Feit–Thompsonの定理
概要
Feit–Thompsonの定理（Feit–Thompson theorem）とは、位数が奇数の有限群はすべて可解群であるという定理であり、1963 年に Feit と Thompson が 255 頁の論文で証明した。位数についての帰納法により、これは可換でない有限単純群の位数がすべて偶数であることと同値であり、とくに可換でない有限単純群は位数 2 の元をもつ。左正則表現の符号を使うと Sylow 2-部分群が自明でない巡回群の有限群は指数 2 の正規部分群をもつので、可換でない有限単純群の位数は 4 で割り切れる。証明は最小反例である極小単純群の解析によって行われ、有限単純群の分類の礎の一つになった。
Feit–Thompson の定理は、位数が奇数の有限群はつねに可解であるという定理である。1963 年に Feit と Thompson が 255 頁の論文で証明し、有限単純群の分類の礎の一つになった。この記事では定理を述べ、可換でない有限単純群の位数が偶数であることとの同値性、最小反例の形、そこから従う「可換でない有限単純群の位数は $4$ で割り切れる」ことを完全に証明する。定理そのものの証明はこの記事では扱わず、その構成と歴史を述べる。
定理の主張
群 $G$ の交換子部分群を $[G,G]$ と書き、導来列を $G^{(0)}:=G$、$G^{(k+1)}:=[G^{(k)},G^{(k)}]$ で定める。ある $r$ で $G^{(r)}=\{e\}$ となる群が可解群である（可解群）。
位数が奇数の有限群は可解群である。
主張は「位数が奇数」という数の条件だけから、群の構造（可解性）を結論する。同じ形の定理に Burnsideのp^a q^b定理（位数の素因数が 2 種類以下なら可解）があるが、Feit–Thompson の定理では素因数の種類はいくつでもよい。
単純群による言い換え
可解性は正規部分群と剰余群に遺伝し、拡大で保たれる。すなわち、可解群の部分群と剰余群は可解であり（可解群 の命題「部分群と剰余群への遺伝」）、$N\trianglelefteq G$ について $N$ と $G/N$ が可解なら $G$ も可解である（同記事の命題「拡大についての閉性」）。また、可換でない単純群は可解でなく（同記事の命題「アーベル群でない単純群は可解でない」）、可換な単純群は素数位数の巡回群である（単純群 の命題「可換な単純群の分類」）。
次の 3 条件は同値である。
- 位数が奇数の有限群はすべて可解である。
- 位数が奇数の有限単純群は、すべて素数位数の巡回群である。
- 可換でない有限単純群の位数は、すべて偶数である。
1 ⇒ 2：$G$ を位数が奇数の有限単純群とする。1 により $G$ は可解である。可換でない単純群は可解でないので $G$ は可換であり、可換な単純群は素数位数の巡回群である。
2 ⇒ 3：可換でない有限単純群の位数が奇数なら、2 によりそれは巡回群、とくに可換になり矛盾する。
3 ⇒ 1：位数 $|G|$ についての帰納法で、位数が奇数の有限群 $G$ が可解であることを示す。$|G|=1$ なら明らかである。$|G|>1$ とする。$G$ が単純群なら、3 により $G$ は可換であり、可換群は $G^{(1)}=\{e\}$ なので可解である。$G$ が単純でなければ、$\{e\}$ でも $G$ でもない正規部分群 $N$ がある。Lagrangeの定理により $|N|$ と $|G/N|=|G|/|N|$ はともに $|G|$ の約数なので奇数で、$|G|$ より小さい。帰納法の仮定により $N$ と $G/N$ は可解であり、拡大で可解性が保たれるので $G$ も可解である。$\square$
条件 3 の形で、thm-ft-main は「可換でない有限単純群は位数 $2$ の元をもつ」と言い換えられる。
可換でない有限単純群は位数 $2$ の元をもつ。
thm-ft-main と prop-ft-equivalent の 1 ⇒ 3 により位数は偶数なので、Cauchy の定理（有限群 の定理「Cauchyの定理」）により位数 $2$ の元がある。$\square$
この系により、対合 $t$ の中心化群 $C_G(t)$ を手がかりに単純群を調べる方法が、すべての可換でない有限単純群に使えるようになる。たとえば Brauer–Fowler の定理は、偶数位数の有限単純群 $G$ の対合 $t$ について $|C_G(t)|=c$ なら $|G|\leq(c^2)!$ であることを述べ、中心化群を与えれば単純群の候補が有限個に限られることを示す（Sol01 p. 324。この記事では証明しない）。
