導来Hom
概要
導来Hom（derived Hom）とは、十分な入射対象をもつアーベル圏 $\mathcal A$ の複体 $X$ と下に有界な複体 $Y$ に対し、$Y$ を入射対象からなる下に有界な複体 $I$ に擬同型で取り替えて作る Hom 複体 $R\operatorname{Hom}(X,Y)=\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)$ である。$I$ の選び方によらず、$H^n(R\operatorname{Hom}(X,Y))\cong\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(X,Y[n])$ が成り立ち、$X$ は有界でなくてよい。$X,Y$ が $\mathcal A$ の対象なら通常の $\operatorname{Ext}^n(X,Y)$ と一致し、Ext 群を導来圏の射として扱う基本の道具になる。
2 つの加群の間の $\operatorname{Hom}$ は左完全でしかなく、失われた情報は Ext関手 $\operatorname{Ext}^n$ が記録する。導来 Hom $R\operatorname{Hom}(X,Y)$ は、これらの群を 1 つの複体にまとめたものであり、複体 $X,Y$ に対して定義される。作り方は単純で、2 つの複体の間の「Hom 複体」を、第 2 変数を入射対象の複体に取り替えてから計算する。
この記事では Hom 複体を定義し、そのコホモロジーがホモトピー圏の射であることを確かめる。次に、入射対象からなる下に有界な複体への射が導来圏とホモトピー圏で同じになることを証明し、それを使って $H^n(R\operatorname{Hom}(X,Y))\cong\operatorname{Hom}_{D}(X,Y[n])$ を示す。とくに加群 $A,B$ では $\operatorname{Hom}_{D}(A,B[n])$ が通常の $\operatorname{Ext}^n(A,B)$ と一致する。第 1 変数は有界でなくてよい。最後に、第 2 変数の取り替えや有界性を外すと成り立たなくなる例を挙げる。
定義
以下 $\mathcal A$ はアーベル圏で、複体は上付き添字 $X=(X^n,d_X^n\colon X^n\to X^{n+1})$ で書く（三角関手と導来関手の再定式化と同じ規約。導来圏の記事のホモロジー的添字とは $X_n=X^{-n}$ で移り合う）。移動を $(X[n])^p:=X^{p+n}$、$d_{X[n]}:=(-1)^nd_X$ と定める。$X[1]$ は導来圏・三角圏の記事の $\Sigma X$ にあたる。$K(\mathcal A)$ はホモトピー圏、$D(\mathcal A)$ は導来圏、$K^+(\mathcal A)$、$D^+(\mathcal A)$ は $n\ll0$ で $X^n=0$ となる複体からなるもの、$Q\colon K(\mathcal A)\to D(\mathcal A)$ は局所化関手である。
複体 $X,Y$ に対し、アーベル群の複体 $\operatorname{Hom}^\bullet(X,Y)$ を
$$
\operatorname{Hom}^n(X,Y):=\prod_{p\in\mathbb Z}\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X^p,Y^{p+n}),\qquad(df)^p:=d_Y^{p+n}\circ f^p-(-1)^nf^{p+1}\circ d_X^p
$$
で定める（$f=(f^p)_p\in\operatorname{Hom}^n(X,Y)$）。$d\circ d=0$ は定義から直接確かめられる。
$Z^n\operatorname{Hom}^\bullet(X,Y)$ は鎖写像 $X\to Y[n]$ の全体と一致し、$B^n\operatorname{Hom}^\bullet(X,Y)$ はそのうち鎖ホモトピックに零なものの全体と一致する。したがって
$$
H^n\operatorname{Hom}^\bullet(X,Y)=\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(X,Y[n]).
