射類体と導手

段 1（$\lambda$ は全射で、核は合同条件の群）。中国剰余定理と $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}^e\cong\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^e\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}$ により $(\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_0)^\times\cong\prod_{\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}^\times/U_{\mathfrak{p}}^{(v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{m}))}$ であり、$\lambda$ の第 1 成分は $\alpha\in K^{(\mathfrak{m})}\subset\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}^\times$ の類を並べたものである。値域の各元の逆像は、$\prod_{\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0}K_{\mathfrak{p}}^\times\times\prod_{v\in\mathfrak{m}_\infty}\mathbb{R}^\times$ の開集合（剰余類と半直線の積）と $K$ の交わりであり、大域類体論 の記事の注意「使う事実」の (G3)（弱近似定理）により空でない。よって $\lambda$ は全射である。Artin写像とArtin相互法則 の記事の補題「ノルムと合同条件」の 1 により、$\ker\lambda$ は $\alpha\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{m}_0}$ かつ $\mathfrak{m}_\infty$ で正となる $\alpha$ の群 $K_{\mathfrak{m},1}$ であり、$P_{K,\mathfrak{m}}=\{(\beta)\mid\beta\in K_{\mathfrak{m},1}\}$、$\mathcal{O}_{K,\mathfrak{m}}^\times=\mathcal{O}_K^\times\cap K_{\mathfrak{m},1}$ である。

段 2（右端の全射）。分数イデアル $\mathfrak{a}$ について、弱近似定理により $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0$ で $v_{\mathfrak{p}}(\alpha)=-v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ となる $\alpha\in K^\times$ をとれば（付値が一定の集合は開集合）、$\alpha\mathfrak{a}\in I_K^{\mathfrak{m}}$ は $\mathfrak{a}$ と同じ類に属する。

段 3（核）。$\operatorname{Cl}_{\mathfrak{m}}\to\operatorname{Cl}_K$ の核は $(P_K\cap I_K^{\mathfrak{m}})/P_{K,\mathfrak{m}}$ である。$(\alpha)\in I_K^{\mathfrak{m}}$ は $\alpha\in K^{(\mathfrak{m})}$ と同値なので、$\alpha\mapsto(\alpha)\bmod P_{K,\mathfrak{m}}$ は全射 $K^{(\mathfrak{m})}\to(P_K\cap I_K^{\mathfrak{m}})/P_{K,\mathfrak{m}}$ であり、$(\alpha)\in P_{K,\mathfrak{m}}$ は $\alpha=\varepsilon\beta$（$\varepsilon\in\mathcal{O}_K^\times$、$\beta\in K_{\mathfrak{m},1}$）と同値なので、核は $\mathcal{O}_K^\times K_{\mathfrak{m},1}$ である。段 1 により $K^{(\mathfrak{m})}/\mathcal{O}_K^\times K_{\mathfrak{m},1}$ は $\lambda$ の値域を $\lambda(\mathcal{O}_K^\times)\cong\mathcal{O}_K^\times/\mathcal{O}_{K,\mathfrak{m}}^\times$ で割ったものと同型である。以上をつなぐと完全列が得られる。$\operatorname{Cl}_K$ は有限群（イデアル類群 の記事の定理「類数の有限性」）で、$\lambda$ の値域も有限なので、$\operatorname{Cl}_{\mathfrak{m}}$ は有限で位数は上の式になる。$\square$

段 1。整数 $c\ge2$、素数 $r$、$k\ge2$ について、$x:=c^{r^{k-1}}$、$\Phi:=1+x+\cdots+x^{r-1}$ とおくと $(x-1)\Phi=c^{r^k}-1$ である。素数 $q\ne r$ が $\Phi$ を割るとする。$q$ は $c^{r^k}-1$ を割るので $q\nmid c$ で、$c$ の $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ での位数は $r^k$ を割る。位数が $r^{k-1}$ を割れば $x\equiv1\pmod q$ で $\Phi\equiv r\pmod q$ となり、$q\mid r$ に反する。よって位数はちょうど $r^k$ である。

