三角形の面積比

同義語：ratios of triangle areas

概要

前提知識: 三角形の面積の公式, 三角比と鈍角への拡張, 内分点・外分点の座標

高校での出発点：面積を比べる

三角形の面積は「$\dfrac12\times$底辺$\times$高さ」で求まる。面積そのものを求めなくても、2 つの三角形の面積の比なら、長さの比だけで分かることが多い。この記事では、その基本の形を 3 つにまとめ、なぜそれでよいのかを証明する。まず具体的な三角形で計算してみる。

底辺を 1:2 に分ける

座標平面に $A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ をとる。辺 $BC$ は $x$ 軸の上にあり、$A$ の $y$ 座標が $4$ なので、$A$ から直線 $BC$ までの距離（高さ）は $4$ である。三角形 $ABC$ の面積は $\dfrac12\cdot6\cdot4=12$ である。
辺 $BC$ を $1:2$ に分ける点 $D(2,0)$ をとり、三角形を線分 $AD$ で 2 つに切る。
(1) 三角形 $ABD$ は底辺 $BD=2$、高さ $4$ なので、面積は $\dfrac12\cdot2\cdot4=4$ である。
(2) 三角形 $ADC$ は底辺 $DC=4$、高さ $4$ なので、面積は $\dfrac12\cdot4\cdot4=8$ である。
面積の比は $4:8=1:2$ で、底辺の比 $BD:DC=2:4=1:2$ と同じである。高さが共通なので、面積は底辺に比例する。

1 つの角を共有する三角形

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(3,4)$ の三角形を考える。$AB=6$、$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$、面積は $\dfrac12\cdot6\cdot4=12$ である。
辺 $AB$ の上に $AP=2$ となる点 $P(2,0)$、辺 $AC$ の上に $AQ=3$ となる点 $Q$ をとる。$Q$ は $A$ から $C$ へ向かって $\dfrac35$ だけ進んだ点なので $Q=\dfrac35(3,4)=\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ である。
三角形 $APQ$ は底辺 $AP=2$（$x$ 軸の上）、高さ $\dfrac{12}5$（$Q$ の $y$ 座標）なので、面積は $\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac{12}5=\dfrac{12}5$ である。よって
$$ \frac{\triangle APQ}{\triangle ABC}=\frac{12/5}{12}=\frac15 $$
である。一方、角 $A$ を挟む 2 辺の比を掛けると $\dfrac{AP}{AB}\cdot\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac26\cdot\dfrac35=\dfrac6{30}=\dfrac15$ で、同じ値になる。

2 つの例で、面積の比が長さの比で書けた。この記事で答える問いは次の 4 つである。

高さが等しい三角形の面積の比は、なぜ底辺の比になるのか。底辺が共通なときはどうか。→ prop-tar-base、prop-tar-common-base
1 つの角を共有する三角形の面積の比は、なぜ挟む 2 辺の積の比になるのか。→ thm-tar-angle
相似な三角形の面積の比は、なぜ相似比の 2 乗になるのか。→ cor-tar-similar

面積の比の問題で、三角形を「直角二等辺三角形」のような計算しやすい形に取り替えてよいのはなぜか。→ thm-tar-affine、cor-tar-standard

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
高さが等しければ面積の比＝底辺の比	底辺の比の命題	符号付き面積は 1 つの頂点について 1 次式
角を共有すれば面積の比＝挟む辺の積の比	角を共有する三角形の定理	符号付き面積は双線形（2 本のベクトルそれぞれについて 1 次）
同じ 2 本のベクトルの三角形は面積 $0$	（つぶれた三角形）	符号付き面積は交代的
相似比 $k$ なら面積の比 $k^2$	相似な三角形の系	2 次元の量は長さの 2 乗で拡大する
三角形の形を取り替えて計算する	標準の三角形への帰着	面積の比はアフィン変換で変わらない

言葉の準備

以下、三角形 $XYZ$ の面積を $\triangle XYZ$ と書く。点 $Z$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の長さを、$Z$ と $\ell$ の距離という（直線の方程式と点と直線の距離）。三角形 $XYZ$ の辺 $XY$ を底辺とみると、高さは $Z$ と直線 $XY$ の距離である。
「$D$ が線分 $BC$ を $m:n$ に分ける」は内分（$D$ が $B$ と $C$ の間にある）の意味で使い、線分の外にある場合（外分）はそのつど断る（内分と外分は内分点・外分点の座標で扱う）。

高校数学で解く：面積の比の 3 つの基本形

基本形 1：高さが等しい三角形

ex-tar-start で見た「高さが共通なら面積は底辺に比例する」を、一般の形で述べる。直線の上に並んだ線分を底辺とし、直線の外の 1 点を頂点とする三角形を比べる。

高さが等しい三角形の面積の比

直線 $\ell$ の上に線分 $XY$ と線分 $X'Y'$ があり（どちらも長さは正）、点 $Z$、$Z'$ はどちらも $\ell$ の上になく、$\ell$ との距離が等しいとする。このとき
$$ \frac{\triangle ZXY}{\triangle Z'X'Y'}=\frac{XY}{X'Y'} $$
である。特に、点 $D$ が辺 $BC$ の上にあって $D\ne B$、$D\ne C$ なら
$$ \frac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\frac{BD}{DC} $$
である。

共通の高さで割る

方針：2 つの三角形の底辺を $\ell$ の上の線分とみると、高さが共通であることを使う。
段 1（高さ）。$Z$ と $\ell$ の距離を $h$ とする。仮定により $Z'$ と $\ell$ の距離も $h$ であり、$Z$ は $\ell$ の上にないので $h>0$ である。$X$、$Y$ は $\ell$ の上にあるので、直線 $XY$ は $\ell$ そのものである。よって三角形 $ZXY$ の辺 $XY$ を底辺とみたときの高さは $h$ である。同じように、三角形 $Z'X'Y'$ の辺 $X'Y'$ を底辺とみたときの高さも $h$ である。
段 2（面積）。三角形の面積は $\dfrac12\times$底辺$\times$高さなので、$\triangle ZXY=\dfrac12\cdot XY\cdot h$、$\triangle Z'X'Y'=\dfrac12\cdot X'Y'\cdot h$ である。
段 3（比）。$h>0$、$X'Y'>0$ なので割り算ができて
$$ \frac{\triangle ZXY}{\triangle Z'X'Y'}=\frac{\frac12\cdot XY\cdot h}{\frac12\cdot X'Y'\cdot h}=\frac{XY}{X'Y'} $$
である。
段 4（特別な場合）。$\ell$ を直線 $BC$、$Z=Z'=A$、線分 $XY$ を $BD$、線分 $X'Y'$ を $DC$ とすると、$A$ は直線 $BC$ の上にない（$A$、$B$、$C$ は三角形の頂点）ので段 1〜3 が使えて、$\dfrac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\dfrac{BD}{DC}$ を得る。$\square$