$$
$df=0$ は $(-1)^nd_Yf^p=f^{p+1}d_X$、すなわち $d_{Y[n]}\circ f=f\circ d_X$ であり、$f$ が鎖写像 $X\to Y[n]$ であることと同じである。$h\in\operatorname{Hom}^{n-1}(X,Y)$ について $(dh)^p=d_Yh^p+(-1)^nh^{p+1}d_X$ である。一方、$f\colon X\to Y[n]$ が鎖ホモトピックに零とは、$k^p\colon X^p\to Y^{p+n-1}$ で $f^p=d_{Y[n]}k^p+k^{p+1}d_X=(-1)^nd_Yk^p+k^{p+1}d_X$ となることである。$k=(-1)^nh$ と置き換えれば両者は一致する。$\blacksquare$
$\mathcal A$ は十分な入射対象をもつとする。$X\in K(\mathcal A)$ と $Y\in K^+(\mathcal A)$ に対し、擬同型 $s\colon Y\to I$ で $I$ が入射対象からなる下に有界な複体であるものを選び（厚い部分圏の記事の補題「部分圏の入射対象による分解」で $\mathcal A'=\mathcal A$ とする）、
$$
R\operatorname{Hom}(X,Y):=\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)\in D(\mathbf{Ab})
$$
とおく。これを $X$ と $Y$ の導来 Hom（derived Hom）という。また $\operatorname{Ext}^n(X,Y):=\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(X,Y[n])$ を超 Ext 群（hyperext）という。
$R\operatorname{Hom}(X,Y)$ が $I$ の選び方によらないことは thm-rhom-ext で示す。$\mathcal A$ が可換環 $R$ 上の加群の圏なら、$\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)$ は $R$ 加群の複体であり、同じ構成で $R\operatorname{Hom}_R(X,Y)\in D(R\text{-}\mathbf{Mod})$ が得られる。
入射対象の複体への射
$I$ を入射対象からなる下に有界な複体とし、$X$ を完全な複体（すべての $n$ で $H^n(X)=0$）とする。$X$ は有界でなくてよい。このとき鎖写像 $f\colon X\to I$ はすべて鎖ホモトピックに零である。したがって $\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)$ は完全である。
$q< q_0$ で $I^q=0$ とする。$h^p\colon X^p\to I^{p-1}$ で
$$
f^{p-1}=d_Ih^{p-1}+h^pd_X^{p-1}\qquad(\ast)_p
$$
をみたすものを $p$ について帰納的に作る。$p\le q_0$ では $h^p:=0$ とおけば、$(\ast)_p$ の両辺は $I^{p-1}=0$ への射なので成り立つ。$h^{q}$（$q\le p$）まで作り、$(\ast)_p$ が成り立つとする。$g:=f^p-d_Ih^p\colon X^p\to I^p$ とおくと、$f$ が鎖写像であることと $(\ast)_p$ から
$$
g\circ d_X^{p-1}=f^pd_X^{p-1}-d_I(f^{p-1}-d_Ih^{p-1})=f^pd_X^{p-1}-d_If^{p-1}=0
$$
である。$X$ は完全なので $\operatorname{im}d_X^{p-1}=\ker d_X^p$ であり、$g$ は $X^p/\ker d_X^p\cong\operatorname{im}d_X^p\subset X^{p+1}$ を経由する。$I^p$ は入射対象なので、この射は $X^{p+1}$ 全体へ延び、$h^{p+1}\colon X^{p+1}\to I^p$ で $h^{p+1}d_X^p=g$ をみたすものが得られる。これは $(\ast)_{p+1}$ にほかならない。こうして $f$ は鎖ホモトピックに零である。後半は、$I[n]$ も同じ条件をみたすので、prop-rhom-cycles によりすべての $H^n\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)=\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(X,I[n])$ が $0$ になることによる。$\blacksquare$
$I$ を入射対象からなる下に有界な複体とする。任意の複体 $X$ について、
$$
\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(X,I)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(X,I),\qquad g\mapsto Q(g)
$$