最小反例の形
証明は背理法で行われる。反例があるとして、位数が最小の反例がどんな群でなければならないかを、まず初等的に絞る。
位数が奇数で可解でない有限群が存在すると仮定し、そのうち位数が最小のものを $G$ とする。このとき $G$ は可換でない単純群であり、$G$ の真部分群はすべて可解である。
$H\subsetneq G$ を真部分群とすると、$|H|$ は $|G|$ を割るので奇数で、$|H|<|G|$ である。$G$ の最小性により $H$ は可解である。
$N$ を $\{e\}$ でも $G$ でもない $G$ の正規部分群とすると、上と同じ理由で $N$ は可解であり、$G/N$ も位数が $|G|$ の約数で奇数、かつ $|G|$ より小さいので可解である。拡大で可解性が保たれるので $G$ は可解になり、仮定に反する。よって $G$ は単純群である（$G\neq\{e\}$ は可解でないことから従う）。$G$ が可換なら可解なので、$G$ は可換でない。$\square$
真部分群がすべて可解な可換でない単純群を、FT63 は極小単純群（minimal simple group）と呼ぶ（Chapter IV の冒頭、p. 845）。論文の残りは、位数が奇数の極小単純群が存在しないことの証明である。
位数は 4 で割り切れる
Feit–Thompson の定理と次の初等的な命題を組み合わせると、可換でない有限単純群の位数についてもう一段強いことが言える。
有限群 $G$ の Sylow $2$-部分群 $P$ が $\{e\}$ でない巡回群であるとする。このとき $G$ は指数 $2$ の正規部分群をもつ。とくに位数 $2m$（$m$ は奇数）の群は指数 $2$ の正規部分群をもつ。
$g\in G$ に左からの積 $\lambda_g\colon G\to G$、$\lambda_g(x)=gx$ を対応させると、単射な準同型 $\lambda\colon G\to\operatorname{Sym}(G)$ が得られる（有限群 の定理「Cayleyの定理（有限群の場合）」）。$G$ の元に番号を付けて $\operatorname{Sym}(G)$ を $|G|$ 次の対称群とみなし、符号との合成 $\varepsilon:=\operatorname{sgn}\circ\lambda\colon G\to\{\pm1\}$ を考える。
$|G|=2^km$（$k\geq1$、$m$ は奇数）とし、$P$ の生成元を $t$ とする。$t$ の位数は $2^k$ である。$\langle t\rangle$ は $G$ に左からの積で作用し、$t^ix=x$ なら $t^i=e$ なので、この作用の軌道 $\langle t\rangle x=\{x,tx,\dots,t^{2^k-1}x\}$ はどれもちょうど $2^k$ 個の元からなる。軌道は $|G|/2^k=m$ 個あり、$\lambda_t$ は各軌道を長さ $2^k$ の巡回置換 $(x\ tx\ \cdots\ t^{2^k-1}x)$ として動かす。すなわち $\lambda_t$ は互いに素な長さ $2^k$ の巡回置換 $m$ 個の積である。長さ $L$ の巡回置換は $L-1$ 個の互換の積なので、$L=2^k$ が偶数なら奇置換であり、$\operatorname{sgn}(\lambda_t)=(-1)^m=-1$ である。よって $\varepsilon$ は全射であり、準同型定理により $\ker\varepsilon$ は指数 $2$ の正規部分群である。
$|G|=2m$（$m$ は奇数）のときは Sylow $2$-部分群の位数が $2$ なので巡回群であり、前半から後半が従う。$\square$
可換でない有限単純群の Sylow $2$-部分群は $\{e\}$ でなく、巡回群でない。とくに可換でない有限単純群の位数は $4$ で割り切れる。
$G$ を可換でない有限単純群とし、$P$ をその Sylow $2$-部分群とする。thm-ft-main と prop-ft-equivalent により $|G|$ は偶数なので、$P\neq\{e\}$ である。$P$ が巡回群なら、prop-ft-cyclic-sylow-two により指数 $2$ の正規部分群 $N$ がある。単純性から $N=\{e\}$ であり、$|G|=2$ となって $G$ は可換になり矛盾する。よって $P$ は巡回群でない。位数 $2$ の群は巡回群なので $|P|\geq4$ であり、$|G|$ は $4$ で割り切れる。$\square$
