志村の相互法則

$t:=s^{-1}$ とおくと $\operatorname{art}_K(t)=\sigma|_{K^{\mathrm{ab}}}$ である。$\mathbb{C}/\mathfrak{a}$ の上で $\alpha\in\mathcal{O}$ は $\alpha$ 倍で作用するので、$\xi$ で移した $E$ は CM 型 $(K,\{K\subset\mathbb{C}\})$ であり、$L^*=K$、$N_\Phi=\mathrm{id}$ である。$T_fE=\mathfrak{a}\otimes\hat{\mathbb{Z}}=:\hat{\mathfrak{a}}$、$V_fE=\mathbb{A}_{K,f}$ で、$E(\mathbb{C})_{\rm tors}=K/\mathfrak{a}=V_fE/T_fE$ である。

$\sigma$ は $K$ を固定するので $\sigma E$ も同じ型をもち、$\sigma E\cong\mathbb{C}/\mathfrak{b}$（$\mathfrak{b}$ は分数イデアル）と書ける。$\sigma E$ の $\mathcal{O}$ の作用は $\sigma$ で移したものであり、接空間には包含 $K\subset\mathbb{C}$ で作用する。thm-sr-main の $\alpha$ は普遍被覆の上で $c\in\mathbb{C}^\times$ 倍である。$c\,(\mathfrak{a}\otimes\mathbb{Q})=\mathfrak{b}\otimes\mathbb{Q}$ から $c\in K^\times$ である。$\mathfrak{b}$ を $c^{-1}\mathfrak{b}$ に替えれば $c=1$ としてよい。

このとき $V_f(\sigma E)=\mathbb{A}_{K,f}$ の上で $\sigma x=tx$ である。$\sigma$ は群の同型なので $T_fE=\hat{\mathfrak{a}}$ を $T_f(\sigma E)=\hat{\mathfrak{b}}$ の上へ写す。よって $\hat{\mathfrak{b}}=t\hat{\mathfrak{a}}$、すなわち $\mathfrak{b}=s^{-1}\mathfrak{a}$ である。$V_f/T_f$ に落とせば $\sigma(\xi(u))=\xi'(s^{-1}u)$ を得る。$\square$

$\sigma\in\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/K^{\mathrm{ab}})$ に thm-sr-elliptic を $s=1$ で当てると $\sigma E\cong\mathbb{C}/\mathfrak{a}$ なので $\sigma j(\mathfrak{a})=j(\mathfrak{a})$ である。$\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/K^{\mathrm{ab}})$ の固定体は $K^{\mathrm{ab}}$ なので $j(\mathfrak{a})\in K^{\mathrm{ab}}$ である。一般の $s$ では $\sigma E\cong\mathbb{C}/s^{-1}\mathfrak{a}$ から式を得る。$\mathfrak{p}$ の Frobenius については、$\mathfrak{p}$ 成分が素元のイデール $s$ をとれば $s^{-1}\mathfrak{a}=\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{a}$ である。

$j(\mathfrak{b})=j(\mathfrak{a})$ は $\mathfrak{b}$ と $\mathfrak{a}$ が同じイデアル類に属することと同値である（虚数乗法 の定理「$\mathcal{O}_K$ による虚数乗法とイデアル類群」）。よって $\operatorname{rec}_K(s)$ が $j(\mathfrak{a})$ を固定することは、$s$ に対応するイデアルが単項であること、すなわち $s\in K^\times\hat{\mathcal{O}}^\times$ と同値である。類体論によりこの部分群の類体が Hilbert 類体である。$\square$

$E\cong\mathbb{C}/\mathfrak{a}$ とし、$\xi$ をこの同型とする。$\sigma\in\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/H)$ をとる。cor-sr-hilbert の証明の部分群の記述から、$\operatorname{rec}_K(s)=\sigma|_{K^{\mathrm{ab}}}$ となる $s$ を $\hat{\mathcal{O}}^\times$ の中にとれる。このとき $s^{-1}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}$ で、$E$ は $H$ 上定義されているので $\sigma E=E$ である。$\xi'$ と $\xi$ はどちらも $\mathbb{C}/\mathfrak{a}$ から $E(\mathbb{C})$ への同型なので、$\xi'=\xi\circ[\varepsilon]$（$\varepsilon\in\mathcal{O}^\times$）と書けて$$\sigma(\xi(u))=\xi(\varepsilon s^{-1}u).$$$h$ は $H$ 上定義されていて $\operatorname{Aut}(E)$ で不変なので、$\sigma(h(\xi(u)))=h(\xi(s^{-1}u))$ である。$s=1$ の場合から $h(\xi(u))\in K^{\mathrm{ab}}$ が分かる。

$E[\mathfrak{m}]\cong\mathfrak{m}^{-1}\mathfrak{a}/\mathfrak{a}$ は $\mathcal{O}/\mathfrak{m}$ 上の階数 $1$ の自由加群である。その生成元 $u$ をとる。$\sigma$ が $h(E[\mathfrak{m}])$ の全体を固定するのは、ある $\varepsilon'\in\mathcal{O}^\times$ について $s^{-1}u=\varepsilon'u$ となること、すなわち $s$ が $\mathcal{O}^\times U_{\mathfrak{m}}$ に属することと同値である。ここで $U_{\mathfrak{m}}:=\{s\in\hat{\mathcal{O}}^\times\mid s\equiv1\bmod\mathfrak{m}\}$ である。部分群 $K^\times U_{\mathfrak{m}}$ の類体が法 $\mathfrak{m}$ の射類体である。すべての Abel 拡大は射類体に含まれるので、後半も従う。$\square$