は全単射である。さらに、擬同型 $t\colon X'\to X$ に対し、$t^\ast\colon\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(X,I)\to\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(X',I)$ は全単射である。
後半から示す。$t$ の写像錐 $C$ は完全である（Wei94 Corollary 1.5.4、p. 19）。$K(\mathcal A)$ の完全三角形 $X'\xrightarrow{t}X\to C\to X'[1]$ に反変関手 $\operatorname{Hom}_{K(\mathcal A)}(-,I)$ を当てると、三角圏の記事の命題「反変な $\operatorname{Hom}$ の完全性」を回転した三角形にも当てて、完全列
$$
\operatorname{Hom}_K(C,I)\to\operatorname{Hom}_K(X,I)\xrightarrow{t^\ast}\operatorname{Hom}_K(X',I)\to\operatorname{Hom}_K(C[-1],I)
$$
を得る。$\operatorname{Hom}_K(C[k],I)=\operatorname{Hom}_K(C,I[-k])=H^{-k}\operatorname{Hom}^\bullet(C,I)$ は lem-rhom-acyclic により $0$ なので、$t^\ast$ は全単射である。
前半。圏の局所化の記事の定理「Gabriel–Zisman の定理」により、$D(\mathcal A)$ の射は $Q(f)Q(t)^{-1}$（$t\colon X'\to X$ は擬同型、$f\colon X'\to I$）と書ける。後半により $f=g\circ t$ となる $g\colon X\to I$ があり、$Q(f)Q(t)^{-1}=Q(g)$ である。よって全射である。$Q(g)=Q(g')$ なら、同記事の系「2 つの射が局所化で等しくなる条件」により擬同型 $t$ で $g\circ t=g'\circ t$（$K(\mathcal A)$ で）となるものがあり、$t^\ast$ の単射性から $g=g'$ である。$\blacksquare$
この命題は Wei94 Corollary 10.4.7（p. 388）にあたる（同書は右分数で証明している）。$X$ が下に有界な複体に限られないことが、第 1 変数を有界にしなくてよい理由である。
Ext との一致
$\mathcal A$ は十分な入射対象をもつとする。$X\in K(\mathcal A)$、$Y\in K^+(\mathcal A)$ とし、$s\colon Y\to I$ を def-rhom の擬同型とする。
(1) すべての $n\in\mathbb Z$ について自然な同型
$$
H^n(R\operatorname{Hom}(X,Y))\cong\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(X,Y[n])=\operatorname{Ext}^n(X,Y)
$$
がある。
(2) $R\operatorname{Hom}(X,Y)$ は $D(\mathbf{Ab})$ の対象として $s$ の選び方によらず、擬同型 $X'\to X$ はコホモロジーの同型 $H^n(R\operatorname{Hom}(X,Y))\to H^n(R\operatorname{Hom}(X',Y))$ を誘導する。
- prop-rhom-cycles、prop-rhom-k-equals-d（$I[n]$ も入射対象からなる下に有界な複体である）、$Q(s)$ が同型であることを順に使うと
$$ H^n\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)=\operatorname{Hom}_{K}(X,I[n])\cong\operatorname{Hom}_{D}(X,I[n])\cong\operatorname{Hom}_{D}(X,Y[n]) $$
となる。各段は $X$ について自然である。 - 別の選び方 $s'\colon Y\to I'$ をとる。prop-rhom-k-equals-d により $Q(s')Q(s)^{-1}\in\operatorname{Hom}_D(I,I')$ は鎖写像 $g\colon I\to I'$ の像 $Q(g)$ にただ一つの仕方で書け、$Q(g)$ は同型なので $g$ は擬同型である。$g$ との合成 $\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)\to\operatorname{Hom}^\bullet(X,I')$ は、(1) の同型を通すと $D$ で同型 $Q(g)[n]$ を合成する写像になるので、すべての $H^n$ で同型、すなわち擬同型である。第 1 変数については、擬同型 $t\colon X'\to X$ による $t^\ast$ が prop-rhom-k-equals-d の後半により $H^n\operatorname{Hom}^\bullet(X,I)=\operatorname{Hom}_K(X,I[n])$ の上で全単射になることによる。$\blacksquare$