段 2（$\Phi$ は $r$ と異なる素因数をもつ）。まず $r^2\nmid\Phi$ を示す。$r\mid\Phi$ とする。$r\mid x$ なら $\Phi\equiv1\pmod r$ なので $r\nmid x$ である。$x\not\equiv1\pmod r$ なら、Fermat の小定理 $x^r\equiv x\pmod r$ から $(x-1)\Phi=x^r-1\equiv x-1\not\equiv0\pmod r$ となり、$r\mid\Phi$ に反する。よって $x=1+ru$（$u\in\mathbb{Z}$）である。$r$ が奇数なら $x^j\equiv1+jru\pmod{r^2}$ なので $\Phi\equiv r+ru\cdot\frac{r(r-1)}2\equiv r\pmod{r^2}$ である。$r=2$ なら $x=(c^{2^{k-2}})^2$ は奇数の平方なので $x\equiv1\pmod8$ で、$\Phi=1+x\equiv2\pmod8$ である。どちらの場合も $r^2\nmid\Phi$ である。一方 $\Phi\ge1+x\ge1+2^r>r$ なので、$\Phi/r^{v_r(\Phi)}\ge\Phi/r>1$ は $r$ と異なる素因数をもつ。

段 3。段 1 により、段 2 で $k$ ごとに得た素因数 $q_k$ を法とする $c$ の位数は $r^k$ なので、$k$ が異なれば $q_k$ も異なる。$n=\prod_rr^{s_r}$ と素因数分解する。各 $i$ と各素数 $r\mid n$ について、$c=c_i$ に段 2 を使い、$k\ge\max(2,s_r)$ で $q_k$ が $c_1\cdots c_t$ を割らないものをとる（$c_1\cdots c_t$ を割る素数は有限個）。その $q_k$ を $q_{i,r}$ とし、$b$ を $q_{i,r}$ たちの相異なるものの積とする。$b$ は各 $c_j$ と互いに素である。中国剰余定理により $c_i$ の $(\mathbb{Z}/b\mathbb{Z})^\times$ での位数は各 $q_{i,r}$ を法とする位数の最小公倍数であり、それは $r^{s_r}$ で割り切れる $r^k$ をすべての $r\mid n$ について含むので、$n$ で割り切れる。$n=1$ なら $b=1$ でよい。$\square$

$\mathfrak{a}=\prod_{i=1}^t\mathfrak{p}_i^{k_i}$（$\mathfrak{p}_i\nmid\mathfrak{m}_0$ は相異なる素イデアル）と書き、$g_i:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}_i}(L/K)$ とおく。元の証明の段 1〜段 5 を、段 1 を次の段 1′ に取り替え、整数 $m_0$ を $b$ と読み替えて繰り返す。

段 1′（補助の円分体 $K(\zeta_b)$）。lem-rcf-order を $c_i:=N\mathfrak{p}_i$ に使って正の整数 $b$ をとる。$\mathfrak{p}_i$ の下の素数は $N\mathfrak{p}_i$ を割るので $b$ を割らない。よって Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「円分拡大の Artin 写像」の 1 により、$\mathfrak{p}_i$ は $K_0:=K(\zeta_b)$ で分岐せず、$h_i:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}_i}(K_0/K)$ は $\chi(h_i)=N\mathfrak{p}_i\bmod b$ を満たす。$\chi$ は単射なので $h_i$ の位数は $n$ で割り切れる。$L_0:=LK_0$ とし、$\operatorname{Gal}(L_0/K)$ を $\operatorname{Gal}(L/K)\times\operatorname{Gal}(K_0/K)$ の部分群とみなすと $\gamma_i:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}_i}(L_0/K)=(g_i,h_i)$ である。$\mathfrak{m}'$ を $\mathfrak{m}_0':=b\mathfrak{m}_0$、$\mathfrak{m}_\infty':=\mathfrak{m}_\infty$ の法とすると、$\mathfrak{p}_i\nmid\mathfrak{m}_0'$ なので $\mathfrak{a}\in I_K^{\mathfrak{m}'}$ であり、$H_{L,\mathfrak{m}'}\subset H_{L,\mathfrak{m}}$ である。