左は、高さ 4 が共通な 2 つの三角形 ABD（面積 4）と ADC（面積 8）で、面積の比が底辺の比 1:2 に等しいことを見る図。右は、底辺 BC を共有する三角形 ABC（面積 12）と DBC（面積 6）で、面積の比が直線 AD を E で分けた比 AE:ED=2:1 に等しいことを見る図

中線は面積を 2 等分する

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とすると、$BM=MC$ なので prop-tar-base により $\triangle ABM=\triangle AMC$ である。中線は三角形の面積をちょうど半分に分ける。ex-tar-start の三角形では $M(3,0)$ で、$\triangle ABM=\dfrac12\cdot3\cdot4=6$、$\triangle AMC=\dfrac12\cdot3\cdot4=6$ である。
辺 $BC$ を 3 等分する点を $B$ に近い方から $D_1$、$D_2$ とすると、3 つの三角形 $ABD_1$、$AD_1D_2$、$AD_2C$ はどれも面積が $\triangle ABC$ の $\dfrac13$ である。ex-tar-start の三角形では $D_1(2,0)$、$D_2(4,0)$ で、3 つの面積はどれも $\dfrac12\cdot2\cdot4=4=\dfrac{12}3$ である。

底辺が共通な三角形

prop-tar-base は底辺の直線と高さを固定した。今度は底辺 $BC$ を共通にして、頂点を動かす。面積は高さに比例するが、高さを直接測る代わりに、2 つの頂点を結ぶ直線が $BC$ を横切る点で比を読むことができる。

底辺が共通な三角形の面積の比

点 $A$、$D$ はどちらも直線 $BC$ の上になく、直線 $AD$ は直線 $BC$ と平行でないとし、2 直線の交点を $E$ とする。このとき
$$ \frac{\triangle ABC}{\triangle DBC}=\frac{AE}{DE} $$
である。$A$ と $D$ が直線 $BC$ の同じ側にあっても、反対側にあっても成り立つ。

座標軸を直線 $BC$ にとる

方針：直線 $BC$ を $x$ 軸にとると、高さは $y$ 座標の絶対値になる。$E$ から $A$、$D$ へのベクトルが平行であることから、$y$ 座標の比が長さの比に等しいことを出す。
段 1（座標をとる）。直線 $BC$ を $x$ 軸とし、$E$ を原点とする座標をとる（長さと面積は座標の取り方によらない）。$A(a_1,a_2)$、$D(d_1,d_2)$ とすると、$A$、$D$ は $x$ 軸の上にないので $a_2\ne0$、$d_2\ne0$ である。
段 2（高さ）。$A$ と $x$ 軸の距離は $|a_2|$、$D$ と $x$ 軸の距離は $|d_2|$ である。三角形 $ABC$ と $DBC$ は底辺 $BC$ が共通なので
$$ \frac{\triangle ABC}{\triangle DBC}=\frac{\frac12\cdot BC\cdot|a_2|}{\frac12\cdot BC\cdot|d_2|}=\frac{|a_2|}{|d_2|} $$
である。
段 3（$E$ から見たベクトル）。$E$ は直線 $AD$ の上にあり、$E\ne A$（$A$ は $x$ 軸の上にないが $E$ は $x$ 軸の上にある）なので、ベクトル $\overrightarrow{ED}$ は $\overrightarrow{EA}$ の実数倍で、$\overrightarrow{ED}=t\,\overrightarrow{EA}$ と書ける。$E$ は原点なので、これは $(d_1,d_2)=t(a_1,a_2)$、特に $d_2=ta_2$ である。
段 4（長さの比）。$DE=|\overrightarrow{ED}|=|t|\,|\overrightarrow{EA}|=|t|\cdot AE$ なので $\dfrac{AE}{DE}=\dfrac1{|t|}$ である。一方、段 3 から $|d_2|=|t|\,|a_2|$ なので $\dfrac{|a_2|}{|d_2|}=\dfrac1{|t|}$ である。段 2 と合わせて $\dfrac{\triangle ABC}{\triangle DBC}=\dfrac{AE}{DE}$ を得る。段 1〜4 では $A$、$D$ が $x$ 軸のどちら側にあるかを使っていない（$t>0$ なら同じ側、$t<0$ なら反対側）。$\square$

底辺が共通な三角形を 2 通りに調べる

反対側にある場合。ex-tar-start の $A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ と、$D(3,-2)$ をとる。直線 $AD$ の点は $(1+2s,\ 4-6s)$ と書け、$y=0$ となるのは $s=\dfrac23$ のときなので、$E\left(\dfrac73,0\right)$ である。$E$ は $A$ から $D$ まで $\dfrac23$ 進んだ点なので $AE:ED=\dfrac23:\dfrac13=2:1$ である。面積は $\triangle ABC=12$、$\triangle DBC=\dfrac12\cdot6\cdot2=6$ で、比は $2:1$ に等しい（図 1 の右）。
同じ側にある場合。三角形の内部の点 $P(2,2)$ をとる。直線 $AP$ の点は $(1+s,\ 4-2s)$ と書け、$y=0$ となるのは $s=2$ のときなので、直線 $AP$ は辺 $BC$ と $D(3,0)$ で交わる。$P$ は $s=1$、$D$ は $s=2$ の点なので $PD=\dfrac12AD$ である。prop-tar-common-base を $A$ と $P$ に使うと $\dfrac{\triangle PBC}{\triangle ABC}=\dfrac{PD}{AD}=\dfrac12$ となる。実際 $\triangle PBC=\dfrac12\cdot6\cdot2=6=\dfrac12\cdot12$ である。

の形「$\dfrac{\triangle PBC}{\triangle ABC}=\dfrac{PD}{AD}$」は、三角形の内部の点 $P$ が 3 つの頂点と結ぶ線分をどんな比に分けるかを調べるときに使う。Cevaの定理（高校数学）で扱う国際数学オリンピック（1961 年）第 4 問は、この形で解かれる。

基本形 2：1 つの角を共有する三角形

ex-tar-start-angle では、角 $A$ を共有する 2 つの三角形の面積の比が、角 $A$ を挟む 2 辺の比の積になった。これを定理として述べる。証明には三角関数を使わず、prop-tar-base を 2 回使う。