- により $R\operatorname{Hom}$ は第 1 変数について $D(\mathcal A)$ 上の関手を定め、両変数について関手 $D(\mathcal A)^{\mathrm{op}}\times D^+(\mathcal A)\to D(\mathbf{Ab})$ になる（細部はこの記事では証明しない。Wei94 Theorem 10.7.4、p. 399）。(1) は Har66 第 I 章 Theorem 6.4（p. 66、Yoneda の定理）、Wei94 Theorem 10.7.4（pp. 399–400）にあたる。
$\mathcal A$ は十分な入射対象をもつとし、$A,B\in\mathcal A$ を次数 $0$ の複体とみなす。$0\to B\to I^0\to I^1\to\cdots$ を入射分解とすると、
$$
\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(A,B[n])\cong H^n\operatorname{Hom}^\bullet(A,I)=H^n(\operatorname{Hom}(A,I^0)\to\operatorname{Hom}(A,I^1)\to\cdots)
$$
であり、右辺は $n\ge0$ で通常の $\operatorname{Ext}^n(A,B)$、$n<0$ で $0$ である。
$B\to I$ は下に有界な入射対象の複体への擬同型なので、thm-rhom-ext の (1) をこの $I$ で計算すればよい。$\operatorname{Hom}^n(A,I)=\operatorname{Hom}(A,I^n)$ で、差分は $d_I$ との合成なので、右辺はExt関手の記事の定義そのものである。$n<0$ では $I^n=0$ である。$\blacksquare$
これにより、導来圏の記事の注意「正の次数と $\operatorname{Ext}$」で述べた同型 $\operatorname{Ext}^n(A,B)\cong\operatorname{Hom}_{D(\mathcal A)}(A,B[n])$ が得られる（Har66 第 I 章 Corollary 6.5、p. 66、Wei94 Corollary 10.7.5、p. 400）。
$D(\mathcal A)$ は三角圏なので、$\operatorname{Hom}_D(X,-)$ と $\operatorname{Hom}_D(-,Y)$ は完全三角形を長完全列に移す。複体の短完全列 $0\to X'\to X\to X''\to0$ は $D(\mathcal A)$ の完全三角形を与えるので（Wei94 Example 10.4.9、p. 389）、任意の複体 $V$ について
$$
\cdots\to\operatorname{Ext}^n(V,X')\to\operatorname{Ext}^n(V,X)\to\operatorname{Ext}^n(V,X'')\to\operatorname{Ext}^{n+1}(V,X')\to\cdots
$$
と、第 1 変数についての同様の長完全列が得られる（Har66 第 I 章 Proposition 6.1、p. 62）。
例
$\mathcal A=\mathbf{Ab}$、$n\ge1$ とする。$0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ は $\mathbb Z$ の入射分解なので（$\mathbb Q$ と $\mathbb Q/\mathbb Z$ は可除）、$R\operatorname{Hom}(\mathbb Z/n,\mathbb Z)$ は次数 $0,1$ に
$$
\operatorname{Hom}(\mathbb Z/n,\mathbb Q)=0\longrightarrow\operatorname{Hom}(\mathbb Z/n,\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\mathbb Z/n
$$
を置いた複体であり、$R\operatorname{Hom}(\mathbb Z/n,\mathbb Z)\cong(\mathbb Z/n)[-1]$ である。$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/n,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は $\frac1n\mathbb Z/\mathbb Z$ への射全体である。cor-rhom-usual-ext により $\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/n,\mathbb Z)\cong\mathbb Z/n$、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/n,\mathbb Z)=0$ であり、Ext関手の記事の命題「巡回群からの Ext」と一致する。第 1 変数側の長完全列を短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{n}\mathbb Z\to\mathbb Z/n\to0$ に当てても、$0\to\operatorname{Hom}(\mathbb Z,\mathbb Z)\xrightarrow{n}\operatorname{Hom}(\mathbb Z,\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/n,\mathbb Z)\to0$ から同じ結果が出る。
