Grönwallの不等式

$\Phi(t):=\int_{t_0}^{t}\beta(s)\psi(s)\,ds$ とおく。被積分関数 $\beta\psi$ は連続なので、微分積分学の基本定理 により $\Phi$ は微分可能で $\Phi'=\beta\psi$ は連続であり、$\Phi(t_0)=0$ である。仮定は $\psi\le\alpha+\Phi$ と書ける。$\beta\ge0$ なので、この両辺に $\beta(t)$ を掛けても向きは変わらず、
$$ \Phi'(t)=\beta(t)\psi(t)\le\beta(t)\alpha(t)+\beta(t)\Phi(t) $$
となる。$B'=\beta$ だから
$$ \frac{d}{dt}\Bigl(e^{-B(t)}\Phi(t)\Bigr)=e^{-B(t)}\bigl(\Phi'(t)-\beta(t)\Phi(t)\bigr)\le e^{-B(t)}\alpha(t)\beta(t) $$
である。左辺の導関数は連続なので、$t_0$ から $t$ まで積分すると、$\Phi(t_0)=0$、$B(t_0)=0$ から
$$ e^{-B(t)}\Phi(t)\le\int_{t_0}^{t}e^{-B(s)}\alpha(s)\beta(s)\,ds $$
を得る。両辺に $e^{B(t)}>0$ を掛けると
$$ \Phi(t)\le\int_{t_0}^{t}\alpha(s)\beta(s)e^{B(t)-B(s)}\,ds $$
であり、これを $\psi(t)\le\alpha(t)+\Phi(t)$ に代入すれば結論になる。$\square$

$t_0\le s\le t$ なら $\alpha(s)\le\alpha(t)$ であり、$\beta(s)e^{B(t)-B(s)}\ge0$ なので
$$ \int_{t_0}^{t}\alpha(s)\beta(s)e^{B(t)-B(s)}\,ds\le\alpha(t)\int_{t_0}^{t}\beta(s)e^{B(t)-B(s)}\,ds=\alpha(t)\Bigl[-e^{B(t)-B(s)}\Bigr]_{s=t_0}^{s=t}=\alpha(t)\bigl(e^{B(t)}-1\bigr) $$
である。$\alpha(t)$ が負のときもこの計算はそのまま成り立つ。thm-gw-integral の結論に代入すると $\psi(t)\le\alpha(t)+\alpha(t)(e^{B(t)}-1)=\alpha(t)e^{B(t)}$ となる。$\square$

$\alpha=0$ は単調非減少なので、cor-gw-monotone により $\psi(t)\le0\cdot e^{B(t)}=0$ である。$\psi\ge0$ と合わせて $\psi=0$ となる。$\square$

$\tilde\psi:=\psi+\gamma/\beta$ とおくと $\beta\tilde\psi=\beta\psi+\gamma$ なので、仮定は
$$ \tilde\psi(t)\le\Bigl(\alpha+\frac{\gamma}{\beta}\Bigr)+\int_{t_0}^{t}\beta\tilde\psi(s)\,ds $$
と書ける。定数 $\alpha+\gamma/\beta$ は単調非減少なので、cor-gw-monotone により $\tilde\psi(t)\le(\alpha+\gamma/\beta)e^{\beta(t-t_0)}$ であり、両辺から $\gamma/\beta$ を引けば結論になる。$\square$

$$ v(t):=e^{-B(t)}u(t)-\int_{t_0}^{t}e^{-B(s)}\gamma(s)\,ds $$
とおく。$v$ は $[t_0,t_1]$ で連続、$(t_0,t_1)$ で微分可能で、
$$ v'(t)=e^{-B(t)}\bigl(u'(t)-\beta(t)u(t)-\gamma(t)\bigr)\le0 $$
である。平均値の定理 により、$t_0\le s< t\le t_1$ なら $v(t)-v(s)=v'(\xi)(t-s)\le0$ となる $\xi\in(s,t)$ があるので、$v$ は単調非増加である。よって $v(t)\le v(t_0)=u(t_0)$ であり、両辺に $e^{B(t)}$ を掛ければ結論になる。$\square$

$z_n:=\alpha+\sum_{k=0}^{n-1}\beta_ky_k$ とおくと、仮定は $y_n\le z_n$ である。$\beta_n\ge0$ なので
$$ z_{n+1}=z_n+\beta_ny_n\le z_n+\beta_nz_n=(1+\beta_n)z_n $$
となる。$z_0=\alpha$ から始めて、$1+\beta_n>0$ を掛けても向きが変わらないことを使って帰納法を回すと $z_n\le\alpha\prod_{k=0}^{n-1}(1+\beta_k)$ を得る。$y_n\le z_n$ から 1 つ目の主張が従う。$\alpha\ge0$ なら、$1+x\le e^x$ から $\prod_{k< n}(1+\beta_k)\le\exp(\sum_{k< n}\beta_k)$ である。$\square$

常微分方程式 の補題「積分方程式への書き換え」により
$$ x(t)-y(t)=x(t_0)-y(t_0)+\int_{t_0}^{t}\Bigl(\bigl(f(s,x(s))-f(s,y(s))\bigr)+\bigl(f(s,y(s))-g(s,y(s))\bigr)\Bigr)ds $$
である。三角不等式と仮定から、連続関数 $\psi(t):=\lvert x(t)-y(t)\rvert$ は
$$ \psi(t)\le\psi(t_0)+\int_{t_0}^{t}\bigl(L\psi(s)+M\bigr)\,ds $$
を満たす。prop-gw-affine を $\alpha=\psi(t_0)$、$\beta=L$、$\gamma=M$ で使えば結論になる。$\square$

1 歩の誤差。 $x'(t_k)=f(t_k,x(t_k))$ なので
$$ x(t_{k+1})=x(t_k)+h\,f(t_k,x(t_k))+R_k,\qquad R_k:=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\bigl(x'(s)-x'(t_k)\bigr)\,ds $$
である。$\lvert x'(s)-x'(t_k)\rvert=\bigl\lvert\int_{t_k}^sx''(r)\,dr\bigr\rvert\le M(s-t_k)$ だから $\lvert R_k\rvert\le\int_{t_k}^{t_{k+1}}M(s-t_k)\,ds=Mh^2/2$ である。
誤差の漸化式。 $e_k:=\lvert x(t_k)-x_k\rvert$ とおくと、$x(t_{k+1})-x_{k+1}=x(t_k)-x_k+h\bigl(f(t_k,x(t_k))-f(t_k,x_k)\bigr)+R_k$ と Lipschitz 条件から
$$ e_{k+1}\le(1+hL)e_k+c,\qquad c:=\frac{Mh^2}{2} $$
であり、$e_0=0$ である。
帰納法。 $k$ についての帰納法で $e_k\le c\sum_{j=0}^{k-1}(1+hL)^j$ が分かる（$e_{k+1}\le(1+hL)c\sum_{j< k}(1+hL)^j+c=c\sum_{j\le k}(1+hL)^j$）。等比数列の和と $1+hL\le e^{hL}$ から
$$ e_k\le c\,\frac{(1+hL)^k-1}{hL}\le\frac{c}{hL}\bigl(e^{khL}-1\bigr)=\frac{Mh}{2L}\bigl(e^{L(t_k-t_0)}-1\bigr) $$
である。$\square$