1 つの角を共有する三角形の面積の比

三角形 $ABC$ で、点 $P$ が半直線 $AB$ の上に、点 $Q$ が半直線 $AC$ の上にあり、$P\ne A$、$Q\ne A$ とする。このとき
$$ \frac{\triangle APQ}{\triangle ABC}=\frac{AP\cdot AQ}{AB\cdot AC} $$
である。

中間の三角形 $ABQ$ を通る

方針：三角形 $APQ$ と $ABC$ の間に三角形 $ABQ$ をはさむ。$APQ$ と $ABQ$ は頂点 $Q$ を共有し、$ABQ$ と $ABC$ は頂点 $B$ を共有するので、どちらにも prop-tar-base が使える。
段 1（$Q$ は直線 $AB$ の上にない）。$Q$ は半直線 $AC$ の上にあって $Q\ne A$ である。直線 $AC$ と直線 $AB$ は $A$ だけを共有する（$A$、$B$、$C$ は一直線上にない）ので、$Q$ は直線 $AB$ の上にない。同じように、$B$ は直線 $AC$ の上にない。
段 2（$APQ$ と $ABQ$）。線分 $AP$ と線分 $AB$ はどちらも直線 $AB$ の上にあり、2 つの三角形 $QAP$、$QAB$ は同じ頂点 $Q$ をもつ。段 1 より $Q$ は直線 $AB$ の上にないので、prop-tar-base を $\ell=$ 直線 $AB$、$Z=Z'=Q$ として使えて
$$ \frac{\triangle APQ}{\triangle ABQ}=\frac{AP}{AB} $$
である。
段 3（$ABQ$ と $ABC$）。線分 $AQ$ と線分 $AC$ はどちらも直線 $AC$ の上にあり、2 つの三角形 $BAQ$、$BAC$ は同じ頂点 $B$ をもつ。段 1 より $B$ は直線 $AC$ の上にないので、prop-tar-base により
$$ \frac{\triangle ABQ}{\triangle ABC}=\frac{AQ}{AC} $$
である。
段 4（掛ける）。段 2 と段 3 の式を掛けると、$\triangle ABQ$ が約分されて
$$ \frac{\triangle APQ}{\triangle ABC}=\frac{\triangle APQ}{\triangle ABQ}\cdot\frac{\triangle ABQ}{\triangle ABC}=\frac{AP}{AB}\cdot\frac{AQ}{AC}=\frac{AP\cdot AQ}{AB\cdot AC} $$
である。$\square$

中間の三角形を数値で確かめる

ex-tar-start-angle の $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(3,4)$、$P(2,0)$、$Q\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ で、中間の三角形 $ABQ$ は底辺 $AB=6$、高さ $\dfrac{12}5$ なので面積 $\dfrac12\cdot6\cdot\dfrac{12}5=\dfrac{36}5$ である。
段 2 の比は $\dfrac{\triangle APQ}{\triangle ABQ}=\dfrac{12/5}{36/5}=\dfrac13=\dfrac{AP}{AB}$、段 3 の比は $\dfrac{\triangle ABQ}{\triangle ABC}=\dfrac{36/5}{12}=\dfrac35=\dfrac{AQ}{AC}$ で、積は $\dfrac13\cdot\dfrac35=\dfrac15$ である（図 2）。

角 A を共有する三角形 APQ（面積 12/5）と ABC（面積 12）。面積の比 1/5 は AP/AB=2/6 と AQ/AC=3/5 の積に等しいことを見る図

三角比を使う証明

三角形の面積の公式 $\triangle ABC=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$（三角形の面積の公式）を使うと、thm-tar-angle は 1 行で出る。三角形 $APQ$ の角 $A$ は三角形 $ABC$ の角 $A$ と同じなので
$$ \frac{\triangle APQ}{\triangle ABC}=\frac{\frac12\cdot AP\cdot AQ\cdot\sin A}{\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A}=\frac{AP\cdot AQ}{AB\cdot AC} $$
である。prf-tar-angle は、この公式を知らなくても「$\dfrac12\times$底辺$\times$高さ」だけで同じ結論が出ることを示している。

三角比を使う形の利点は、角が等しくない場合にも広げられることである。$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$（三角比と鈍角への拡張）なので、2 つの角が補角（和が $180^\circ$）の場合にも同じ式が成り立つ。

補角をはさむ三角形の面積の比

三角形 $ABC$ と三角形 $A'B'C'$ で $\angle A+\angle A'=180^\circ$ ならば
$$ \frac{\triangle A'B'C'}{\triangle ABC}=\frac{A'B'\cdot A'C'}{AB\cdot AC} $$
である。

補角の正弦は等しい

方針：三角形の面積の公式に代入し、$\sin A'=\sin A$ を使う。
段 1。三角形の面積の公式により $\triangle ABC=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$、$\triangle A'B'C'=\dfrac12\cdot A'B'\cdot A'C'\cdot\sin A'$ である。
段 2。$A'=180^\circ-A$ なので $\sin A'=\sin(180^\circ-A)=\sin A$ である。$0^\circ< A<180^\circ$ なので $\sin A>0$ である。
段 3。段 1 の 2 つの式を割り、段 2 の $\sin A'=\sin A\ne0$ で約分すると、求める式を得る。$\square$

補角をはさむ三角形

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,3)$ の三角形の面積は $\dfrac12\cdot4\cdot3=6$ である。$P(-2,0)$ は半直線 $AB$ と反対向きの半直線の上にあり、$Q(2,6)$ は半直線 $AC$ の上にあって $AQ=2AC$ である。$\angle PAQ$ は $\angle BAC$ の補角である（半直線 $AP$ は半直線 $AB$ の反対向きで、半直線 $AQ$ は半直線 $AC$ と同じだから）。
cor-tar-supplement により $\dfrac{\triangle APQ}{\triangle ABC}=\dfrac{AP\cdot AQ}{AB\cdot AC}=\dfrac{2\cdot2AC}{4\cdot AC}=1$ である。直接計算すると、三角形 $APQ$ は底辺 $AP=2$（$x$ 軸の上）、高さ $6$ なので面積 $\dfrac12\cdot2\cdot6=6$ で、確かに $\triangle ABC$ と等しい。

基本形 3：相似な三角形

相似な三角形は、角をそろえて重ねると thm-tar-angle の形になる。

相似な三角形の面積の比

三角形 $A'B'C'$ が三角形 $ABC$ と相似で、相似比が $k$（$A'B'=k\cdot AB$、$A'C'=k\cdot AC$、$B'C'=k\cdot BC$）ならば、$\triangle A'B'C'=k^2\cdot\triangle ABC$ である。