段 2 以降の確認。元の証明が $\mathfrak{m}_0$ は $n$ を割る素イデアルで割り切れることを使うのは、段 1 で補題「冪の位数」のために $N\mathfrak{p}_i$ を $n$ と素にすることと $I_K^{\mathfrak{m}'}=I_K^{\mathfrak{m}}$ を導くこと、段 2 で「$q_j$ は $m_0$ を割らない」を導くことだけである。前の 2 つは段 1′ で $b$ の選び方と $\mathfrak{a}\in I_K^{\mathfrak{m}'}$ に置き換えた。最後のものは、段 2 の素数 $q_j$ の選び方に $q_j\nmid b$ を加えれば成り立つ（$q\equiv1\pmod n$ となる素数は無限にあるので、有限個を除いても選べる）。このとき $q_j$ の上の $K$ の素イデアルは $L$ でも $K_0$ でも分岐しないので $L_0/K$ で分岐せず、同記事の補題「素数を法とする円分体の独立性」が使える。段 3・段 4 で同記事の補題「円分体との合成の補題」を使う条件、すなわち $\mathfrak{m}_0'\subset b\mathcal{O}_K$、$\mathfrak{m}_0''=m\mathfrak{m}_0\subset m\mathcal{O}_K$（$m=bq_1\cdots q_t$）、$L/K$ で分岐する素イデアルがすべて $\mathfrak{m}_0'$ と $\mathfrak{m}_0''$ を割ること、$\mathfrak{p}_i$ と $\mathfrak{q}_i$ が $\mathfrak{m}_0'$・$\mathfrak{m}_0''$ を割らないことは、$b$ の選び方と、$\mathfrak{q}_i$ を同記事の補題「指定した Frobenius 元をもつ素イデアル」で $m\mathfrak{m}_0$ を割らないようにとることから成り立つ。よって段 5 と同じく $\mathfrak{a}\in H_{L,\mathfrak{m}'}H_{L,\mathfrak{m}''}\subset H_{L,\mathfrak{m}}$ である。$\square$

$G:=\operatorname{Gal}(L/K)\cong\prod_{j=1}^r\mathbb{Z}/n_j\mathbb{Z}$ と巡回群の直積に分け、第 $j$ 成分以外への射影の核を $G_j$、$L_j:=L^{G_j}$ とする。$L_j/K$ は次数 $n_j\mid n$ の巡回拡大で、$\bigcap_jG_j=1$ である。分岐指数の乗法性により $L_j/K$ で分岐する素イデアルは $L/K$ でも分岐するので $\mathfrak{m}_0$ を割り、$\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0$ について $U_{\mathfrak{p}}^{(m_{\mathfrak{p}})}\subset(K_{\mathfrak{p}}^\times)^n\subset(K_{\mathfrak{p}}^\times)^{n_j}$ である。よって $\mathfrak{m}$ は $L_j/K$ について thm-rcf-cyclic の条件を満たし、$\psi_{L_j/K}(P_{K,\mathfrak{m}})=1$ である。$L/K$ で分岐する素イデアルはすべて $\mathfrak{m}_0$ を割るので $\psi_{L/K}$ は $I_K^{\mathfrak{m}}$ 上で定義され、$(\alpha)\in P_{K,\mathfrak{m}}$ について Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「Artin写像の基本性質」の 1 により $\psi_{L/K}((\alpha))|_{L_j}=\psi_{L_j/K}((\alpha))=1$、すなわち $\psi_{L/K}((\alpha))\in G_j$ がすべての $j$ で成り立つ。よって $\psi_{L/K}((\alpha))=1$ である。$\square$

1。$\mathfrak{p}\in T$ ごとに $L$ の素点 $w_{\mathfrak{p}}\mid\mathfrak{p}$ を 1 つとる。完備化 $L_{w_{\mathfrak{p}}}/K_{\mathfrak{p}}$ の分岐指数は $e(w_{\mathfrak{p}}\mid\mathfrak{p})=1$ なので（Neu99 Chapter II, Proposition (8.5) の後の段落, p. 165）、局所類体論 の記事の命題「不分岐拡大のノルム」の (a) により、イデールの $\mathfrak{p}$ 成分 $a_{\mathfrak{p}}$ は $L_{w_{\mathfrak{p}}}$ の単数 $y_{\mathfrak{p}}$ のノルムである。$w_{\mathfrak{p}}$ 成分が $y_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p}\in T$）でほかの成分が $1$ の $b\in J_L$ をとると（有限成分はすべて単数なのでイデールである）、$N_{L/K}(b)_{\mathfrak{p}}=\prod_{w\mid\mathfrak{p}}N_{L_w/K_{\mathfrak{p}}}(b_w)=a_{\mathfrak{p}}$ で、ほかの成分は $1$ である。

2。$w\mid v$ が実素点なら $L_w=K_v=\mathbb{R}$ で局所ノルムは恒等写像なので、$w$ 成分が $x$ でほかが $1$ の $b\in J_L$ のノルムは $x_v$ である。

最後の主張は、$\ker\theta_{L/K}=K^\times N_{L/K}(J_L)$（大域類体論 の記事の命題「イデールの形の相互法則」の 2）による。$\square$