$A_5$ の位数 $60=4\cdot15$ はこの系と合い、$A_5$ の Sylow $2$-部分群 $\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ は Klein の四元群で巡回群でない。prop-ft-cyclic-sylow-two は Feit–Thompson の定理を使わずに示せるが、系の「$\{e\}$ でない」の部分、すなわち位数が奇数の場合を除くには定理が必要である。
応用：補群の共役性
有限群 $G$ の正規部分群 $N$ について、部分群 $H$ が $G=NH$、$N\cap H=\{e\}$ を満たすとき、$H$ を $N$ の補群という。
有限群 $G$ の正規部分群 $N$ について、$|N|$ と $|G/N|$ が互いに素であるとする。このとき $N$ の補群が存在する。さらに $N$ か $G/N$ の少なくとも一方が可解群なら、$N$ の補群はすべて $G$ の中で互いに共役である。
有限群 $G$ の正規部分群 $N$ について、$|N|$ と $|G/N|$ が互いに素なら、$N$ の補群はすべて $G$ の中で互いに共役である。
$|N|$ と $|G/N|$ がともに偶数なら $2$ が両者を割り、互いに素であることに反する。よって一方は奇数であり、thm-ft-main によりその群は可解である。thm-ft-schur-zassenhaus の後半により補群はすべて共役である。$\square$
この系の証明では、Feit–Thompson の定理を「互いに素な 2 つの整数の一方は奇数」という自明な事実と組み合わせただけである。見かけは単純な共役性の主張が、このように奇数位数の群の深い構造定理に支えられている。
位数が奇数の群の特徴
位数が奇数の群と偶数の群の違いは、元とその逆元の関係にも現れる。
$G$ を位数が奇数の有限群とし、$x\in G$ とする。$x$ が $x^{-1}$ と共役なら $x=e$ である。
$gxg^{-1}=x^{-1}$ となる $g\in G$ をとる。両辺を $g$ で共役すると $g^2xg^{-2}=gx^{-1}g^{-1}=(gxg^{-1})^{-1}=x$ なので、$g^2$ は $x$ と可換である。$g$ の位数 $n$ は $|G|$ を割るので奇数であり、$g=g^{n+1}=(g^2)^{(n+1)/2}$ だから $g$ も $x$ と可換である。よって $x^{-1}=gxg^{-1}=x$、すなわち $x^2=e$ である。$x$ の位数は $1$ か $2$ で $|G|$ を割るので $1$ であり、$x=e$ である。$\square$
偶数位数の群ではこれは成り立たない。たとえば $S_3$ で $(1\,2)(1\,2\,3)(1\,2)^{-1}=(1\,3\,2)=(1\,2\,3)^{-1}$ である。位数 $2$ の元 $t$ は $t=t^{-1}$ を満たすので、つねに自分の逆元と共役である。cor-ft-involution により、可換でない有限単純群には必ずこの種の元がある。
証明の構成と歴史
問題の起こり。 Burnside は 1900 年に、可換でない単純群の位数が奇数なら、その位数は少なくとも 7 個の素数の積であることを示した。さらに 1911 年には、奇数位数と偶数位数の群の結果の対比から、可換でない奇数位数の単純群は存在しないと考えざるを得ない、と述べた（Sol01 pp. 316–317）。位数が奇数の有限群はすべて可解であるという予想は、Miller と Burnside の予想として知られていた（Sol01 p. 319）。
部分的な結果。 最初の突破口は、単位元以外の元の中心化群がすべて可換な群（CA 群）について、可換でない単純群で位数が奇数のものはないことを示した鈴木通夫（Michio Suzuki）の論文であった（1954 年投稿。Sol01 pp. 324–325）。Feit・Hall・Thompson はこれを中心化群が冪零な群（CN 群）に広げ、その後 Feit と Thompson が一般の場合に取り組んだ（Sol01 p. 328）。