角 $A$ をそろえて重ねる

方針：三角形 $A'B'C'$ を面積を変えずに動かし、角 $A$ を共有する位置に置いてから thm-tar-angle を使う。
段 1（重ねる）。相似な三角形の対応する角は等しいので $\angle B'A'C'=\angle BAC$ である。三角形 $A'B'C'$ を平行移動・回転・（必要なら）裏返しで動かして、$A'$ を $A$ に、半直線 $A'B'$ を半直線 $AB$ に重ねる。角の大きさが等しいので、裏返しを適切に選べば半直線 $A'C'$ は半直線 $AC$ に重なる。動かしても長さと面積は変わらない。
段 2（定理を使う）。動かした後の $B'$ は半直線 $AB$ の上、$C'$ は半直線 $AC$ の上にあるので、thm-tar-angle により
$$ \frac{\triangle AB'C'}{\triangle ABC}=\frac{AB'\cdot AC'}{AB\cdot AC}=\frac{k\cdot AB\cdot k\cdot AC}{AB\cdot AC}=k^2 $$
である。$\square$

辺に平行な直線で切る

ex-tar-start の三角形 $ABC$（面積 $12$）で、辺 $AB$ を $2:1$ に分ける点 $P\left(\dfrac13,\dfrac43\right)$ を通り $BC$ に平行な直線が辺 $AC$ と交わる点を $Q\left(\dfrac{13}3,\dfrac43\right)$ とする（$Q$ も $AC$ を $2:1$ に分ける）。三角形 $APQ$ は三角形 $ABC$ と相似で、相似比は $\dfrac23$ である。
cor-tar-similar により $\triangle APQ=\left(\dfrac23\right)^2\cdot12=\dfrac49\cdot12=\dfrac{16}3$ である。直接計算すると、$PQ=\dfrac{13}3-\dfrac13=4$、$A$ と直線 $PQ$（$y=\dfrac43$）の距離は $4-\dfrac43=\dfrac83$ なので、$\triangle APQ=\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac83=\dfrac{16}3$ である。残りの台形 $PBCQ$ の面積は $12-\dfrac{16}3=\dfrac{20}3$ で、三角形と台形の面積の比は $4:5$ である。

面積の比が相似比の 2 乗になるのは、面積が「長さ$\times$長さ」の量だからである。体積なら 3 乗になる（体積と回転体）。

使い方：分けられた三角形の面積

3 つの基本形を組み合わせると、辺を分ける点でできる図形の面積が、座標を使わずに求まる。

3 辺を 1:2 に分ける点でできる三角形

三角形 $ABC$ の辺 $BC$、$CA$、$AB$ を、それぞれ $1:2$ に分ける点を $D$、$E$、$F$ とする（$BD:DC=CE:EA=AF:FB=1:2$）。三角形 $DEF$ の面積は $\triangle ABC$ の何倍か。
段 1（角のそばの三角形）。三角形 $AFE$ は三角形 $ABC$ と角 $A$ を共有し、$AF=\dfrac13AB$、$AE=\dfrac23AC$ なので、thm-tar-angle により $\triangle AFE=\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot\triangle ABC=\dfrac29\triangle ABC$ である。同じように、角 $B$ で $BD=\dfrac13BC$、$BF=\dfrac23BA$ なので $\triangle BDF=\dfrac29\triangle ABC$、角 $C$ で $CE=\dfrac13CA$、$CD=\dfrac23CB$ なので $\triangle CED=\dfrac29\triangle ABC$ である。
段 2（引く）。三角形 $ABC$ は 3 つの三角形 $AFE$、$BDF$、$CED$ と三角形 $DEF$ に分かれるので
$$ \triangle DEF=\left(1-3\cdot\frac29\right)\triangle ABC=\frac13\triangle ABC $$
である。
段 3（座標で確かめる）。ex-tar-start の $A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ では $D(2,0)$、$E\left(\dfrac{13}3,\dfrac43\right)$、$F\left(\dfrac23,\dfrac83\right)$ で、角のそばの 3 つの三角形はどれも面積 $\dfrac29\cdot12=\dfrac83$、三角形 $DEF$ の面積は $\dfrac13\cdot12=4$ である（図 3。三角形 $DEF$ の面積は靴ひも公式でも $4$ と確かめられる）。

3 辺を 1:2 に分ける点 D、E、F。角のそばの 3 つの三角形の面積はどれも 8/3、三角形 DEF の面積は 4 で、三角形 ABC（面積 12）の 1/3 であることを見る図

3 本の中線は三角形を 6 等分する

三角形 $ABC$ の重心を $G$、辺 $BC$、$CA$、$AB$ の中点を $M_a$、$M_b$、$M_c$ とする。3 本の中線で三角形は 6 つの小さな三角形に分かれる。
段 1。$G$ は中線 $AM_a$ を $2:1$ に分ける（三角形の重心（高校数学））ので、$GM_a=\dfrac13AM_a$ である。prop-tar-common-base を $A$ と $G$ に使うと $\triangle GBC=\dfrac{GM_a}{AM_a}\triangle ABC=\dfrac13\triangle ABC$ である。
段 2。$M_a$ は $BC$ の中点なので、prop-tar-base により $\triangle GBM_a=\triangle GM_aC=\dfrac12\triangle GBC=\dfrac16\triangle ABC$ である。
段 3。ほかの 2 本の中線についても同じなので、6 つの三角形の面積はどれも $\dfrac16\triangle ABC$ である。ex-tar-start の三角形では $G\left(\dfrac73,\dfrac43\right)$ で、6 つの面積はどれも $2$ である。

四角形の対角線でできる 4 つの三角形にも、面積の比の関係がある。

対角線でできる 4 つの三角形

凸四角形 $ABCD$ の対角線 $AC$、$BD$ の交点を $P$ とする。このとき
$$ \triangle PAB\cdot\triangle PCD=\triangle PBC\cdot\triangle PDA $$
である。