スキーム $X$ 上の $\mathcal O_X$ 加群の圏は十分な入射対象をもち、層の Hom 複体 $\mathcal{H}om^\bullet(\mathcal F,\mathcal G)$ を上と同じ式で定めると、$R\mathcal{H}om(\mathcal F,\mathcal G):=\mathcal{H}om^\bullet(\mathcal F,\mathcal I)$（$\mathcal G\to\mathcal I$ は入射分解）が得られ、そのコホモロジー層が Ext層 である（Har66 第 II 章 §3、pp. 90–91）。$\Gamma(X,\mathcal{H}om(\mathcal F,\mathcal G))=\operatorname{Hom}(\mathcal F,\mathcal G)$ であり、$\mathcal I$ が入射的なら $\mathcal{H}om(\mathcal F,\mathcal I)$ は脆弱層になることから、$\mathcal F\in D^-(X)$、$\mathcal G\in D^+(X)$ について自然な同型 $R\operatorname{Hom}(\mathcal F,\mathcal G)\cong R\Gamma(X,R\mathcal{H}om(\mathcal F,\mathcal G))$ が成り立つ。この記事では証明しない（Har66 第 II 章 Proposition 5.3、p. 102）。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 第 2 変数を入射対象の複体に取り替えること | $\operatorname{Hom}^\bullet(\mathbb Z/2,\mathbb Z)$ | $H^1=\operatorname{Hom}_D(\mathbb Z/2,\mathbb Z[1])$ |
| $I$ が下に有界であること | $R=\mathbb Z/4$ 上で、すべての次数に $R$ を置き差分を $2$ 倍とした複体 $J$ | lem-rhom-acyclic と prop-rhom-k-equals-d |
| $I$ の各項が入射対象であること | 導来圏の記事の例「導来圏で零だが鎖ホモトピックに零でない射」の完全な複体 $C$ | prop-rhom-k-equals-d |
1 行目：$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2,\mathbb Z)=0$ なので取り替えない Hom 複体は $0$ であり $H^1=0$ だが、ex-rhom-cyclic により $\operatorname{Hom}_D(\mathbb Z/2,\mathbb Z[1])\cong\mathbb Z/2$ である。
2 行目：$R=\mathbb Z/4$ のイデアルは $0$、$2R$、$R$ だけで、$2R\to R$ の $R$ 線形写像は $2\mapsto0$ か $2\mapsto2$ なので、それぞれ $1\mapsto0$、$1\mapsto1$ で $R$ 全体に延びる。Baer の判定法により $R$ は $R$ 加群として入射的である。$J$ では $\ker2=2R=\operatorname{im}2$ なので $J$ は完全で、$D(R\text{-}\mathbf{Mod})$ で $0$ と同型である。しかし $\mathrm{id}_J$ は鎖ホモトピックに零でない。鎖ホモトピー $h^n\colon J^n\to J^{n-1}$ は $c_n\in R$ 倍で、$\mathrm{id}=dh+hd$ は次数 $n$ で $1=2(c_n+c_{n+1})$ を要求するが、右辺は $2R$ に属する。よって $\operatorname{Hom}_{K}(J,J)\neq0=\operatorname{Hom}_{D}(J,J)$ であり、$\operatorname{Hom}^\bullet(J,J)$ は完全でない。
3 行目：$C$ はホモロジー的添字で次数 $2,1,0$ に $\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2$ を置いた有界な完全複体で、各項は入射的でない。$\mathbb Z/2$ から $C$ への鎖写像 $f$ は $Q(f)=0$ だが鎖ホモトピックに零でないので、$\operatorname{Hom}_K(\mathbb Z/2,C)\to\operatorname{Hom}_D(\mathbb Z/2,C)$ は単射でない。
関連項目
参考文献
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