$\theta_{L/K}(W_{\mathfrak{m}}^1)=1$ とし、$(\beta)\in P_{K,\mathfrak{m}}$（$\beta\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{m}_0}$、$\mathfrak{m}_\infty$ で正）をとる。$\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアル $\mathfrak{r}$ は $L/K$ で分岐しないので、cor-rcf-frobenius により $\theta_{L/K}(c_{\mathfrak{r}})=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{r}}$ である。イデール $c:=\prod_{\mathfrak{r}}c_{\mathfrak{r}}^{\,v_{\mathfrak{r}}(\beta)}$（積は $v_{\mathfrak{r}}(\beta)\ne0$ となる $\mathfrak{r}\nmid\mathfrak{m}_0$ をわたる有限積）について $\theta_{L/K}(c)=\psi_{L/K}((\beta))$ である。$c^{-1}\beta$ の成分は、$\mathfrak{r}\nmid\mathfrak{m}_0$ では単数、$\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0$ では $\beta\in U_{\mathfrak{p}}^{(v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{m}))}$（Artin写像とArtin相互法則 の記事の補題「ノルムと合同条件」の 1）、$\mathfrak{m}_\infty$ の実素点では正の $\beta$ なので、$c^{-1}\beta\in W_{\mathfrak{m}}^1$ である。$\theta_{L/K}(\beta)=1$ と合わせて $\psi_{L/K}((\beta))=\theta_{L/K}(c)=\theta_{L/K}(\beta)\,\theta_{L/K}(c^{-1}\beta)^{-1}=1$ である。$\square$

1。thm-rcf-conductor の 1 により $\mathfrak{m}$ は定義法なので、lem-rcf-idelic-criterion により $W_{\mathfrak{m}}^1\subset\ker\theta_{L/K}=K^\times N_{L/K}(J_L)$ である。よって $N_{K_{\mathfrak{m}}/K}(C_{K_{\mathfrak{m}}})=K^\times W_{\mathfrak{m}}^1/K^\times\subset N_{L/K}(C_L)$ であり、存在定理(類体論) の記事の命題「ノルム群の対応」の 3 により $L\subset K_{\mathfrak{m}}$ である。

2。$L\subset K_{\mathfrak{m}}$ ならノルムの推移性から $N_{K_{\mathfrak{m}}/K}(C_{K_{\mathfrak{m}}})\subset N_{L/K}(C_L)$ なので、$W_{\mathfrak{m}}^1\subset K^\times N_{L/K}(J_L)=\ker\theta_{L/K}$ である。lem-rcf-idelic-criterion により $\mathfrak{m}$ は定義法で、thm-rcf-conductor の 1 により $\mathfrak{f}(L/K)$ は $\mathfrak{m}$ を割る。

3。$L'/K$ で分岐しない素イデアルは $L/K$ でも分岐しないので、$\mathfrak{f}(L'/K)_0$ は $L/K$ で分岐する素イデアルで割り切れる。$(\alpha)\in P_{K,\mathfrak{f}(L'/K)}$ について、Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「Artin写像の基本性質」の 1 により $\psi_{L/K}((\alpha))=\psi_{L'/K}((\alpha))|_L=1$ である。よって $\mathfrak{f}(L'/K)$ は $L/K$ の定義法で、$\mathfrak{f}(L/K)$ に割られる。$\square$

$\sigma\in\operatorname{Gal}(L'/K')$ が $L$ 上で恒等なら、$L$ と $K'$ で生成される $L'$ の上でも恒等なので、制限は単射である。

段 1（法をそろえる）。$\mathfrak{n}$ を $L/K$ の定義法とする。$\mathfrak{p}\mid\mathfrak{n}_0$ の上の $K'$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ ごとに、局所体のノルム $N_{K'_{\mathfrak{P}}/K_{\mathfrak{p}}}$ は連続で $1$ を $1$ に写すので、$N_{K'_{\mathfrak{P}}/K_{\mathfrak{p}}}(U_{\mathfrak{P}}^{(k_{\mathfrak{P}})})\subset U_{\mathfrak{p}}^{(v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{n}))}$ となる $k_{\mathfrak{P}}$ がある。$L'/K'$ の定義法に、これらの $\mathfrak{P}^{k_{\mathfrak{P}}}$ と $K'$ のすべての実素点を掛けた法を $\mathfrak{n}'$ とする（定義法の倍数なので定義法）。$b\in W_{\mathfrak{n}'}$ なら $N_{K'/K}(b)\in W_{\mathfrak{n}}$ である：$\mathfrak{p}\mid\mathfrak{n}_0$ の成分は上の選び方から、$\mathfrak{n}_\infty$ の実素点 $v$ の成分 $\prod_{w\mid v}N_{K'_w/K_v}(b_w)$ は、実素点 $w$ の因子 $b_w>0$ と複素素点 $w$ の因子 $\lvert b_w\rvert^2>0$ の積なので正である。