同じ比 $\frac{PA}{PC}$ が 2 回現れる

方針：頂点 $B$ と頂点 $D$ のそれぞれから見て、対角線 $AC$ の上の線分 $PA$、$PC$ を底辺とする三角形の比をとる。
段 1。凸四角形なので、$P$ は対角線 $AC$ の上で $A$、$C$ と異なり、対角線 $BD$ の上で $B$、$D$ と異なる。また $B$、$D$ は直線 $AC$ の上にない。
段 2。三角形 $PAB$ と $PBC$ は頂点 $B$ を共有し、底辺 $PA$、$PC$ は直線 $AC$ の上にあるので、prop-tar-base により $\dfrac{\triangle PAB}{\triangle PBC}=\dfrac{PA}{PC}$ である。
段 3。三角形 $PDA$ と $PCD$ は頂点 $D$ を共有し、底辺 $PA$、$PC$ は直線 $AC$ の上にあるので、同じく $\dfrac{\triangle PDA}{\triangle PCD}=\dfrac{PA}{PC}$ である。
段 4。段 2 と段 3 から $\dfrac{\triangle PAB}{\triangle PBC}=\dfrac{\triangle PDA}{\triangle PCD}$ であり、分母を払うと $\triangle PAB\cdot\triangle PCD=\triangle PBC\cdot\triangle PDA$ である。$\square$

台形の対角線

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(4,2)$、$D(0,2)$ の台形（$AB\parallel DC$、$AB=6$、$DC=4$、面積 $\dfrac{(6+4)\cdot2}2=10$）で、対角線の交点は $P\left(\dfrac{12}5,\dfrac65\right)$ である（$P=\dfrac35C$ で、$AP:PC=3:2$）。
$AB\parallel DC$ なので三角形 $PAB$ と $PCD$ は相似で、相似比は $AB:CD=6:4=3:2$ である。よって cor-tar-similar により面積の比は $9:4$ である。prf-tar-quad の段 2 から $\triangle PBC=\dfrac{PC}{PA}\triangle PAB=\dfrac23\triangle PAB$、段 3 から $\triangle PDA=\dfrac{PA}{PC}\triangle PCD=\dfrac32\triangle PCD$ で、4 つの面積の比は $\triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCD:\triangle PDA=9:6:4:6$ である。合計 $25$ が台形の面積 $10$ にあたるので、面積は順に $\dfrac{18}5$、$\dfrac{12}5$、$\dfrac85$、$\dfrac{12}5$ である。prop-tar-quad のとおり $\dfrac{18}5\cdot\dfrac85=\dfrac{144}{25}=\dfrac{12}5\cdot\dfrac{12}5$ となる（図 4）。

台形 ABCD の対角線でできる 4 つの三角形の面積 18/5、12/5、8/5、12/5。向かい合う 2 組の積が等しいことを見る図

大学数学で見る：符号付き面積とアフィン変換

高校の 3 つの基本形は、大学の言葉では「面積は 2 本のベクトルの 双線形 で 交代的 な関数である」という 1 つの性質から出てくる。さらに、面積の比が アフィン変換（1 次変換と平行移動の組み合わせ）で変わらないことから、面積の比の問題はどの三角形で計算してもよいことが分かる。

3 点の符号付き面積

平面のベクトル $\vec u=(u_1,u_2)$、$\vec w=(w_1,w_2)$ に対して
$$ \det(\vec u,\vec w):=u_1w_2-u_2w_1 $$
とおく（$\vec u$、$\vec w$ を列に並べた $2\times2$ 行列の行列式である）。座標平面の 3 点 $X$、$Y$、$Z$ に対して
$$ [XYZ]:=\frac12\det\bigl(\overrightarrow{XY},\overrightarrow{XZ}\bigr) $$
を 3 点の 符号付き面積 という。$X(x_1,y_1)$、$Y(x_2,y_2)$、$Z(x_3,y_3)$ なら $[XYZ]=\dfrac12\bigl\{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\bigr\}$ である。

符号付き面積を計算する

ex-tar-start の $A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ では $\overrightarrow{AB}=(-1,-4)$、$\overrightarrow{AC}=(5,-4)$ なので
$$ [ABC]=\frac12\bigl\{(-1)(-4)-(-4)\cdot5\bigr\}=\frac12(4+20)=12 $$
で、$\triangle ABC=12$ と一致する。
順番を入れ替えると $\overrightarrow{AC}=(5,-4)$、$\overrightarrow{AB}=(-1,-4)$ なので $[ACB]=\dfrac12\bigl\{5\cdot(-4)-(-4)(-1)\bigr\}=\dfrac12(-20-4)=-12$ である。絶対値は面積で、符号は $A\to B\to C$ と回る向きを表す（反時計回りなら正、時計回りなら負。1次変換と行列式：面積の拡大率、靴ひも公式）。

符号付き面積の絶対値は面積

3 点 $X$、$Y$、$Z$ が一直線上になければ $|[XYZ]|=\triangle XYZ$ であり、一直線上にあれば $[XYZ]=0$ である。

2 乗して内積と比べる

方針：$\det(\vec u,\vec w)^2$ を内積で書き直し、三角形の面積の公式 $\dfrac12|\vec u||\vec w|\sin\theta$ と比べる。
段 1（恒等式）。$\vec u=\overrightarrow{XY}=(u_1,u_2)$、$\vec w=\overrightarrow{XZ}=(w_1,w_2)$ とする。展開すると
$$ (u_1^2+u_2^2)(w_1^2+w_2^2)-(u_1w_1+u_2w_2)^2=u_1^2w_2^2+u_2^2w_1^2-2u_1w_1u_2w_2=(u_1w_2-u_2w_1)^2 $$
である（$u_1^2w_1^2$ と $u_2^2w_2^2$ の項が打ち消し合う）。つまり $\det(\vec u,\vec w)^2=|\vec u|^2|\vec w|^2-(\vec u\cdot\vec w)^2$ である。同じ計算は三角形の面積の公式の座標による面積の公式でも行う。
段 2（一直線上にない場合）。$\vec u$、$\vec w$ のなす角を $\theta$（$0<\theta<\pi$）とすると $\vec u\cdot\vec w=|\vec u||\vec w|\cos\theta$ なので（ベクトルの内積（高校数学））、段 1 から $\det(\vec u,\vec w)^2=|\vec u|^2|\vec w|^2(1-\cos^2\theta)=|\vec u|^2|\vec w|^2\sin^2\theta$ である。$\sin\theta>0$ なので $|\det(\vec u,\vec w)|=|\vec u||\vec w|\sin\theta$ であり、三角形の面積の公式（三角形の面積の公式）により $|[XYZ]|=\dfrac12XY\cdot XZ\cdot\sin\theta=\triangle XYZ$ である。
段 3（一直線上にある場合）。$X=Y$ なら $\vec u=\vec 0$ で $\det(\vec u,\vec w)=0$ である。$X\ne Y$ なら、$Z$ は直線 $XY$ の上にあるので $\vec w=s\vec u$ と書け、$\det(\vec u,s\vec u)=u_1\cdot su_2-u_2\cdot su_1=0$ である。$\square$