$(1-i)^2=-2i=i^3-i$ なので $P\in E(K)$ である。接線の傾きは $(3i^2-1)/(2(1-i))=-(1+i)$ で、$x(2P)=(1+i)^2-2i=0$ である。よって $2P=(0,0)$ で、$(1+i)(0,0)=(0,0)+[i](0,0)=(0,0)+(0,0)=O$ である。したがって $(2+2i)P=(1+i)\cdot2P=O$ である。一方 $(1+i)^2P=2iP=[i](0,0)=(0,0)\neq O$ である。$2+2i$ は $(1+i)^3$ の単数倍なので、$P$ の零化イデアルはちょうど $(2+2i)$ であり、$\mathcal{O}P$ は $\mathcal{O}/(2+2i)$ と同型で、位数 $8$ の $E[2+2i]$ に一致する。$[i]$ は $K$ 上定義されているので $\mathcal{O}P\subset E(K)$ である。

$(\mathcal{O}/(2+2i))^\times$ は位数 $4$ で、$1,i,-1,-i$ は互いに合同でない（差 $1-i$、$2$ のノルムは $2$、$4$ で $8$ 未満）ので、これが代表系である。よって $\mathfrak{a}$ の生成元の 4 個の単数倍のうち、$1$ と合同なものがただ 1 つある。積は $1$ と合同なので $\psi$ は乗法的である。$\square$

準備。$\tilde\imath\colon(x,y)\mapsto(-x,\bar\imath y)$（$\bar\imath:=i\bmod\mathfrak{p}$）の双対は $\tilde\imath^{-1}=\widetilde{-i}$ であり、双対は加法的なので、$\tilde\alpha$ の双対は $\tilde{\bar\alpha}$ である。よって $[\deg\tilde\alpha]=\tilde\alpha\,\tilde{\bar\alpha}=[N\alpha]$ で、$\deg\tilde\alpha=N\alpha$ である（$\mathbb{Z}\to\operatorname{End}(\tilde E)$ は単射）。とくに $\alpha\mapsto\tilde\alpha$ は単射である。

1．$[i]$ は $K$ 上定義されているので、$\operatorname{Gal}(L/K)$ の作用は $\mathcal{O}$ の作用と可換である。$E[\mathfrak{m}]$ の生成元 $T$ について $\sigma T$ も生成元なので、$\sigma T=cT$（$c\in(\mathcal{O}/\mathfrak{m})^\times$）と書け、可換性からすべての点に $c$ 倍で作用する。$\sigma$ は $E[\mathfrak{m}]$ への作用で決まるので $\rho$ は単射である。

$\mathfrak{m}=\bar{\mathfrak{p}}$ のように $N\mathfrak{m}$ が剰余標数で割れることがあるので、形式群で確かめる。$L_{\mathfrak{P}}$ を完備化とする。還元の核は形式群の点である（Sil09 Proposition VII.2.1, p. 188、Proposition VII.2.2, p. 191）。パラメータ $z=-x/y$ について $[i]$ は $z\mapsto iz$ なので、$\mathfrak{m}=(\beta)$ とすると、形式群の上の $[\beta]$ は $\beta z+(z\text{ の }2\text{ 次以上の整係数の項})$ である。$\beta$ は $\mathfrak{p}$ の単数なので、$L_{\mathfrak{P}}$ の極大イデアルの $0$ でない元 $z$ では $\beta z$ の付値が他の項より小さく、$[\beta](z)\neq0$ である。よって還元の核と $E[\mathfrak{m}]$ の共通部分は $\{O\}$ である。

3．$\mathfrak{m}\subset(2+2i)$ なら、$2\mathfrak{m}$ を割る素イデアルは $\mathfrak{m}$ を割るものと同じで、2 により $L/K$ は $\mathfrak{m}$ の外で不分岐である。$I_{\mathfrak{m}}$ を $\mathfrak{m}$ と互いに素なイデアルの群とすると、Artin 写像 $I_{\mathfrak{m}}\to\operatorname{Gal}(L/K)$ は全射で、$\rho$ と合成すると $\mathfrak{a}\mapsto\psi(\mathfrak{a})\bmod\mathfrak{m}$ である。この写像の核は $\{(\beta)\mid\beta\equiv1\bmod\mathfrak{m}\}$ である。実際、$\beta\equiv1\pmod{\mathfrak{m}}$ なら $\beta\equiv1\pmod{2+2i}$ なので $\psi((\beta))=\beta\equiv1$ であり、逆に $\psi(\mathfrak{a})\equiv1\pmod{\mathfrak{m}}$ なら $\mathfrak{a}=(\psi(\mathfrak{a}))$ である。$\rho$ は単射なので、これが Artin 写像の核であり、類体論により $L$ は法 $\mathfrak{m}$ の射類体である。すべての Abel 拡大は射類体に含まれ、射類体は法を深くすると大きくなるので、最後の主張も従う。$\square$