段 2（イデアルの側）。$\mathfrak{n}_0'$ を割らない $K'$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ の下の $\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{n}_0$ を割らず、$f:=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ とすると $v_{\mathfrak{p}}(N_{K'_{\mathfrak{P}}/K_{\mathfrak{p}}}(x))=f\,v_{\mathfrak{P}}(x)$ である（局所体のノルム群 の記事の命題「ノルムの基本性質」の (ii)）。よって $b\in W_{\mathfrak{n}'}$ について $\iota^{\mathfrak{n}}(N_{K'/K}(b))=N_{K'/K}(\iota^{\mathfrak{n}'}(b))$（右辺はイデアルのノルム）である。また $\sigma:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L'/K')$ は、$\mathfrak{P}$ の上の $L'$ の素イデアル $\mathfrak{Q}$ を保ち、$x\in\mathcal{O}_{L'}$ について $\sigma(x)\equiv x^{N\mathfrak{P}}=x^{(N\mathfrak{p})^f}\pmod{\mathfrak{Q}}$ を満たす。$\sigma|_L$ と $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L/K)^f$ はともに $\mathfrak{q}:=\mathfrak{Q}\cap\mathcal{O}_L$ を保ち、$\mathcal{O}_L/\mathfrak{q}$ に $x\mapsto x^{(N\mathfrak{p})^f}$ を引き起こす（Frobenius元 の記事の定義「Frobenius元」）。$\mathfrak{p}$ は $L$ で分岐しないので、分解群と惰性群 の記事の系「惰性群の位数と完全列」により分解群 $D(\mathfrak{q}\mid\mathfrak{p})$ から剰余体の Galois 群への写像は単射であり、$\sigma|_L=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L/K)^f$ である（CF67 Chapter VII, §3.2, p. 166）。よって $\psi_{L'/K'}(\mathfrak{A})|_L=\psi_{L/K}(N_{K'/K}\mathfrak{A})$（$\mathfrak{A}\in I_{K'}^{\mathfrak{n}'}$）である。

段 3（結論）。$y\in J_{K'}$ に $\beta y\in W_{\mathfrak{n}'}$ となる $\beta\in K'^\times$ をとる。段 1 により $N_{K'/K}(\beta)N_{K'/K}(y)\in W_{\mathfrak{n}}$ で $N_{K'/K}(\beta)\in K^\times$ なので、段 2 から $$\theta_{L/K}(N_{K'/K}y)=\psi_{L/K}\bigl(\iota^{\mathfrak{n}}(N_{K'/K}(\beta y))\bigr)=\psi_{L/K}\bigl(N_{K'/K}\iota^{\mathfrak{n}'}(\beta y)\bigr)=\psi_{L'/K'}\bigl(\iota^{\mathfrak{n}'}(\beta y)\bigr)|_L=\theta_{L'/K'}(y)|_L$$ である。$\square$

段 1（$1$ の $n$ 乗根を添加する）。$K':=K(\zeta_n)$、$L':=LK'$ とする。$\mathfrak{p}$ は $n$ を割らないので、Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「円分拡大の Artin 写像」の 1 により $K'/K$ で分岐しない。$\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}$ を $K'$ の素イデアル、$u\in\mathcal{O}_{\mathfrak{P}}^\times$ とすると、$N_{K'/K}(u_{\mathfrak{P}})$ は $\mathfrak{p}$ 成分が単数 $N_{K'_{\mathfrak{P}}/K_{\mathfrak{p}}}(u)$ でほかが $1$ のイデールなので、仮定と lem-rcf-base-change により $\theta_{L'/K'}(u_{\mathfrak{P}})=1$ である。$n':=[L':K']$ は $n$ を割るので $\zeta_{n'}\in K'$ で、$\mathfrak{P}$ の下の素数は $n'$ を割らない。$\mathfrak{P}$ が $L'$ で分岐しなければ、分岐指数の乗法性から $\mathfrak{p}$ の $L'$ での分岐指数は $1$ で、$L\subset L'$ なので $\mathfrak{p}$ は $L$ で分岐しない。よって $K$ が $1$ の原始 $n$ 乗根を含む場合に示せばよい。