双線形性と交代性

行列式の双線形性・交代性と、1 次変換で $\det M$ 倍になること（下の thm-tar-affine）は、1次変換と行列式：面積の拡大率でも別の証明（双線形で交代的な関数の一意性）で示している。ここでは成分の計算で確かめる。

2 本のベクトルの行列式の性質

平面のベクトル $\vec u$、$\vec u'$、$\vec w$、$\vec w'$ と実数 $s$、$s'$ について次が成り立つ。

（1 本目について 1 次）$\det(s\vec u+s'\vec u',\vec w)=s\det(\vec u,\vec w)+s'\det(\vec u',\vec w)$
（2 本目について 1 次）$\det(\vec u,s\vec w+s'\vec w')=s\det(\vec u,\vec w)+s'\det(\vec u,\vec w')$
（交代性）$\det(\vec u,\vec u)=0$、$\det(\vec w,\vec u)=-\det(\vec u,\vec w)$

成分で書く

方針：定義 $\det(\vec u,\vec w)=u_1w_2-u_2w_1$ に成分を代入して整理する。
段 1（1）。$s\vec u+s'\vec u'$ の成分は $(su_1+s'u'_1,\ su_2+s'u'_2)$ なので
$$ \det(s\vec u+s'\vec u',\vec w)=(su_1+s'u'_1)w_2-(su_2+s'u'_2)w_1=s(u_1w_2-u_2w_1)+s'(u'_1w_2-u'_2w_1) $$
である。
段 2（2）。同じように $\det(\vec u,s\vec w+s'\vec w')=u_1(sw_2+s'w'_2)-u_2(sw_1+s'w'_1)=s(u_1w_2-u_2w_1)+s'(u_1w'_2-u_2w'_1)$ である。
段 3（3）。$\det(\vec u,\vec u)=u_1u_2-u_2u_1=0$、$\det(\vec w,\vec u)=w_1u_2-w_2u_1=-(u_1w_2-u_2w_1)$ である。$\square$

この 2 つの性質から、高校の基本形が符号込みで出てくる。

底辺の比の符号付きの形

$B\ne C$ とし、直線 $BC$ の上の点を $D=(1-t)B+tC$（$t$ は実数。位置ベクトルで書いた。位置ベクトルと内分点）とする。点 $A$ に対して
$$ [ABD]=t\,[ABC],\qquad [ADC]=(1-t)\,[ABC] $$
である。特に、$D$ が直線 $BC$ のどこにあっても $[ABD]+[ADC]=[ABC]$ が成り立つ。

$A$ から見たベクトルで展開する

方針：$\overrightarrow{AD}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表し、prop-tar-bilinear で展開する。
段 1。$D=(1-t)B+tC$ から $A$ を引くと、$(1-t)+t=1$ なので $\overrightarrow{AD}=(1-t)\overrightarrow{AB}+t\,\overrightarrow{AC}$ である。
段 2。prop-tar-bilinear の 2 と 3 により
$$ \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=(1-t)\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})+t\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=t\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) $$
である。両辺を $2$ で割ると $[ABD]=t\,[ABC]$ である。
段 3。同じく prop-tar-bilinear の 1 と 3 により
$$ \det(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC})=(1-t)\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+t\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC})=(1-t)\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) $$
なので $[ADC]=(1-t)[ABC]$ である。
段 4。段 2 と段 3 を足すと $[ABD]+[ADC]=\{t+(1-t)\}[ABC]=[ABC]$ である。$\square$

$0< t<1$（$D$ が辺 $BC$ の内部にある）なら $BD=t\cdot BC$、$DC=(1-t)BC$ で、$[ABD]$ と $[ADC]$ は $[ABC]$ と同じ符号なので、絶対値をとると prop-tar-base の $\dfrac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{BD}{DC}$ に戻る。$D$ が線分の外にあると $t$ か $1-t$ が負になり、面積の和の関係が「引き算」に変わる（ex-tar-cx-outside）。符号付きの形では、場合分けなしに 1 つの式で済む。
同じ計算で、thm-tar-angle と cor-tar-supplement も 1 つにまとまる。

角を共有する三角形の符号付きの形

$P=A+p\,\overrightarrow{AB}$、$Q=A+q\,\overrightarrow{AC}$（$p$、$q$ は実数）とすると $[APQ]=pq\,[ABC]$ である。

2 本のベクトルからそれぞれ実数を出す

方針：prop-tar-bilinear の 1 と 2 を 1 回ずつ使う。
$\overrightarrow{AP}=p\,\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AQ}=q\,\overrightarrow{AC}$ なので、prop-tar-bilinear の 1 で $p$ を、2 で $q$ を外に出すと $\det(\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AQ})=p\,q\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ である。両辺を $2$ で割ると $[APQ]=pq\,[ABC]$ である。$\square$

$p,q>0$ なら $P$、$Q$ は半直線 $AB$、$AC$ の上にあり、$|p|=\dfrac{AP}{AB}$、$|q|=\dfrac{AQ}{AC}$ なので、絶対値をとると thm-tar-angle になる。$p<0< q$ なら $\angle PAQ$ は $\angle BAC$ の補角で、cor-tar-supplement の形になる。ex-tar-supplement では $p=-\dfrac12$、$q=2$ で $pq=-1$ であり、$[APQ]=-[ABC]$ となる（面積は等しく、向きが逆）。

アフィン変換と面積の比

平面のアフィン変換

実数 $a$、$b$、$c$、$d$ と点 $V(v_1,v_2)$ を決めて、点 $X(x,y)$ を
$$ f(X)=(ax+by+v_1,\ cx+dy+v_2) $$
に移す写像を考える。$ad-bc\ne0$ のとき、$f$ を平面の アフィン変換 という。$M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とすると、$f$ は 1 次変換 $X\mapsto MX$（1次変換と行列式：面積の拡大率）のあとに平行移動をしたものであり、$ad-bc=\det M$ である。

アフィン変換と符号付き面積

def-tar-affine のアフィン変換 $f$ について、次が成り立つ。

どの 3 点 $X$、$Y$、$Z$ についても $[f(X)f(Y)f(Z)]=(ad-bc)[XYZ]$ である。
直線 $BC$ の上の点 $D=(1-t)B+tC$ は、$f(D)=(1-t)f(B)+tf(C)$ に移る。つまり、線分を分ける比は変わらない。
特に、2 つの三角形の面積の比は $f$ で移しても変わらない。