証明の構成。 FT63 は 6 章からなり、第 1〜3 章は一般的な準備である。第 4 章は群論的な方法で、第 5 章は群の指標の理論を大きく使い、第 6 章は特別な形の生成元と関係式を調べる（FT63 p. 775）。第 4 章は、prop-ft-minimal-counterexample の形の位数が奇数の極小単純群があると仮定して、その極大部分群を 5 つの型に分けて調べるところから始まり、最終的にその存在から矛盾を導く（FT63 p. 845）。論文は 255 頁に及んだ（Sol01 p. 330、DF04 p. 104）。のちに局所的な解析は Bender と Glauberman、指標論と生成元・関係式の部分は Peterfalvi によって書き直された（Sol01 pp. 342–343）。
分類への影響。 cor-ft-involution により、可換でない有限単純群はつねに対合をもち、対合の中心化群から群を調べる方法がすべての場合に使える。また、Feit と Thompson が導入した局所的な方法は、その後の有限単純群の分類（有限単純群）の進め方に大きな影響を与えた（Sol01 p. 328）。
例と反例
$\mathbb{F}_7$ 上の写像 $f_{u,v}(x)=ux+v$（$u\in\{1,2,4\}$、$v\in\mathbb{F}_7$）の全体を $G$ とする。$\{1,2,4\}$ は $\mathbb{F}_7^\times$ の部分群（$2^3=8=1$）であり、$f_{u,v}\circ f_{u',v'}=f_{uu',uv'+v}$、$f_{u,v}^{-1}=f_{u^{-1},-u^{-1}v}$ なので、$G$ は合成について位数 $21$ の群である。
- 平行移動 $T:=\{f_{1,v}\}$ は準同型 $f_{u,v}\mapsto u$ の核なので正規部分群で、$T\cong\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$、$G/T\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ である。よって $G$ は可解である。
- $f_{2,0}\circ f_{1,1}=f_{2,2}$、$f_{1,1}\circ f_{2,0}=f_{2,1}$ なので $G$ は可換でない。
- $f_{u,v}$ が中心に属するとする。$f_{1,1}$ との可換性 $f_{u,u+v}=f_{u,1+v}$ から $u=1$、次に $f_{2,0}$ との可換性 $f_{2,v}=f_{2,2v}$ から $v=0$ である。よって中心は自明である。自明でない有限冪零群の中心は自明でない（Burnsideのp^a q^b定理 の例「冪零群にはならない」）ので、$G$ は冪零でない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 位数が奇数（thm-ft-main） | $A_5$（位数 $60$） | 可解であること |
| 結論を「可換」に強める | ex-ft-order-21 の群（位数 $21$） | 可換であること |
| 結論を「冪零」に強める | ex-ft-order-21 の群 | 冪零であること |
| 逆向きの含意（可解なら位数は奇数） | $S_3$（位数 $6$） | 位数が奇数であること |
| 可換でない（cor-ft-divisible-by-four） | $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ | 位数が $4$ で割り切れること |
| 単純（cor-ft-divisible-by-four） | $S_3$ | 位数が $4$ で割り切れること |
| 位数が奇数（prop-ft-real-elements） | $S_3$ と $x=(1\,2\,3)$ | $x$ が逆元と共役なら $x=e$ |
1 行目：$A_5$ は可換でない単純群で可解でない（単純群 の命題「5 次の交代群は単純」）。4 行目：$S_3$ は $A_3\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ と $S_3/A_3\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ から可解である。6 行目：$S_3$ は可換でないが単純でなく、位数 $6=2\cdot3$ で Sylow $2$-部分群は巡回群であり、prop-ft-cyclic-sylow-two の指数 $2$ の正規部分群は $A_3$ である。
関連項目
参考文献
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