半局所単連結空間

$X$ を単連結とし、$x\in X$ を任意にとる。$U:=X$ は $x$ の近傍であり、包含写像 $i\colon X\to X$ は恒等写像なので $i_*$ も恒等写像である。$\pi_1(X,x)$ が自明群なので $i_*$ の像は自明群である。$\square$

$X$ を局所単連結とし、$x\in X$ を任意にとる。$V:=X$ に対して単連結な開近傍 $U\ni x$ が存在する。$\pi_1(U,x)$ が自明群なので、群準同型 $i_*\colon\pi_1(U,x)\to\pi_1(X,x)$ の像は自明群である。$\square$

弧状連結性：$q,q'\in S$ は線分で $c$ と結ばれるから、$q$ から $c$ へ、次いで $c$ から $q'$ へ進む道が $S$ 内にある。基点 $c$ のループ $\gamma$ に対し $H(s,t):=(1-t)\gamma(s)+tc$ とおくと、星状性から $H$ は $S$ に値をとり、$H(s,0)=\gamma(s)$、$H(s,1)=c$、$\gamma(0)=\gamma(1)=c$ から $H(0,t)=H(1,t)=c$ である。よって $\gamma$ は基点を固定したまま定値ループにつながり、$\pi_1(S,c)$ は自明群である。弧状連結で一点で基本群が自明だから、$S$ は単連結である。$\square$

$C_n$ への押し潰し。 $n\ge1$ を固定し、$r_n\colon\mathbb{H}\to C_n$ を、$p\in C_n$ なら $r_n(p)=p$、$p\notin C_n$ なら $r_n(p)=0$ と定める。$r_n$ は連続である。実際、$p\in C_n\setminus\{0\}$ に対しては、$m\neq n$ なる各 $C_m$ が $p$ から正の距離にあり、$m\to\infty$ で $C_m\subset\{|q|\le 2/m\}$ は $0$ に収束するから、$p$ のある近傍は $C_n$ 以外の円周と交わらず、その上で $r_n$ は恒等写像である。$p\in\mathbb{H}\setminus C_n$ に対しても同様に $p$ のある近傍は $C_n$ と交わらず、その上で $r_n$ は定値写像である。$p=0$ では $|r_n(q)|\le|q|$ が任意の $q$ について成り立つので $q\to0$ のとき $r_n(q)\to0=r_n(0)$ である。
$\gamma_n$ は $\mathbb{H}$ で非自明。 $C_n$ は円周と同相であり、$\pi_1(C_n,0)\cong\mathbb{Z}$ で、$C_n$ を一周するループ $\gamma_n$ の類が生成元である（HatAT Theorem 1.7）。$\gamma_n$ は $C_n$ 内のループなので $r_n\circ\gamma_n=\gamma_n$ である。もし $[\gamma_n]$ が $\pi_1(\mathbb{H},0)$ で自明なら、$(r_n)_*[\gamma_n]=[r_n\circ\gamma_n]=[\gamma_n]$ が $\pi_1(C_n,0)$ で自明となり、生成元であることに反する。よって $[\gamma_n]\neq1$ in $\pi_1(\mathbb{H},0)$。
結論。 $0$ の任意の近傍 $U$ は、ある $\varepsilon>0$ について $\{q\in\mathbb{H}\mid|q|<\varepsilon\}$ を含む。$2/n<\varepsilon$ なる $n$ をとれば $C_n\subset U$ であり、$\gamma_n$ は $U$ 内のループで、その像 $i_*[\gamma_n]=[\gamma_n]$ は $\pi_1(\mathbb{H},0)$ で非自明である。よって $i_*$ の像は自明群でない。局所単連結でないことは prop-semilocally-simply-connected-space-from-locally-simply-connected の対偶から従う。$\square$

まず $A$ が $c$ に関して星状であることを確かめる。$q=(1-t)p+tc\in A$ と $s\in[0,1]$ に対し $(1-s)q+sc=(1-t')p+t'c$、$t':=t+s-ts\in[0,1]$ なので $(1-s)q+sc\in A$ である。
$V:=\{q\in A\mid|q|<1/2\}$ は $0$ の近傍で、頂点 $c$ を含まない。$U$ を $0\in U\subset V$ なる任意の開近傍とする。$U$ はある $\delta>0$ について $\{q\in A\mid|q|<\delta\}$ を含むので、$2/n<\delta$ なる $n$ をとれば $C_n\times\{0\}\subset U$ であり、ループ $\gamma_n$（第3成分を $0$ として $A$ 内のループとみなす）は $U$ 内にある。
$A\setminus\{c\}$ の点は $(1-t)p+tc=((1-t)p_1,(1-t)p_2,t)$（$p=(p_1,p_2)\in\mathbb{H}$、$0\le t<1$）と一意に書け、$\rho\colon A\setminus\{c\}\to\mathbb{H}$、$\rho(x_1,x_2,x_3):=\bigl(\tfrac{x_1}{1-x_3},\tfrac{x_2}{1-x_3}\bigr)$ は連続である。$U\subset A\setminus\{c\}$ なので $\rho|_U\colon U\to\mathbb{H}$ が定まり、$\rho\circ\gamma_n=\gamma_n$ である。もし $[\gamma_n]$ が $\pi_1(U,0)$ で自明なら $(\rho|_U)_*[\gamma_n]=[\gamma_n]$ が $\pi_1(\mathbb{H},0)$ で自明となり、prop-semilocally-simply-connected-space-earring に反する。よって $U$ は単連結でなく、$0$ は $V$ に含まれる単連結な開近傍を持たない。$\square$

