相関係数（高校数学）

同義語：correlation coefficient (high school mathematics)

概要

高校での出発点：共分散と相関係数

2 つの変量の組 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$ を考える。平均値を $\bar x,\bar y$、標準偏差を $s_x,s_y$ とする。高校では、2 つの変量の関係の強さを表す量として次の 2 つを習う。

共分散：偏差の積の平均 $s_{xy}:=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$。
相関係数：$s_x>0$、$s_y>0$ のとき $r:=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}$。
そして「$-1\le r\le1$ であり、$r$ が $1$ に近いほど正の相関が強い」と習う。まず計算してみる。

相関係数を計算する

$\boldsymbol x=(1,2,3,4,5)$、$\boldsymbol y=(1,3,2,5,4)$ とする。$\bar x=\bar y=3$ である。

$i$	1	2	3	4	5
$x_i-\bar x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y_i-\bar y$	$-2$	$0$	$-1$	$2$	$1$
積	$4$	$0$	$0$	$2$	$2$

$s_x^2=\frac{4+1+0+1+4}5=2$、$s_y^2=\frac{4+0+1+4+1}5=2$。
$s_{xy}=\frac{4+0+0+2+2}5=\frac85$。
$r=\frac{8/5}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{8/5}2=\frac45=0.8$。

1 次式の関係にあるデータ

$\boldsymbol x=(1,2,3)$、$\boldsymbol y=(2,4,6)$（$y_i=2x_i$）では、偏差は $(-1,0,1)$ と $(-2,0,2)$ である。$s_x^2=\frac23$、$s_y^2=\frac83$、$s_{xy}=\frac{2+0+2}3=\frac43$ なので、$r=\frac{4/3}{\sqrt{2/3}\sqrt{8/3}}=\frac{4/3}{4/3}=1$ である。
$\boldsymbol y=(5,3,1)$（$y_i=7-2x_i$）では、$y$ の偏差は $(2,0,-2)$ で、$s_{xy}=\frac{-2+0-2}3=-\frac43$ なので $r=-1$ である。

図1：散布図と相関係数。左から r = 0.8、y = 2x（r = 1）、y = 7 − 2x（r = −1）、y = x²（r = 0）。破線は平均値の位置。
ここで次の問いが生じる。

$-1\le r\le1$ は、なぜ成り立つのか。→ thm-crr-cs、cor-crr-range
$r=1$ や $r=-1$ になるのは、どんなときか。→ cor-crr-range

$r$ には図形的な意味があるか。→ rem-crr-angle
答えの鍵は、データ全体を 1 本のベクトルとみることである。

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
偏差 $x_i-\bar x$ を並べたもの	偏差ベクトル $\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1$	$\mathbb{R}^n$ のベクトル
分散 $s_x^2$	偏差ベクトルの長さの 2 乗	ノルムの 2 乗
共分散 $s_{xy}$	2 つの偏差ベクトルの内積	内積
相関係数 $r$	2 つの偏差ベクトルのなす角の余弦	角の余弦
$-1\le r\le1$	thm-crr-cs	Cauchy–Schwarz の不等式
分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$	prop-crr-projection	正射影とピタゴラスの定理

データをベクトルとみる

データベクトルの内積

$n$ 個のデータ $x_1,\dots,x_n$ を、$\mathbb{R}^n$ のベクトル $\boldsymbol x=(x_1,\dots,x_n)$ とみる。2 つのベクトル $\boldsymbol x,\boldsymbol y$ に対して
$$ \langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle:=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_i,\qquad\|\boldsymbol x\|:=\sqrt{\langle\boldsymbol x,\boldsymbol x\rangle} $$
と定め、$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle$ を内積、$\|\boldsymbol x\|$ を長さという。すべての成分が $1$ のベクトルを $\boldsymbol 1:=(1,\dots,1)$ と書く。$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle=0$ のとき、$\boldsymbol x$ と $\boldsymbol y$ は直交するという。

これは、高校で習う内積（成分の積の和）を $\frac1n$ 倍したものである。$\frac1n$ を掛けておくと、平均値が $\bar x=\langle\boldsymbol x,\boldsymbol 1\rangle$ と書け、$\|\boldsymbol 1\|=1$ となる。この内積は、高校の内積と同じ次の性質をもつ。

対称性：$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle=\langle\boldsymbol y,\boldsymbol x\rangle$。
線形性：実数 $c,d$ について $\langle c\boldsymbol x+d\boldsymbol z,\boldsymbol y\rangle=c\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle+d\langle\boldsymbol z,\boldsymbol y\rangle$（和の各項を分ければよい）。
正定値性：$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol x\rangle=\frac1n\sum x_i^2\ge0$ であり、$0$ になるのはすべての $x_i$ が $0$、すなわち $\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ のときに限る。

