Weil対

$nX=T$ となる $X$ の全体は $T'+E[n]$ なので、$D_T$ の 2 つの表示は一致する。$D_T$ の次数は $0$ であり、点の和は $\sum_R(T'+R)-\sum_RR=[n^2]T'=[n]T=O$ である（$\#E[n]=n^2$）。主因子の判定により $D_T$ は主因子である。$n(T)-n(O)$ も次数 $0$ で点の和が $nT=O$ だから主因子であり、$f_T$ がとれる。引き戻しの公式により $\operatorname{div}(f_T\circ[n])=n\,[n]^*\bigl((T)-(O)\bigr)=n\,D_T=\operatorname{div}(g_T^{\,n})$ なので、$f_T\circ[n]=\lambda\,g_T^{\,n}$（$\lambda\in\bar K^\times$）であり、$f_T$ を $\lambda^{-1}f_T$ に替えればよい。$\square$

$\tau_{S_1+S_2}=\tau_{S_2}\circ\tau_{S_1}$ なので、$g:=g_T$ について
$$ g\circ\tau_{S_1+S_2}=(g\circ\tau_{S_2})\circ\tau_{S_1}=e_n(S_2,T)\,(g\circ\tau_{S_1})=e_n(S_2,T)\,e_n(S_1,T)\,g $$
である。$\square$

$T_3:=T_1+T_2$ とする。因子 $(T_3)-(T_1)-(T_2)+(O)$ は次数 $0$ で点の和が $O$ なので、主因子の判定により $\operatorname{div}(h)=(T_3)-(T_1)-(T_2)+(O)$ となる $h$ がある。$[n]^*$ は線型なので
$$ D_{T_3}-D_{T_1}-D_{T_2}=[n]^*\bigl((T_3)-(T_1)-(T_2)+(O)\bigr)=\operatorname{div}(h\circ[n]) $$
であり（引き戻しの公式）、$g_{T_3}=\lambda\,g_{T_1}g_{T_2}\,(h\circ[n])$（$\lambda\in\bar K^\times$）である。$S\in E[n]$ なら $h\circ[n]\circ\tau_S=h\circ[n]$ なので、両辺を $\tau_S$ で引き戻して比をとると $e_n(S,T_3)=e_n(S,T_1)\,e_n(S,T_2)$ を得る。$\square$

$f:=f_T$、$g:=g_T$ とし、$nT'=T$ とする。$f\circ\tau_{iT}$ は $(1-i)T$ に $n$ 位の零点、$-iT$ に $n$ 位の極をもつので、
$$ \operatorname{div}\Bigl(\prod_{i=0}^{n-1}f\circ\tau_{iT}\Bigr)=n\sum_{i=0}^{n-1}\bigl(((1-i)T)-((-i)T)\bigr)=n\bigl((T)-((1-n)T)\bigr)=0 $$
である（$nT=O$ より $(1-n)T=T$）。よって $F:=\prod_if\circ\tau_{iT}$ は定数である。次に $G:=\prod_{i=0}^{n-1}g\circ\tau_{iT'}$ とおく。$[n]\circ\tau_{iT'}=\tau_{iT}\circ[n]$ だから
$$ G^n=\prod_{i=0}^{n-1}f\circ[n]\circ\tau_{iT'}=\prod_{i=0}^{n-1}f\circ\tau_{iT}\circ[n]=F\circ[n] $$
は定数 $\lambda$ であり、$G$ は $Z^n-\lambda$ の根なので $\bar K$ に属する定数である。$G\circ\tau_{T'}=G$ を書き下すと
$$ \prod_{i=1}^{n}g\circ\tau_{iT'}=\prod_{i=0}^{n-1}g\circ\tau_{iT'} $$
であり、両辺から $i=1,\dots,n-1$ の因子を約すと $g\circ\tau_{nT'}=g$、すなわち $g\circ\tau_T=g$ を得る。よって $e_n(T,T)=1$ である。後半は、1 により $1=e_n(S+T,S+T)=e_n(S,S)\,e_n(S,T)\,e_n(T,S)\,e_n(T,T)=e_n(S,T)\,e_n(T,S)$ となることによる。$\square$

$L:=\bar K(E)$、$L_n:=[n]^*L$ とおく。$Q\in E[n]$ に対し $\tau_Q^*\colon\phi\mapsto\phi\circ\tau_Q$ は $L$ の $\bar K$ 上の自己同型で、$[n]\circ\tau_Q=[n]$ より $L_n$ を固定する。$\tau_{Q+Q'}^*=\tau_Q^*\circ\tau_{Q'}^*$ なので、$H:=\{\tau_Q^*\mid Q\in E[n]\}$ は $\operatorname{Aut}(L)$ の部分群である。$Q\neq O$ なら $\tau_Q^*\neq\mathrm{id}$ である。実際、$O$ にだけ極をもつ定数でない関数 $\phi$（たとえば Weierstrass 座標 $x$）をとると、$\phi\circ\tau_Q$ は $-Q\neq O$ に極をもつので $\phi\circ\tau_Q\neq\phi$ である。したがって $|H|=\#E[n]=n^2$ であり、$L_n\subset L^H$ かつ $[L:L_n]=\deg[n]=n^2=|H|$ である。固定体 の系「有限群の固定体の判定」の (i) により $L_n=L^H$ である。
いま、すべての $S\in E[n]$ について $e_n(S,T)=1$ とする。これは $g_T\circ\tau_S=g_T$、すなわち $g_T\in L^H=L_n$ を意味するので、$g_T=h\circ[n]$ となる $h\in L$ がある。すると $h^n\circ[n]=g_T^{\,n}=f_T\circ[n]$ であり、$\phi\mapsto\phi\circ[n]$ は体の準同型として単射だから $h^n=f_T$ である。よって $n\operatorname{div}(h)=n(T)-n(O)$、$\operatorname{div}(h)=(T)-(O)$ であり、主因子の判定（点の和は $T$）から $T=O$ である。$\square$

