Artin環

2 ⇒ 1：減少列 $I_1\supset I_2\supset\cdots$ に対し、$\Sigma=\{I_n\mid n\ge1\}$ の極小元 $I_N$ をとる。$n\ge N$ なら $I_n\subset I_N$ かつ $I_n\in\Sigma$ なので、極小性により $I_n=I_N$ である。
1 ⇒ 2：$\Sigma$ が極小元をもたないとする。$I_1\in\Sigma$ をとる。$I_1$ は極小でないので $I_2\subsetneq I_1$ となる $I_2\in\Sigma$ があり、同様に $I_3\subsetneq I_2$ となる $I_3\in\Sigma$ がある。これを続けると（各段で 1 つの元を選ぶので、選択公理の弱い形である従属選択を使う）真に減少する無限列 $I_1\supsetneq I_2\supsetneq\cdots$ が得られ、降鎖条件に反する。$\square$

1：剰余環 の記事の定理「イデアルの対応定理」により、$A/I$ のイデアルは $I$ を含む $A$ のイデアル $J$ に対する $J/I$ の形にちょうど一度ずつ書け、この対応は包含を保つ。よって $A/I$ のイデアルの減少列 $J_1/I\supset J_2/I\supset\cdots$ は $A$ のイデアルの減少列 $J_1\supset J_2\supset\cdots$ から来ており、後者が止まれば前者も止まる。
2：$0\ne x\in A$ をとる。減少列 $(x)\supset(x^2)\supset(x^3)\supset\cdots$ は止まるので、ある $n$ で $(x^n)=(x^{n+1})$、とくに $x^n=x^{n+1}y$ となる $y\in A$ がある。$x^n(1-xy)=0$ で、$A$ は整域かつ $x^n\ne0$ なので $1-xy=0$、すなわち $xy=1$ である。よって $0$ でない元はすべて単元であり、$A$ は体である（$A$ は整域なので $1\ne0$）。
3：$\mathfrak{p}$ を素イデアルとすると、$A/\mathfrak{p}$ は整域であり（素イデアル の記事の命題「剰余環が整域であることとの同値」）、1 により Artin環なので、2 により体である。よって $\mathfrak{p}$ は極大イデアルである（極大イデアル の記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。すべての素イデアルが極大なので、長さ $1$ 以上の素イデアルの鎖はなく、$A\ne0$ なら $\dim A=0$ である。冪零根基はすべての素イデアルの共通部分（冪零根基 の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」）、Jacobson根基はすべての極大イデアルの共通部分であり、両者は同じ集合の共通部分なので一致する。$\square$

$A=0$ なら極大イデアルはない。$A\ne0$ とし、有限個の極大イデアルの共通部分 $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n$（$n\ge1$）の全体を $\Sigma$ とする。$A$ は極大イデアルをもつので（極大イデアル の記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）$\Sigma$ は空でなく、prop-artinian-ring-minimal-condition により極小元 $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n$ をもつ。任意の極大イデアル $\mathfrak{m}$ について、$\mathfrak{m}\cap\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n\in\Sigma$ はこの極小元に含まれるので、極小性により
$$ \mathfrak{m}\cap\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n=\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n $$
であり、$\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n$ である。$\mathfrak{m}$ は素イデアルなので、ある $i$ について $\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_i$ である（素イデアル の記事の命題「イデアルの積と素イデアル」の後半）。$\mathfrak{m}_i$ は極大なので $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_i$ である。よって極大イデアルは $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_n$ のどれかである。$\square$

減少列 $J\supset J^2\supset J^3\supset\cdots$ は止まるので、ある $k$ で $J^k=J^{k+1}=\cdots$ となる。$I:=J^k$ とおくと $I^2=J^{2k}=I$ であり、$JI=J^{k+1}=I$ である。$I\ne0$ と仮定して矛盾を導く。
イデアル $\mathfrak{a}$ で $\mathfrak{a}I\ne0$ となるものの全体を $\Sigma$ とする。$I\cdot I=I\ne0$ なので $I\in\Sigma$ であり、prop-artinian-ring-minimal-condition により $\Sigma$ は極小元 $\mathfrak{a}$ をもつ。$\mathfrak{a}I\ne0$ なので、$xI\ne0$ となる $x\in\mathfrak{a}$ がある。$(x)\subset\mathfrak{a}$ かつ $(x)I=xI\ne0$ なので、極小性により $\mathfrak{a}=(x)$ である。さらに $(xI)I=xI^2=xI\ne0$ であり、$xI$ は $(x)$ に含まれるイデアルなので、極小性により $xI=(x)$ である。とくに $x\in xI$ であり、$x=xy$ となる $y\in I\subset J$ がある。$y\in J$ なので $1-y$ は単元である（Jacobson根基 の記事の命題「単元による特徴づけ」）。$x(1-y)=0$ に $1-y$ の逆元を掛けて $x=0$ となり、$xI\ne0$ に反する。よって $I=J^k=0$ である。$\square$

$A=0$ なら $n=0$ で右辺は零環（空の直積）なので正しい。$A\ne0$ とする。prop-artinian-ring-jacobson-nilpotent の $k$ をとると、$J=\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_n\supset\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_n$ なので
$$ \mathfrak{m}_1^k\mathfrak{m}_2^k\cdots\mathfrak{m}_n^k=(\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_n)^k\subset J^k=0 $$
である。
$i\ne j$ なら $\mathfrak{m}_i^k+\mathfrak{m}_j^k=A$ である。実際、そうでなければ $\mathfrak{m}_i^k+\mathfrak{m}_j^k$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ があり、$\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_i^k$ と $\mathfrak{m}$ が素であることから $\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_i$、同様に $\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_j$ となり、極大性から $\mathfrak{m}_i=\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_j$ となって矛盾する。$I_i:=\mathfrak{m}_i^k$ とおく。
写像が全射であること：各 $i$ について、$j\ne i$ ごとに $1=a_j+b_j$（$a_j\in I_i$、$b_j\in I_j$）と書き、$e_i:=\prod_{j\ne i}b_j$ とおく。$e_i\in I_j$（$j\ne i$）であり、$e_i=\prod_{j\ne i}(1-a_j)\in1+I_i$ である。よって $e_i$ の像は第 $i$ 成分が $1$、他の成分が $0$ の元であり、任意の $c_1,\dots,c_n\in A$ について $\sum_ic_ie_i$ の像は $(c_1+I_1,\dots,c_n+I_n)$ となる。
写像が単射であること：核は $I_1\cap\cdots\cap I_n$ である。$I_1\cap\cdots\cap I_r=I_1\cdots I_r$ を $r$ についての帰納法で示す。$r=1$ は明らかである。$r\ge2$ のとき、$I_r$ と $I_1\cdots I_{r-1}$ は互いに素である（$1=\prod_{j< r}(a_j'+b_j')$ を展開すると、$a_j'\in I_j$、$b_j'\in I_r$ として $1\in I_1\cdots I_{r-1}+I_r$）。よって イデアル の記事の命題「互いに素なイデアルの積と共通部分」と帰納法の仮定により $I_1\cap\cdots\cap I_r=(I_1\cdots I_{r-1})\cap I_r=I_1\cdots I_r$ である。$r=n$ として核は $I_1\cdots I_n=0$ である。
局所性：$A/I_i$ は prop-artinian-ring-prime-maximal の 1 により Artin環である。その極大イデアルは $I_i$ を含む $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対応し、$\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_i^k$ から $\mathfrak{m}\supset\mathfrak{m}_i$、すなわち $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_i$ である。よって $A/I_i$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}_i/I_i$ だけである。$\square$