内積と長さを計算する

$n=2$、$\boldsymbol x=(1,3)$：$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol 1\rangle=\frac{1+3}2=2=\bar x$、$\|\boldsymbol x\|^2=\frac{1+9}2=5$、$\|\boldsymbol 1\|^2=\frac{1+1}2=1$。
$n=5$、$\boldsymbol x=(1,2,3,4,10)$：$\|\boldsymbol x\|^2=\frac{1+4+9+16+100}5=26$ で、これは $x_i^2$ の平均 $\overline{x^2}$ である。

分散・共分散・相関係数のベクトル表示

偏差ベクトルを $\boldsymbol u:=\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1=(x_1-\bar x,\dots,x_n-\bar x)$、$\boldsymbol v:=\boldsymbol y-\bar y\boldsymbol 1$ とすると
$$ s_x^2=\|\boldsymbol u\|^2,\qquad s_y^2=\|\boldsymbol v\|^2,\qquad s_{xy}=\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle $$
である。したがって $s_x,s_y>0$ のとき $r=\frac{\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle}{\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|}$ である。

定義を書き並べる

$\boldsymbol u$ の第 $i$ 成分は $x_i-\bar x$ なので、内積の定義から $\|\boldsymbol u\|^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$ であり、これは分散 $s_x^2$ の定義そのものである。$s_y^2$ も同じである。$\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ は共分散 $s_{xy}$ の定義そのものである。$s_x=\|\boldsymbol u\|$、$s_y=\|\boldsymbol v\|$ を $r$ の定義に代入すれば最後の式を得る。$\square$

偏差ベクトルには、次の図形的な性質がある。

偏差ベクトルは定数ベクトルと直交する

$\langle\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1,\ \boldsymbol 1\rangle=0$ である。さらに
$$ \|\boldsymbol x\|^2=\|\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1\|^2+\|\bar x\boldsymbol 1\|^2 $$
が成り立つ。これは $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$ を書き直したものである。

内積の性質で計算する

段 1。線形性により $\langle\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1,\boldsymbol 1\rangle=\langle\boldsymbol x,\boldsymbol 1\rangle-\bar x\langle\boldsymbol 1,\boldsymbol 1\rangle$ である。$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol 1\rangle=\bar x$、$\langle\boldsymbol 1,\boldsymbol 1\rangle=1$ なので、これは $\bar x-\bar x=0$ である。
段 2。$\boldsymbol a:=\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1$、$\boldsymbol b:=\bar x\boldsymbol 1$ とおくと $\boldsymbol x=\boldsymbol a+\boldsymbol b$ である。線形性と対称性で展開すると
$$ \|\boldsymbol x\|^2=\langle\boldsymbol a+\boldsymbol b,\boldsymbol a+\boldsymbol b\rangle=\|\boldsymbol a\|^2+2\langle\boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle+\|\boldsymbol b\|^2 $$
である。段 1 から $\langle\boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle=\bar x\langle\boldsymbol a,\boldsymbol 1\rangle=0$ なので、真ん中の項は消える。
段 3。$\|\boldsymbol x\|^2=\overline{x^2}$、$\|\boldsymbol a\|^2=s^2$、$\|\boldsymbol b\|^2=\bar x^2\|\boldsymbol 1\|^2=\bar x^2$ なので、段 2 の式は $\overline{x^2}=s^2+\bar x^2$ である。$\square$

$\bar x\boldsymbol 1$ は、定数ベクトルの直線 $\{a\boldsymbol 1 : a\in\mathbb{R}\}$ の上で $\boldsymbol x$ に最も近い点（正射影）である。平均値と二乗誤差の記事で示した「平均値はずれの 2 乗の和を最小にする」は、この直角三角形の性質を言い換えたものである。

2 次元で見る

$n=2$、$\boldsymbol x=(1,3)$ では $\bar x=2$ で、偏差ベクトルは $(1,3)-(2,2)=(-1,1)$ である。

直交：$\langle(-1,1),(1,1)\rangle=\frac{-1+1}2=0$。
ピタゴラス：$\|\boldsymbol x\|^2=5$、$\|(-1,1)\|^2=\frac{1+1}2=1$、$\|(2,2)\|^2=\frac{4+4}2=4$ で、$5=1+4$。
これは分散 $s^2=1$ と $\overline{x^2}-\bar x^2=5-4=1$ の一致である。

