導来関手
概要
導来関手（derived functor）とは、右完全（または左完全）な加法関手 $F$ が短完全列の完全性を一部しか保たないという「欠損」を、射影分解（または入射分解）とホモロジーを用いて系統的に測定する関手の族 $L_nF$（または $R^nF$）のことをいう。$\operatorname{Tor}$ や $\operatorname{Ext}$ はその代表例であり、ホモロジー代数における最も基本的な計算装置の一つである。
前提知識: 圏, 核, 余核, アーベル圏, 完全列, 短完全列, 複体とホモロジー, 入射対象・射影対象
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ が十分な射影対象を持つとする。対象 $A$ の射影分解（projective resolution）とは、各 $P_n$（$n\ge0$）が入射対象・射影対象の意味で射影対象であるような完全列
$$
\cdots\longrightarrow P_2\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\xrightarrow{\ \varepsilon\ }A\longrightarrow 0
$$
のことをいう。双対に、$\mathcal A$ が十分な入射対象を持つとき、対象 $A$ の入射分解（injective resolution）とは、各 $I^n$（$n\ge0$）が入射対象であるような完全列
$$
0\longrightarrow A\xrightarrow{\ \eta\ }I^0\longrightarrow I^1\longrightarrow I^2\longrightarrow\cdots
$$
のことをいう。入射対象・射影対象の十分性の定義により、任意の対象は射影分解（十分な射影対象を持つ場合）・入射分解（十分な入射対象を持つ場合）を持つ。
直感
右完全関手 $F$ に短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ を適用すると、$F(A')\to F(A)\to F(A'')\to0$ は完全になるが、左側の射 $F(A')\to F(A)$ は一般にモノ射になるとは限らない。この「左側で完全性が壊れる度合い」を系統的に記録するのが導来関手である。
具体的には、対象 $A$ を射影分解 $P_\bullet\to A$（複体とホモロジーの意味で $A$ とホモロジー同型な、射影対象だけからなる複体）に置き換え、$F$ を複体の各項に適用した複体 $F(P_\bullet)$ のホモロジーを取る。$F$ が完全であれば $F(P_\bullet)$ も完全列（の意味で）ホモロジーが消える複体になるが、$F$ が右完全なだけならば高次のホモロジー $H_n(F(P_\bullet))$（$n\ge1$）が非自明になり得る。これらの非自明な高次ホモロジーこそが $F$ の「完全性からの欠損」を測る不変量であり、左導来関手 $L_nF$ と呼ばれる。左完全関手に対しては入射分解を用いて双対的に右導来関手 $R^nF$ が定義される。
性質
$\varphi\colon A\to A'$ をアーベル圏の射とし、$\varepsilon\colon P_\bullet\to A$、$\varepsilon'\colon P'_\bullet\to A'$ をそれぞれの射影分解とする。このとき、$\varepsilon'\circ f_0=\varphi\circ\varepsilon$ を満たす鎖写像 $f_\bullet\colon P_\bullet\to P'_\bullet$（比較射）が存在し、そのような鎖写像はすべて互いに複体とホモロジーの意味で鎖ホモトピックである。双対に、入射分解の間にも比較射が存在し、鎖ホモトピーを除いて一意である。
以下 $P_{-1}:=A$、$P'_{-1}:=A'$、$d_0:=\varepsilon$、$d'_0:=\varepsilon'$、$f_{-1}:=\varphi$ とおく。
存在（$n$ に関する帰納法で $f_n$ を構成する）：$n=0$ のとき、$\varepsilon'\colon P'_0\twoheadrightarrow A'$ はエピ射であり $P_0$ は射影対象であるから、射影対象の定義（入射対象・射影対象）を射 $\varphi\circ\varepsilon\colon P_0\to A'$ に適用すると、$\varepsilon'\circ f_0=\varphi\circ\varepsilon$ を満たす $f_0\colon P_0\to P'_0$ が存在する。
$f_0,\dots,f_n$（$n\ge0$）がすでに構成され、$d'_k\circ f_k=f_{k-1}\circ d_k$（$0\le k\le n$）を満たすとする。$P'_\bullet$ の完全性（次数 $n$ での完全性 $\ker d'_n=\operatorname{im}d'_{n+1}$）と
$$
d'_n\circ(f_n\circ d_{n+1})=(d'_n\circ f_n)\circ d_{n+1}=(f_{n-1}\circ d_n)\circ d_{n+1}=f_{n-1}\circ(d_n\circ d_{n+1})=0
$$
（複体の条件 $d_n\circ d_{n+1}=0$ を用いた）により、$f_n\circ d_{n+1}\colon P_{n+1}\to P'_n$ は部分対象 $\ker d'_n=\operatorname{im}d'_{n+1}$ を経由して分解する。$d'_{n+1}\colon P'_{n+1}\to\operatorname{im}d'_{n+1}$（終域を制限したもの）はエピ射であり $P_{n+1}$ は射影対象であるから、この分解された射を射影対象の定義により $P'_{n+1}$ まで持ち上げて、$d'_{n+1}\circ f_{n+1}=f_n\circ d_{n+1}$ を満たす $f_{n+1}\colon P_{n+1}\to P'_{n+1}$ が得られる。ゆえに帰納法によりすべての $n\ge0$ で $f_n$ が構成され、鎖写像 $f_\bullet$ を得る。