差のベクトルは $M$ で移る

方針：$f(Y)-f(X)$ が $\overrightarrow{XY}$ を $M$ で移したものであることを確かめ、$\det(M\vec u,M\vec w)$ を展開する。
段 1（差のベクトル）。$f(X)=MX+V$ と書く（点とその位置ベクトルを同じ文字で表す）。$f(Y)-f(X)=(MY+V)-(MX+V)=M(Y-X)$ なので、$\overrightarrow{f(X)f(Y)}=M\,\overrightarrow{XY}$ である。
段 2（行列式の展開）。$\vec u=(u_1,u_2)$、$\vec w=(w_1,w_2)$ とすると $M\vec u=(au_1+bu_2,\ cu_1+du_2)$、$M\vec w=(aw_1+bw_2,\ cw_1+dw_2)$ である。
$$ \begin{aligned} \det(M\vec u,M\vec w)&=(au_1+bu_2)(cw_1+dw_2)-(cu_1+du_2)(aw_1+bw_2)\\ &=acu_1w_1+adu_1w_2+bcu_2w_1+bdu_2w_2-acu_1w_1-bcu_1w_2-adu_2w_1-bdu_2w_2\\ &=(ad-bc)(u_1w_2-u_2w_1) \end{aligned} $$
である。$acu_1w_1$ と $bdu_2w_2$ の項が打ち消し合い、残りを $ad-bc$ でくくった。
段 3（1 の結論）。段 1 と段 2 から
$$ [f(X)f(Y)f(Z)]=\frac12\det\bigl(M\overrightarrow{XY},M\overrightarrow{XZ}\bigr)=(ad-bc)\cdot\frac12\det\bigl(\overrightarrow{XY},\overrightarrow{XZ}\bigr)=(ad-bc)[XYZ] $$
である。
段 4（2）。$f(D)=M\bigl((1-t)B+tC\bigr)+V=(1-t)MB+tMC+\{(1-t)+t\}V=(1-t)(MB+V)+t(MC+V)=(1-t)f(B)+tf(C)$ である。
段 5（面積の比）。三角形 $XYZ$、$X'Y'Z'$ について、段 3 と prop-tar-signed-meaning から $\triangle f(X)f(Y)f(Z)=|ad-bc|\cdot\triangle XYZ$、$\triangle f(X')f(Y')f(Z')=|ad-bc|\cdot\triangle X'Y'Z'$ である。$ad-bc\ne0$ なので比をとると $|ad-bc|$ が約分され、比は変わらない。$\square$

どんな三角形も、ある 1 つの三角形のアフィン変換による像になる。

標準の三角形への帰着

$O(0,0)$、$E_1(1,0)$、$E_2(0,1)$ とする。一直線上にない 3 点 $A$、$B$、$C$ に対して
$$ f(x,y)=A+x\,\overrightarrow{AB}+y\,\overrightarrow{AC} $$
はアフィン変換で、$f(O)=A$、$f(E_1)=B$、$f(E_2)=C$ を満たす。

行列の列を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ にする

方針：$f$ を def-tar-affine の形に書き、$ad-bc\ne0$ を確かめる。
段 1。$\overrightarrow{AB}=(a,c)$、$\overrightarrow{AC}=(b,d)$ とおくと、$f(x,y)=(ax+by+A_1,\ cx+dy+A_2)$（$A=(A_1,A_2)$）である。これは $V=A$ とした def-tar-affine の形である。
段 2。$ad-bc=\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2[ABC]$ で、$A$、$B$、$C$ は一直線上にないので prop-tar-signed-meaning により $0$ でない。よって $f$ はアフィン変換である。
段 3。$f(0,0)=A$、$f(1,0)=A+\overrightarrow{AB}=B$、$f(0,1)=A+\overrightarrow{AC}=C$ である。$\square$

thm-tar-affine により、「辺を決まった比に分ける点」でできる図形の面積の比は、$f$ で移しても変わらない。したがって、そのような問題は標準の三角形 $OE_1E_2$（面積 $\dfrac12$）で計算してよい。

標準の三角形で計算し直す

ex-tar-inner を標準の三角形 $OE_1E_2$ で計算する。辺 $E_1E_2$、$E_2O$、$OE_1$ を $1:2$ に分ける点は
$$ D_0=\tfrac23E_1+\tfrac13E_2=\left(\tfrac23,\tfrac13\right),\quad E_0=\tfrac23E_2+\tfrac13O=\left(0,\tfrac23\right),\quad F_0=\tfrac23O+\tfrac13E_1=\left(\tfrac13,0\right) $$
である。$\overrightarrow{D_0E_0}=\left(-\dfrac23,\dfrac13\right)$、$\overrightarrow{D_0F_0}=\left(-\dfrac13,-\dfrac13\right)$ なので
$$ [D_0E_0F_0]=\frac12\left\{\left(-\frac23\right)\left(-\frac13\right)-\frac13\cdot\left(-\frac13\right)\right\}=\frac12\left(\frac29+\frac19\right)=\frac16 $$
で、$\dfrac{1/6}{1/2}=\dfrac13$ となり、ex-tar-inner と同じ比が出る。
ex-tar-start の三角形では $f(x,y)=(1,4)+x(-1,-4)+y(5,-4)$、$ad-bc=(-1)(-4)-5\cdot(-4)=24$ である。$f(D_0)=(2,0)$、$f(E_0)=\left(\dfrac{13}3,\dfrac43\right)$、$f(F_0)=\left(\dfrac23,\dfrac83\right)$ は ex-tar-inner の $D$、$E$、$F$ で、面積は $24\cdot\dfrac12=12$、$24\cdot\dfrac16=4$ と $24$ 倍になる（図 5）。

標準の三角形（面積 1/2）と内側の三角形（面積 1/6）が、アフィン変換 f で三角形 ABC（面積 12）と三角形 DEF（面積 4）に移る。面積はどちらも 24 倍になり、比 1/3 は変わらないことを見る図

アフィン変換で変わるもの

thm-tar-affine が保証するのは、面積の比と、1 本の直線の上（または平行な直線の上）の長さの比である。向きの違う線分の長さの比や、角の大きさは変わりうる。たとえば $g(x,y)=(2x,y)$（$ad-bc=2$）は $x$ 軸の向きの長さを $2$ 倍にし、$y$ 軸の向きの長さを変えない。したがって、$AB:AC$ のような向きの違う 2 辺の比や、角の二等分線を含む問題は、標準の三角形に帰着できない（ex-tar-stretch）。角の二等分線が対辺を分ける比は角の二等分線の定理で、辺の長さそのものを使って求める。