図2：x = (1, 3) を、定数方向の成分 (2, 2) と偏差 (−1, 1) に分ける。2 つは直交し、直角三角形ができる。
関数の値の積を積分して関数どうしの内積を定める話は積分で定める内積で扱う。

主定理：Cauchy–Schwarz の不等式

Cauchy–Schwarz の不等式

すべての $\boldsymbol u,\boldsymbol v\in\mathbb{R}^n$ について
$$ |\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle|\le\|\boldsymbol u\|\,\|\boldsymbol v\| $$
が成り立つ。$\boldsymbol v\ne\boldsymbol 0$ のとき、等号が成り立つのは $\boldsymbol u=t\boldsymbol v$ となる実数 $t$ があるときであり、そのときに限る。

2 次関数の判別式を使う

方針：$t$ の関数 $f(t):=\|\boldsymbol u-t\boldsymbol v\|^2$ は $0$ 以上の値しかとらない 2 次関数なので、判別式が $0$ 以下になる。
段 1（$\boldsymbol v=\boldsymbol 0$ の場合）。$\langle\boldsymbol u,\boldsymbol 0\rangle=\frac1n\sum u_i\cdot0=0$、$\|\boldsymbol 0\|=0$ なので、両辺とも $0$ で不等式は成り立つ。以下 $\boldsymbol v\ne\boldsymbol 0$ とする。正定値性により $\|\boldsymbol v\|^2>0$ である。
段 2（展開）。線形性と対称性で展開すると
$$ f(t)=\langle\boldsymbol u-t\boldsymbol v,\boldsymbol u-t\boldsymbol v\rangle=\|\boldsymbol v\|^2t^2-2\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle t+\|\boldsymbol u\|^2 $$
である。$t^2$ の係数 $\|\boldsymbol v\|^2$ は正なので、$f$ は下に凸な 2 次関数である。
段 3（判別式）。正定値性により、すべての実数 $t$ で $f(t)\ge0$ である。もし判別式が正なら、$f(t)=0$ は異なる 2 つの実数解をもち、その間で $f(t)<0$ となってしまう。よって判別式は $0$ 以下である。$f(t)=at^2+2b't+c$ の形で $a=\|\boldsymbol v\|^2$、$b'=-\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle$、$c=\|\boldsymbol u\|^2$ なので、判別式の $\frac14$ は $b'^2-ac$ であり
$$ \langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle^2-\|\boldsymbol u\|^2\|\boldsymbol v\|^2\le0 $$
である。
段 4（平方根）。$\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle^2\le\bigl(\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|\bigr)^2$ で、両辺の平方根をとると（右辺の $\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|$ は $0$ 以上）$|\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle|\le\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|$ を得る。
段 5（等号）。等号が成り立つとすると判別式は $0$ で、$f$ は $t_0:=\frac{\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle}{\|\boldsymbol v\|^2}$（頂点）で $f(t_0)=0$ となる。$\|\boldsymbol u-t_0\boldsymbol v\|^2=0$ なので、正定値性により $\boldsymbol u=t_0\boldsymbol v$ である。逆に $\boldsymbol u=t\boldsymbol v$ なら、$|\langle t\boldsymbol v,\boldsymbol v\rangle|=|t|\|\boldsymbol v\|^2$、$\|t\boldsymbol v\|\|\boldsymbol v\|=|t|\|\boldsymbol v\|\cdot\|\boldsymbol v\|$ で、等号が成り立つ。$\square$

Cauchy–Schwarz の不等式を数値で確かめる

$n=2$、$\boldsymbol u=(1,2)$、$\boldsymbol v=(3,1)$：$\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle=\frac{3+2}2=\frac52$、$\|\boldsymbol u\|^2=\frac52$、$\|\boldsymbol v\|^2=5$。$\bigl(\frac52\bigr)^2=\frac{25}4\le\frac52\cdot5=\frac{25}2$ で、等号ではない（$\boldsymbol u$ は $\boldsymbol v$ の実数倍でない）。
$n=2$、$\boldsymbol u=(2,4)$、$\boldsymbol v=(1,2)$：$\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle=\frac{2+8}2=5$、$\|\boldsymbol u\|^2=10$、$\|\boldsymbol v\|^2=\frac52$。$5^2=25=10\cdot\frac52$ で等号（$\boldsymbol u=2\boldsymbol v$）。
ex-crr-first の偏差ベクトル $\boldsymbol v=(-2,-1,0,1,2)$、$\boldsymbol u=(-2,0,-1,2,1)$ では、$f(t)=\|\boldsymbol u-t\boldsymbol v\|^2=2t^2-\frac{16}5t+2$ で、判別式の $\frac14$ は $\bigl(\frac85\bigr)^2-2\cdot2=\frac{64}{25}-4=-\frac{36}{25}<0$ である。