一意性（鎖ホモトピーを除く）：$f_\bullet,g_\bullet$ をともに $\varphi$ の比較射とし、$h_n:=f_n-g_n$ とおく（$\operatorname{Hom}$ 集合の加法構造による差、加法圏参照）。$\varepsilon'\circ h_0=\varphi\varepsilon-\varphi\varepsilon=0$ であり、$s_{-1}:=0$ とおいて $n$ に関する帰納法で鎖ホモトピー $s_n\colon P_n\to P'_{n+1}$（$h_n=d'_{n+1}s_n+s_{n-1}d_n$ を満たすもの）を構成する。
$n=0$ のとき、$\varepsilon'h_0=0$ と $P'_\bullet$ の完全性（$\ker\varepsilon'=\operatorname{im}d'_1$）により $h_0$ は $\operatorname{im}d'_1$ を経由して分解し、$P_0$ の射影性によりこれを $P'_1$ まで持ち上げて $d'_1s_0=h_0=h_0+s_{-1}d_0$（$s_{-1}=0$ より）を満たす $s_0$ が得られる。
$s_0,\dots,s_{n-1}$（$n\ge1$）がすでに構成され $h_k=d'_{k+1}s_k+s_{k-1}d_k$（$k< n$）を満たすとする。$h_\bullet=f_\bullet-g_\bullet$ が鎖写像であること（$d'_nh_n=h_{n-1}d_n$）と帰納法の仮定（$k=n-1$：$h_{n-1}=d'_ns_{n-1}+s_{n-2}d_{n-1}$）より
$$
d'_n(h_n-s_{n-1}d_n)=d'_nh_n-d'_ns_{n-1}d_n=h_{n-1}d_n-d'_ns_{n-1}d_n=(s_{n-2}d_{n-1})d_n=s_{n-2}(d_{n-1}d_n)=0
$$
となるので、$h_n-s_{n-1}d_n$ は $\ker d'_n=\operatorname{im}d'_{n+1}$ を経由して分解する。$P_n$ の射影性によりこれを $P'_{n+1}$ まで持ち上げて、$d'_{n+1}s_n=h_n-s_{n-1}d_n$、すなわち $h_n=d'_{n+1}s_n+s_{n-1}d_n$ を満たす $s_n$ が得られる。帰納法によりすべての $n\ge0$ で $s_n$ が構成され、$(s_n)$ は $f_\bullet$ と $g_\bullet$ の間の鎖ホモトピーを与える。
入射分解の場合は、以上の議論のすべての射の向きを反転し、エピ射をモノ射に、射影対象を入射対象に置き換えれば、同一の議論がそのまま適用できる。$\blacksquare$
比較定理により、同じ対象 $A$ の二つの射影分解 $P_\bullet\to A$、$P'_\bullet\to A$ の間には、恒等射 $\operatorname{id}_A$ の比較射として鎖写像 $f_\bullet\colon P_\bullet\to P'_\bullet$ と $g_\bullet\colon P'_\bullet\to P_\bullet$ が存在する。合成 $g_\bullet f_\bullet\colon P_\bullet\to P_\bullet$ は $\operatorname{id}_A$ の比較射であり、恒等鎖写像 $\operatorname{id}_{P_\bullet}$ も同じく $\operatorname{id}_A$ の比較射であるから、比較定理の一意性より $g_\bullet f_\bullet$ は $\operatorname{id}_{P_\bullet}$ に鎖ホモトピックである。対称に $f_\bullet g_\bullet$ も $\operatorname{id}_{P'_\bullet}$ に鎖ホモトピックである。したがって $f_\bullet,g_\bullet$ は鎖ホモトピー同値を与え、複体とホモロジーの性質（鎖ホモトピックな鎖写像は等しい射をホモロジー上に誘導する）により、$H_n(f_\bullet)\colon H_n(P_\bullet)\to H_n(P'_\bullet)$ は同型射になる。これが、以下の導来関手の定義が分解の選び方によらず（自然な同型を除いて）意味を持つことの根拠である。
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を右完全な加法関手とし、$\mathcal A$ は十分な射影対象を持つとする。対象 $A$ に対し射影分解 $P_\bullet\to A$ を一つ選び、
$$
L_nF(A):=H_n(F(P_\bullet))\qquad(n\ge0)
$$
と定める（$F(P_\bullet)$ は $F$ を各項・各差分に適用して得られる $\mathcal B$ における複体）。これを $F$ の左導来関手（left derived functor）という。射 $\varphi\colon A\to A'$ に対しては、比較射 $f_\bullet\colon P_\bullet\to P'_\bullet$（prop-comparison-theorem）を選び、$L_nF(\varphi):=H_n(F(f_\bullet))$ と定める。
双対に、$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ が左完全な加法関手で $\mathcal A$ が十分な入射対象を持つとき、入射分解 $A\to I^\bullet$ を用いて
$$
R^nF(A):=H^n(F(I^\bullet))\qquad(n\ge0)
$$
と定め、これを $F$ の右導来関手（right derived functor）という。