段 2（$S$ のとり方）。$K$ は $1$ の原始 $n$ 乗根を含むとする。イデアル類群の各類から $\mathfrak{p}$ と素な整イデアル $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_h$ を選ぶ（類の整イデアル $\mathfrak{a}$ に、$\alpha\in\mathfrak{a}^{-1}\setminus\mathfrak{a}^{-1}\mathfrak{p}$ をとって $\alpha\mathfrak{a}$ に取り替える）。$S$ を、すべての無限素点、$n$ を割る素イデアル、$\mathfrak{p}$ 以外の $L/K$ で分岐する素イデアル、$\mathfrak{a}_i$ の素因子からなる有限集合とする。$\mathfrak{p}\notin S$ であり、イデールとイデール類群 の記事の命題「十分大きい $S$ の $S$ イデール」により $J_K=J_{K,S}K^\times$ である。

段 3（ノルム群が Kummer 拡大のノルム群を含む）。$I_K(S):=\prod_{v\in S}(K_v^\times)^n\times\prod_{v\notin S}\mathcal{O}_v^\times$ とおく。$a\in I_K(S)$ を、$S$ の成分、$\mathfrak{p}$ 成分、それ以外の成分に分けて $a=a_Sa_{\mathfrak{p}}a'$ と書く。$a_S$ は $S$ に台をもつイデールの $n$ 乗なので $\theta_{L/K}(a_S)=1$（$\operatorname{Gal}(L/K)$ の位数は $n$）、仮定から $\theta_{L/K}(a_{\mathfrak{p}})=1$、$a'$ の成分は $L/K$ で分岐しない素イデアルでの単数なので lem-rcf-local-norms の 1 により $\theta_{L/K}(a')=1$ である。よって $C_K(S):=I_K(S)K^\times/K^\times$ は $N_{L/K}(C_L)=\ker(\theta_{L/K}\text{ の }C_K\text{ への誘導})$ に含まれる。$K$ の $S$ 単数群を $K_S$ とし、$T:=K(\sqrt[n]{K_S})$ とすると、存在定理(類体論) の記事の補題「Kummer拡大のノルム群」により $N_{T/K}(C_T)=C_K(S)\subset N_{L/K}(C_L)$ なので、同記事の命題「ノルム群の対応」の 3 により $L\subset T$ である。

段 4（$T$ は $\mathfrak{p}$ で分岐しない）。$K_S/K_S^n$ の代表 $x_1,\dots,x_s$ をとると $T=K(\sqrt[n]{x_1},\dots,\sqrt[n]{x_s})$ である。$x_i$ は $\mathfrak{p}$ で単数なので、$\mathfrak{d}_i:=\{d\in\mathcal{O}_K\mid dx_i\in\mathcal{O}_K\}$ は $\mathfrak{p}$ に含まれず、$d_i\in\mathfrak{d}_i\setminus\mathfrak{p}$ がとれる。$\sqrt[n]{d_i^nx_i}=d_i\sqrt[n]{x_i}$ なので $x_i$ を $d_i^nx_i$ に取り替えても $T$ は変わらず、$d_i^nx_i$ は $\mathcal{O}_K$ に属し $\mathfrak{p}$ で単数である。よって $x_i\in\mathcal{O}_K$ としてよい。$K_j:=K(\sqrt[n]{x_1},\dots,\sqrt[n]{x_j})$ とし、$\sqrt[n]{x_{j+1}}$ の $K_j$ 上の最小多項式を $h$ とする。$h$ は $X^n-x_{j+1}$ を割るので、$h$ の判別式は $\mathcal{O}_{K_j}$ で $X^n-x_{j+1}$ の判別式 $\pm n^nx_{j+1}^{n-1}$ を割る（Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「円分拡大の Artin 写像」の証明と同じく $\Delta(hg)=\Delta(h)\Delta(g)\operatorname{Res}(h,g)^2$ による）。$\mathfrak{p}$ の上の $K_j$ の素イデアルでは $n$ と $x_{j+1}$ は単数なので、代数体における素イデアルの分解 の記事の系「分岐する素イデアルは有限個」によりそれらは $K_{j+1}$ で分岐しない。分岐指数の乗法性により $\mathfrak{p}$ は $T$ で、したがって $L$ で分岐しない。$\square$