以下、$\mathbb{H}$ が半局所単連結でないこと（prop-semilocally-simply-connected-space-earring）と、空でない星状集合が単連結であること（prop-semilocally-simply-connected-space-star）を繰り返し使う。

1. $\mathbb{R}^2$ は空でない凸集合なので単連結、よって半局所単連結。部分空間 $\mathbb{H}$ はそうでない。
2. 一点空間はループが定値ループしかないので単連結、よって半局所単連結。$\mathbb{H}$ はそうでない。
3. $\mathbb{H}_+$ は各 $C_n$ の上半円弧 $\{(\tfrac1n(1+\cos\varphi),\tfrac1n\sin\varphi)\mid0\le\varphi\le\pi\}$ の和で、相異なる弧は $0$（$\varphi=\pi$）でのみ交わる。$H(q,t)$ を、$q$ が第 $n$ の弧上で角 $\varphi$ の点なら同じ弧上で角 $\pi-(1-t)(\pi-\varphi)$ の点と定める。$0$ では $H(0,t)=0$ である。$q\neq0$ の近傍では一本の弧しか通らず $H$ は連続、$0$ では原点からの距離 $\tfrac2n\cos(\varphi/2)$ が $\varphi$ について単調減少なので $|H(q,t)|\le|q|$ となり連続である。$H$ は各時刻で $0$ を固定するので、基点 $0$ のループ $\gamma$ に対し $(s,t)\mapsto H(\gamma(s),t)$ は基点を固定して $\gamma$ を定値ループにつなぐ。よって $\pi_1(\mathbb{H}_+,0)$ は自明群であり、各点が自分の弧に沿って $0$ と結ばれるので $\mathbb{H}_+$ は弧状連結、したがって単連結、ゆえに半局所単連結である。$\mathbb{H}_-$ は $y\mapsto-y$ で $\mathbb{H}_+$ と同相だから同様。和集合は $\mathbb{H}$ である。
4. $A$ は $c=(0,0,1)$ に関して星状（prop-semilocally-simply-connected-space-cone の証明）、$A'$ は $c'=(0,0,-1)$ に関して同様に星状なので、いずれも単連結で半局所単連結である。$A$ の点の第3成分は $t\ge0$、$A'$ の点の第3成分は $-t\le0$ なので、共通部分は第3成分が $0$ の点、すなわち $\mathbb{H}\times\{0\}$ であり、これは $\mathbb{H}$ と同相である。
5. 離散空間 $D$ では各一点集合が開かつ単連結なので $D$ は局所単連結、よって半局所単連結である。離散空間からの任意の写像は連続なので恒等写像 $D\to\mathbb{H}$ は連続な全射である。
6. 一点空間 $\{\ast\}$ は半局所単連結で、定値写像 $\mathbb{H}\to\{\ast\}$ による $\{\ast\}$ の逆像は $\mathbb{H}$ である。$\square$

直和。 $z\in X\sqcup Y$ とし、$z\in X$ とする。$X$ は $X\sqcup Y$ の開集合なので、$X$ における $z$ の近傍 $U$（半局所単連結性の条件を満たすもの）は $X\sqcup Y$ における $z$ の近傍でもある。$U$ 内の $z$ を基点とするループは $X$ の中で定値ループにつながり、そのホモトピーは $X\sqcup Y$ の中のホモトピーでもある。$z\in Y$ の場合も同様である。
直積。 $(x,y)\in X\times Y$ とし、$x$ の近傍 $U\subset X$ と $y$ の近傍 $V\subset Y$ をそれぞれ半局所単連結性の条件を満たすようにとる。$U\times V$ は $(x,y)$ の近傍である。$U\times V$ 内の $(x,y)$ を基点とするループ $\gamma=(\alpha,\beta)$ について、$\alpha$ は $U$ 内の $x$ を基点とするループなので $X$ の中で基点を固定したホモトピー $F$ により定値ループへつながり、同様に $\beta$ は $Y$ の中でホモトピー $G$ により定値ループへつながる。すると $(F,G)$ は $X\times Y$ の中で $\gamma$ を基点 $(x,y)$ を固定したまま定値ループへつなぐホモトピーである。$\square$