prop-comparison-theorem（とその直後の議論）により、$L_nF(A)$・$R^nF(A)$・$L_nF(\varphi)$・$R^nF(\varphi)$ はいずれも分解の選び方によらず（自然な同型を除いて）矛盾なく定まる。
$F$ が右完全であるとき、任意の対象 $A$ に対し $L_0F(A)\cong F(A)$ が自然に成り立つ。双対に、$F$ が左完全であるとき $R^0F(A)\cong F(A)$ が自然に成り立つ。
射影分解の完全性により、$d_1\colon P_1\to P_0$ はエピ射とモノ射の合成 $P_1\twoheadrightarrow\operatorname{im}d_1\hookrightarrow P_0$ に分解し、$\operatorname{im}d_1=\ker\varepsilon$（$P_0$ での完全性）である。短完全列 $0\to\ker\varepsilon\to P_0\xrightarrow{\varepsilon}A\to0$ に右完全関手 $F$ を適用すると、$F(\ker\varepsilon)\to F(P_0)\to F(A)\to0$ が完全になる。とくに $F(\varepsilon)$ はエピ射であり、その核は射 $F(\ker\varepsilon)\to F(P_0)$ の像に一致する。
また短完全列 $0\to\ker(P_1\twoheadrightarrow\operatorname{im}d_1)\to P_1\to\operatorname{im}d_1\to0$ に $F$ を適用すると $F(P_1)\to F(\operatorname{im}d_1)\to0$ が完全になり、$F(P_1)\to F(\operatorname{im}d_1)$ はエピ射である。エピ射を後から合成しても像は変わらない（標準的な事実）ので、
$$
\operatorname{im}F(d_1)=\operatorname{im}\bigl(F(P_1)\to F(\operatorname{im}d_1)\to F(P_0)\bigr)=\operatorname{im}\bigl(F(\ker\varepsilon)\to F(P_0)\bigr)=\ker F(\varepsilon).
$$
したがって
$$
L_0F(A)=H_0(F(P_\bullet))=F(P_0)/\operatorname{im}F(d_1)=F(P_0)/\ker F(\varepsilon)\cong F(A)
$$
が成り立つ（最後の同型は、エピ射についてその核による商から余定義域への標準射が同型になるという標準的な事実による）。双対の議論（入射分解、$F$ が左完全）でも同様に $R^0F(A)\cong F(A)$ が成り立つ。$\blacksquare$
$F$ が右完全であるとき、射影対象 $P$ に対し $L_nF(P)=0$（$n\ge1$）。双対に、$F$ が左完全であるとき、入射対象 $I$ に対し $R^nF(I)=0$（$n\ge1$）。
$P$ 自身が射影対象であるとき、$\cdots\to0\to0\to P\xrightarrow{\operatorname{id}}P\to0$（$P_0:=P$、$\operatorname{id}_P$ を射影分解の augmentation とし、$P_n:=0$ を $n\ge1$ で）は $P$ の射影分解を与える（各 $P_n$ は射影対象——$n\ge1$ では零対象、これは常に射影対象である——であり、完全性は自明に成り立つ）。この分解に $F$ を適用すると $\cdots\to0\to0\to F(P)$ となり、$n\ge1$ での項がすべて零対象であるから $L_nF(P)=H_n(F(P_\bullet))=0$（$n\ge1$）。$L_nF$ は分解の選び方によらないので（prop-comparison-theorem直後の議論）、これは任意の射影分解を用いても成り立つ。双対の議論により入射対象でも同様である。$\blacksquare$
例
環 $R$ と右 $R$ 加群 $M$ に対し、関手 $-\otimes_RM\colon R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$（左 $R$ 加群 $N$ に $N\otimes_RM$ を対応させる）は右完全な加法関手である（テンソル積の右完全性は標準的な事実である）。$R\text{-}\mathbf{Mod}$ は自由加群により十分な射影対象を持つ（入射対象・射影対象参照）ので、その左導来関手
$$
\operatorname{Tor}_n^R(N,M):=L_n(-\otimes_RM)(N)
$$
が定義できる。prop-derived-functor-degree-zeroにより $\operatorname{Tor}_0^R(N,M)\cong N\otimes_RM$ である。$\operatorname{Tor}_n^R(N,M)$（$n\ge1$）は $N$（あるいは対称的に $M$）がどれだけ「捩れ（torsion）」を持つかを測る不変量であり、名称 $\operatorname{Tor}$ もこれに由来する。
反変で左完全な関手 $\operatorname{Hom}_R(-,M)\colon R\text{-}\mathbf{Mod}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Ab}$ に対しても、射影分解に $\operatorname{Hom}_R(-,M)$ を適用してコホモロジーを取るという同様の構成により右導来関手 $\operatorname{Ext}_R^n(-,M)$ が定義される（反変関手の場合は複体の向きが反転しコチェイン複体になる点を除き、本記事の構成と本質的に同じである）。$\operatorname{Tor}$・$\operatorname{Ext}$ の詳細な性質はそれぞれの記事に譲る。