相関係数の範囲

$s_x>0$、$s_y>0$ とする。$-1\le r\le1$ である。さらに、$r=1$ となるのは、実数 $\alpha$ と正の実数 $\beta$ があってすべての $i$ で $y_i=\alpha+\beta x_i$ となるときに限る。$r=-1$ となるのは、同じ式が負の $\beta$ で成り立つときに限る。

偏差ベクトルに定理を使う

段 1。$\boldsymbol u:=\boldsymbol y-\bar y\boldsymbol 1$、$\boldsymbol v:=\boldsymbol x-\bar x\boldsymbol 1$ とする。$\|\boldsymbol u\|=s_y>0$、$\|\boldsymbol v\|=s_x>0$ なので、どちらも $\boldsymbol 0$ でない。prop-crr-vector-form により $r=\frac{\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle}{\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|}$ である。
段 2。thm-crr-cs により $|\langle\boldsymbol u,\boldsymbol v\rangle|\le\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|$ なので、両辺を正の数 $\|\boldsymbol u\|\|\boldsymbol v\|$ で割って $|r|\le1$ を得る。
段 3（$|r|=1$ のとき）。$|r|=1$ は定理の等号なので、$\boldsymbol u=\beta\boldsymbol v$ となる実数 $\beta$ がある。$\boldsymbol u\ne\boldsymbol 0$ なので $\beta\ne0$ である。成分で書くと $y_i-\bar y=\beta(x_i-\bar x)$ で、$\alpha:=\bar y-\beta\bar x$ とおけば $y_i=\alpha+\beta x_i$ である。このとき
$$ r=\frac{\langle\beta\boldsymbol v,\boldsymbol v\rangle}{\|\beta\boldsymbol v\|\|\boldsymbol v\|}=\frac{\beta\|\boldsymbol v\|^2}{|\beta|\|\boldsymbol v\|^2}=\frac{\beta}{|\beta|} $$
で、$\beta>0$ なら $r=1$、$\beta<0$ なら $r=-1$ である。
段 4（逆）。すべての $i$ で $y_i=\alpha+\beta x_i$（$\beta\ne0$）とする。両辺の平均をとると $\bar y=\alpha+\beta\bar x$ なので、引き算して $y_i-\bar y=\beta(x_i-\bar x)$、すなわち $\boldsymbol u=\beta\boldsymbol v$ である。段 3 の計算から $r=\frac{\beta}{|\beta|}$ で、$\beta>0$ なら $1$、$\beta<0$ なら $-1$ である。$\square$

系を確かめる

ex-crr-linear の $\boldsymbol y=(2,4,6)$ は $\alpha=0$、$\beta=2>0$ の場合で $r=1$、$\boldsymbol y=(5,3,1)$ は $\alpha=7$、$\beta=-2<0$ の場合で $r=-1$ である。ex-crr-first の $\boldsymbol y=(1,3,2,5,4)$ は $\boldsymbol x$ の 1 次式ではない（偏差 $(-2,0,-1,2,1)$ は $(-2,-1,0,1,2)$ の実数倍でない）ので、$|r|<1$ であり、実際 $r=0.8$ である。

判別式を使う Cauchy–Schwarz の不等式の証明と等号の条件は Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学）で扱う。

角と変量の変換

相関係数は角の余弦

$-1\le r\le1$ なので、$r=\cos\theta$ となる角 $\theta$（$0\le\theta\le\pi$）がただ 1 つ定まる。これを 2 つの偏差ベクトルのなす角とみなすと、相関係数は角の余弦である。$r=1$ は同じ向き、$r=-1$ は逆向き、$r=0$ は直交を表す。高校の平面ベクトルで $\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$ としたのと同じ式である。

角を求める

ex-crr-first では $r=0.8$ なので、偏差ベクトルのなす角は $\theta=\arccos0.8=36.86\ldots^\circ$ である。ex-crr-linear の 2 つの場合は $\theta=0^\circ$ と $180^\circ$ である。

変量の変換と標準化

変量 $x$ を $x'_i=\alpha+\beta x_i$（$\beta\ne0$）に変換すると、cor-crr-range の証明の段 4 と同じ計算で偏差ベクトルは $\beta$ 倍になる。したがって