$\sigma\in G_K$ とする。$T'^\sigma$ は $n\,T'^\sigma=T^\sigma$ を満たし、$R$ が $E[n]$ を動くとき $R^\sigma$ も $E[n]$ を動くので、$\operatorname{div}(g_T^\sigma)=\sum_R\bigl((T'^\sigma+R^\sigma)-(R^\sigma)\bigr)=D_{T^\sigma}$ である。よって $g_T^\sigma$ は $T^\sigma$ に対する $g_{T^\sigma}$ としてとれる。$g_T\circ\tau_S=e_n(S,T)\,g_T$ の両辺に $\sigma$ を施すと $g_T^\sigma\circ\tau_{S^\sigma}=e_n(S,T)^\sigma\,g_T^\sigma$ となり、$e_n(S^\sigma,T^\sigma)=e_n(S,T)^\sigma$ を得る。$\square$

双線型性と交代性（$e_n(T_i,T_i)=1$、$e_n(T_2,T_1)=\zeta^{-1}$）を展開すると表示を得る。$\zeta$ の位数を $\nu$ とすると、表示からすべての $S,T$ について $e_n(S,\nu T)=e_n(S,T)^\nu=1$ であり、非退化性により $\nu T=O$ がすべての $T\in E[n]$ で成り立つ。$T_1$ の位数は $n$ なので $n\mid\nu$、よって $\nu=n$ である。$\square$

prop-weil-pairing-basis の $\zeta=e_n(T_1,T_2)$ は原始 $n$ 乗根である。$T_1,T_2$ は $K$ 有理なので、Galois 同変性によりすべての $\sigma\in G_K$ について $\zeta^\sigma=e_n(T_1^\sigma,T_2^\sigma)=\zeta$ である。$\zeta$ は $p\nmid n$ より $K$ 上分離的な元（$Z^n-1$ は重根をもたない）で、$\operatorname{Gal}(\bar K/K)$ のすべての元で固定されるので $K$ に属する。$\mu_n$ は $\zeta$ で生成されるので $\mu_n\subset K$ である。$\square$

$\zeta:=e_n(T_1,T_2)$ は原始 $n$ 乗根である。$T_1^\sigma=aT_1+cT_2$、$T_2^\sigma=bT_1+dT_2$ と書くと $\rho_n(\sigma)=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ であり、prop-weil-pairing-basis と Galois 同変性から $\zeta^{ad-bc}=e_n(T_1^\sigma,T_2^\sigma)=\zeta^\sigma=\zeta^{\chi_n(\sigma)}$ である。$\zeta$ の位数は $n$ なので $ad-bc\equiv\chi_n(\sigma)\pmod n$ である。$\square$

$[mn]^*=[m]^*\circ[n]^*$（因子の引き戻し）なので、引き戻しの公式を $[m]$ に当てると $[mn]^*\bigl((T)-(O)\bigr)=[m]^*D_T=\operatorname{div}(g_T\circ[m])$ である。よって $e_{mn}$ の定義で $T$ に対する関数として $g_T\circ[m]$ がとれる（$(g_T\circ[m])^{mn}=(f_T^{\,m})\circ[mn]$ で、$\operatorname{div}(f_T^{\,m})=mn(T)-mn(O)$）。$[m]\circ\tau_S=\tau_{mS}\circ[m]$ だから
$$ \frac{(g_T\circ[m])\circ\tau_S}{g_T\circ[m]}=\Bigl(\frac{g_T\circ\tau_{mS}}{g_T}\Bigr)\circ[m]=e_n(mS,T) $$
である。$\square$

$a$ について線型なのは $\xi$ に対応するものが準同型だからであり、$\xi$ について線型なのは上の同型が群の同型だからである。$\xi$ の側の非退化性は同型であることによる。$a$ の側：アーベル多様体 の定理「$n$ 倍写像と捩れ点」の 2 により $A[n](\bar K)\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{2g}$ であり、$\mu_n$ は位数 $n$ の巡回群なので、$a\neq0$ なら $a$ で $1$ にならない準同型 $A[n](\bar K)\to\mu_n$ がある（座標成分の 1 つに原始 $n$ 乗根を対応させればよい）。Galois 同変性は、上の同型が $K$ 上の群スキームの同型であり、$\operatorname{Hom}(A[n](\bar K),\mu_n)$ には $(\chi^\sigma)(a):=\chi(a^{\sigma^{-1}})^\sigma$ で作用することによる。$\square$