例と反例

どの仮定を外すと何が崩れるかを一覧にする。

外した仮定	崩れる主張	ボックス
高さが等しい	面積の比＝底辺の比	ex-tar-cx-height
角が等しい（または補角）	面積の比＝挟む 2 辺の積の比	ex-tar-cx-angle
$D$ が辺 $BC$ の内部にある	$\triangle ABD+\triangle ADC=\triangle ABC$	ex-tar-cx-outside
比べる線分が同じ直線（または平行な直線）の上にある	アフィン変換で長さの比が保たれる（したがって角の二等分線も保たれる）	ex-tar-stretch

注意（よくある取り違え）：相似な三角形の面積の比は、相似比そのものではなく相似比の 2 乗である（cor-tar-similar、ex-tar-cx-square）。

反例：高さが違えば底辺の比にならない

$B(0,0)$、$C(2,0)$、$D(4,0)$ と $A(1,4)$、$A'(3,1)$ をとる。三角形 $ABC$ と $A'CD$ は底辺の長さが $BC=CD=2$ で等しい。しかし高さが $4$ と $1$ で違うので、面積は $\dfrac12\cdot2\cdot4=4$ と $\dfrac12\cdot2\cdot1=1$ で、比は $4:1$ であり、底辺の比 $1:1$ にならない。prop-tar-base の「頂点と底辺の直線の距離が等しい」という仮定が外れている。

反例：挟む角が違えば積の比にならない

$AB=4$、$AC=3$ で $\angle A=90^\circ$ の三角形と、$A'B'=4$、$A'C'=3$ で $\angle A'=60^\circ$ の三角形を比べる。挟む 2 辺の積はどちらも $12$ だが、面積は $\dfrac12\cdot4\cdot3\cdot\sin90^\circ=6$ と $\dfrac12\cdot4\cdot3\cdot\sin60^\circ=3\sqrt3$ で等しくない。座標では $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$ と、$A'(0,0)$、$B'(4,0)$、$C'\left(\dfrac32,\dfrac{3\sqrt3}2\right)$ である。$90^\circ$ と $60^\circ$ は等しくも補角でもないので、thm-tar-angle も cor-tar-supplement も使えない。

反例：面積の比を相似比と取り違える

$A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(0,1)$ の三角形（面積 $\dfrac12$）と、各辺を $2$ 倍にした $A(0,0)$、$B'(2,0)$、$C'(0,2)$ の三角形（面積 $2$）では、相似比は $2$ だが面積の比は $\dfrac{2}{1/2}=4=2^2$ である。「相似比が $2$ だから面積も $2$ 倍」は誤りで、cor-tar-similar のとおり $2$ 乗になる。

反例：辺の外の点では面積が足し算にならない

ex-tar-start の $A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ で、辺 $BC$ の延長の上の点 $D(9,0)$ をとる。$D=(1-t)B+tC$ で $t=\dfrac32$ である。
面積は $\triangle ABD=\dfrac12\cdot9\cdot4=18$、$\triangle ADC=\dfrac12\cdot3\cdot4=6$ で、$18+6=24\ne12=\triangle ABC$ である。面積の和の関係は崩れ、代わりに $18-6=12$ となる。一方、比 $\dfrac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\dfrac{18}6=3=\dfrac{BD}{DC}$ は成り立つ（prop-tar-base は $D$ が直線 $BC$ の上ならよい）。
符号付き面積では、prop-tar-signed-base により $[ABD]=\dfrac32\cdot12=18$、$[ADC]=\left(1-\dfrac32\right)\cdot12=-6$ で、$[ABD]+[ADC]=12=[ABC]$ が成り立つ。$A\to D\to C$ が時計回りなので $[ADC]$ が負になり、足し算が正しく引き算の役をする。

反例：アフィン変換で角の二等分線は移らない

$A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(0,1)$ の直角二等辺三角形では $AB=AC$ なので、$\angle A$ の二等分線（直線 $y=x$）は辺 $BC$ を中点 $M\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ で 2 等分する。
$g(x,y)=(2x,y)$ で移すと $A'(0,0)$、$B'(2,0)$、$C'(0,1)$、$M'=g(M)=\left(1,\dfrac12\right)$ で、thm-tar-affine の 2 のとおり $M'$ は辺 $B'C'$ の中点のままである。ところが $A'B'=2$、$A'C'=1$ なので、$\angle A'$ の二等分線は $A'$ から $B'$、$C'$ へ向かう単位ベクトルの和 $(1,0)+(0,1)=(1,1)$ の向き、つまり直線 $y=x$ である（三角形の内心と傍心）。これが辺 $B'C'$（$\dfrac x2+y=1$）と交わる点は $\left(\dfrac23,\dfrac23\right)$ で、$B'C'$ を $2:1$ に分ける。直線 $A'M'$（$y=\dfrac x2$）は二等分線ではない。
面積の比と同じ向きの長さの比は保たれるが、$A'B':A'C'$ のような向きの違う長さの比（$1:1$ が $2:1$ に変わった）と角は保たれない。

さらに先へ

3 本の線が 1 点で交わる条件（Cevaの定理（高校数学））と、3 点が一直線上にある条件（Menelausの定理（高校数学））は、この記事の面積の比で証明できる。3 本の線が 1 点で交わらないときにできる三角形の面積は Routhの定理で求まる。
prop-tar-base は、Euclid『原論』第 6 巻の命題 1（同じ高さの三角形と平行四辺形は、互いに底辺に比例する）にあたる（Joy96）。
空間では、四面体 $OABC$ の辺 $OA$、$OB$、$OC$ の上の点 $P$、$Q$、$R$ について、体積の比 $\dfrac{V(OPQR)}{V(OABC)}$ が $\dfrac{OP}{OA}\cdot\dfrac{OQ}{OB}\cdot\dfrac{OR}{OC}$ になる（thm-tar-angle の 3 次元版。本記事では証明しない）。体積は $3\times3$ の行列式で表され、3 本のベクトルのそれぞれについて 1 次（3 重線形）で交代的である（四面体の体積と行列式、錐体の体積とHilbertの第3問題）。
三角形に限らず、どんな図形の面積もアフィン変換で $|ad-bc|$ 倍になる。その証明と、多角形の面積を座標から求める方法は 1次変換と行列式：面積の拡大率と靴ひも公式で扱う。面積の比を 3 つ並べた「点の座標」が重心座標である（Cevaの定理（高校数学）の後半）。