ を有界閉集合とする。$F\subset\bar B(x,r)$ となる閉球をとると、$F$ はコンパクト空間 $\bar B(x,r)$ の閉部分集合なのでコンパクトである（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」の 1）。
2．$(x_k)$ を Cauchy 列とする。ある $N$ で $k\ge N$ なら $d(x_k,x_N)\le1$ なので、$r:=\max\{1,d(x_1,x_N),\dots,d(x_{N-1},x_N)\}$ とおくと、列のすべての項は $\bar B(x_N,r)$ に属する。1 によりこの閉球はコンパクトなので、点列コンパクトであり（点列コンパクト の定理「距離空間における同値性」）、ある部分列 $x_{k_j}$ がある点 $x$ に収束する。$\varepsilon>0$ に対し、$k,l\ge N'$ なら $d(x_k,x_l)<\varepsilon$ となる $N'$ をとり、$k_j\ge N'$ かつ $d(x_{k_j},x)<\varepsilon$ となる $j$ をとると、$k\ge N'$ について $d(x_k,x)\le d(x_k,x_{k_j})+d(x_{k_j},x)<2\varepsilon$ である。よって $x_k\to x$ であり、$X$ は完備である。後半は、どの点 $y$ も $m> d(x_0,y)$ となる $\bar B(x_0,m)$ に属することと 1 による。$\square$