標準偏差は $|\beta|$ 倍：$s_{x'}=|\beta|s_x$。たとえば $\boldsymbol x=(1,2,3,4,5)$、$x'_i=10+2x_i$ では $s_{x'}^2=4\cdot2=8$。
相関係数は符号だけが $\beta$ の符号に合わせて変わる：$x'$ と $y$ の相関係数は、$\beta>0$ なら $r$、$\beta<0$ なら $-r$。ex-crr-first の $\boldsymbol y$ と $x'_i=10+2x_i$ の相関係数は $0.8$ のままである。
各変量を $z_i=\frac{x_i-\bar x}{s_x}$ と標準化すると、偏差ベクトルは長さ $1$ のベクトルに縮む。2 つの変量をそれぞれ標準化したベクトルを $\boldsymbol z_x,\boldsymbol z_y$ とすると、$r=\langle\boldsymbol z_x,\boldsymbol z_y\rangle$ である。

例と反例

外した仮定	崩れる主張	ボックス
関係が 1 次式である	$r=0$ なら 2 つの変量に関係がない	ex-crr-uncorrelated
$\vert r\vert=1$ ちょうど	$r$ が $1$ に近ければ 1 次式の関係がある	ex-crr-nearly-one
$s_x>0$	相関係数が定義できる	ex-crr-constant

反例：無相関でも無関係とは限らない

$\boldsymbol x=(-2,-1,0,1,2)$、$\boldsymbol y=(4,1,0,1,4)$ とすると、すべての $i$ で $y_i=x_i^2$ であり、$y$ は $x$ で完全に決まる。しかし $\bar x=0$、$\bar y=2$ で、偏差は $(-2,-1,0,1,2)$ と $(2,-1,-2,-1,2)$ なので
$$ s_{xy}=\frac{-4+1+0-1+4}5=0 $$
であり、$r=0$ である。このデータは「$r=0$ ならば 2 つの変量の間に関係はない」という含意を破る。cor-crr-range が示すのは $|r|=1$ と 1 次式の関係の同値だけであり、相関係数が測るのは直線的な関係の強さである（図 1 の右端）。

反例：r が 1 に近くても 1 次式とは限らない

$\boldsymbol x=(1,2,3,4,5)$、$\boldsymbol y=(1,4,9,16,25)$（$y_i=x_i^2$）とする。$\bar y=11$ で、$y$ の偏差は $(-10,-7,-2,5,14)$ である。

$s_{xy}=\frac{20+7+0+5+28}5=12$、$s_x^2=2$、$s_y^2=\frac{100+49+4+25+196}5=\frac{374}5$。
$r=\frac{12}{\sqrt{2\cdot374/5}}=\frac{12}{\sqrt{149.6}}=0.981\ldots$。
$r$ は $1$ に非常に近いが、$y$ は $x$ の 1 次式ではない。「$r$ が $1$ に近いなら 1 次式の関係がある」という主張は、$|r|=1$ ちょうどという条件を外すと成り立たない。

反例：散らばりが 0 だと定義できない

$\boldsymbol x=(2,2,2)$、$\boldsymbol y=(1,2,3)$ では、$x$ の偏差ベクトルは $\boldsymbol 0$ で $s_x=0$、$s_{xy}=0$ である。$r=\frac00$ となり、相関係数は定義できない。Cauchy–Schwarz の不等式は $0\le0$ として成り立っているが、角を定める式は意味を失う。長さ $0$ のベクトルには向きがないからである。

さらに先へ

定数の直線 $\{a\boldsymbol 1\}$ の代わりに、$\{\alpha\boldsymbol 1+\beta\boldsymbol x\}$ という平面へ $\boldsymbol y$ を正射影すると、ずれの 2 乗の和を最小にする直線（回帰直線）が得られる（最小二乗法。ここでは証明しない）。
確率変数 $X,Y$ でも、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$ を内積とみると、同じ Cauchy–Schwarz の不等式が成り立つ。「どの 2 つも無相関な確率変数の平均はばらつきが減る」ことを直交するベクトルの和として見る話は、標本平均の分散で扱う。確率変数でも、無相関は独立を意味しない（同じ記事の例で示す）。
一般に、内積をもつベクトル空間（内積空間）では、同じ判別式の議論で Cauchy–Schwarz の不等式が成り立つ。数列版の不等式との関係は判別式で示す不等式とCauchy–Schwarzの不等式を参照。
確率変数 $X,Y$ の相関係数 $\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$ など、大学数学の用語としての相関係数については相関係数を参照。