Serreの消滅定理

被覆 $\mathfrak{U}=(U_i)_{0\le i\le r}$ はアフィン開被覆なので、Lerayの定理(非輪状被覆) の例「分離的スキームのアフィン開被覆」により、準連接層のコホモロジーは $\mathfrak{U}$ の Čech 複体（全成分の版でも交代的な版でもよい）で計算できる。2 は、交代 Čech 複体が $r+1$ 個の開集合について $p>r$ で $0$ になることから従う。
1 を示す。$s=(i_0,\dots,i_p)\in\{0,\dots,r\}^{p+1}$ について $x_s:=x_{i_0}\cdots x_{i_p}$ とおく。Serreのひねり層 の命題「付随する層の茎と座標近傍」の 2 により、$\Gamma(U_s,\mathcal{O}(n))$ は局所化 $S_{x_s}$ の次数 $n$ の部分であり、Laurent 単項式 $x^m=x_0^{m_0}\cdots x_r^{m_r}$（$m\in\mathbb{Z}^{r+1}$、$|m|:=\sum_im_i=n$）のうち、負の指数をもつ添字の集合
$$ N(m):=\{i\mid m_i<0\} $$
が $s$ の成分の集合 $\{s\}:=\{i_0,\dots,i_p\}$ に含まれるものを $A$ 上の基底にもつ。制限写像はこれらの基底の包含である。$s$ は有限個なので、全成分の Čech 複体は
$$ \check{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{O}(n))=\bigoplus_{|m|=n}K_m^\bullet\otimes x^m,\qquad K_m^p:=\prod_{s\in\{0,\dots,r\}^{p+1},\ N(m)\subset\{s\}}A $$
と分かれる。$K_m^\bullet$ の微分は Čech の微分の式で、$N(m)\not\subset\{s\}$ となる成分を $0$ とみなしたものである。
$|m|=n\ge-r$ なら、すべての $m_i$ が負になることはない（そうなら $|m|\le-(r+1)$）ので、$N(m)$ に属さない添字 $v$ がある。$p\ge1$ について $h\colon K_m^p\to K_m^{p-1}$ を $(hc)_t:=c_{v\,t}$ で定める。$v\notin N(m)$ なので、$N(m)\subset\{t\}$ と $N(m)\subset\{v,t\}$ は同値であり、$h$ は well-defined である。Lerayの定理(非輪状被覆) の補題「層化した Čech 複体は分解である」の証明と同じ計算で、$p\ge1$ と $c\in K_m^p$ について
$$ (hdc)_s=(dc)_{v\,s}=c_s+\sum_{k=0}^{p}(-1)^{k+1}c_{v\,i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_p}=c_s-(dhc)_s $$
が成り立つ。ここで和の各項は、$N(m)\subset\{i_0,\dots,\widehat{i_k},\dots,i_p\}$ のときに限って現れ、それは $(dhc)_s$ の対応する項が現れる条件と同じである。よって $hd+dh=\mathrm{id}$ が $p\ge1$ の次数で成り立ち、$K_m^\bullet$ は正の次数で完全である。直和をとって $\check{H}^p(\mathfrak{U},\mathcal{O}(n))=0$（$p\ge1$）を得る。$\square$

射影空間への帰着。$P:=\mathbb{P}^r_A$ とし、$\mathcal{G}:=\iota_*\mathcal{F}$ とおく。閉埋め込みによる連接層の順像は連接であり（閉埋め込みは有限射であり、Noether スキームの有限射は連接層を連接層に送る。Har77 II 演習 5.5 (b)(c)、p. 124）、閉部分集合の上の層とその順像のコホモロジーは一致する（Har77 III.2.10、p. 209）。また $\mathcal{F}(n)=\mathcal{F}\otimes\iota^*\mathcal{O}_P(n)$ であり、$\mathcal{O}_P(n)$ は可逆層なので、射影公式(加群層) の定理「射影公式」により $\iota_*(\mathcal{F}(n))\cong\mathcal{G}(n)$ である。よって $H^i(X,\mathcal{F}(n))\cong H^i(P,\mathcal{G}(n))$ であり、$X=P$ の場合を示せばよい。
降下帰納法。$i\ge1$ について、次の主張 $(\mathrm{P}_i)$ を $i$ の大きい方から示す。
$(\mathrm{P}_i)$：$P$ 上の任意の連接層 $\mathcal{G}$ に対して整数 $n_i(\mathcal{G})$ があり、$n\ge n_i(\mathcal{G})$ ならば $H^i(P,\mathcal{G}(n))=0$ である。
$i>r$ では lem-serre-vanishing-projective-space の 2 により、任意の $n$ で $H^i(P,\mathcal{G}(n))=0$ なので $(\mathrm{P}_i)$ が成り立つ。$1\le i\le r$ とし、$(\mathrm{P}_{i+1})$ を仮定する。連接層 $\mathcal{G}$ をとる。Serreのひねり層 の系「ひねり層の直和の商」により、整数 $q$ と $N$ および全射 $\mathcal{E}:=\mathcal{O}_P(-q)^{\oplus N}\to\mathcal{G}$ がある。その核 $\mathcal{R}$ は連接層の間の射の核なので連接である（連接層 の系「連接層の射の核・像・余核」）。可逆層 $\mathcal{O}_P(n)$ とのテンソル積は完全なので、
$$ 0\to\mathcal{R}(n)\to\mathcal{E}(n)\to\mathcal{G}(n)\to0 $$
は完全であり、層コホモロジーの長完全列（層コホモロジー の定理「層コホモロジーの長完全列」）から完全列
$$ H^i(P,\mathcal{E}(n))\to H^i(P,\mathcal{G}(n))\to H^{i+1}(P,\mathcal{R}(n)) $$
を得る。$\mathcal{E}(n)\cong\mathcal{O}_P(n-q)^{\oplus N}$ である（Serreのひねり層 の定理「ひねり層の可逆性と積」）。コホモロジーは有限直和と可換なので、$n\ge q-r$ なら lem-serre-vanishing-projective-space の 1 により左端は $0$ である。$(\mathrm{P}_{i+1})$ により $n\ge n_{i+1}(\mathcal{R})$ なら右端は $0$ である。よって
$$ n_i(\mathcal{G}):=\max\bigl(q-r,\ n_{i+1}(\mathcal{R})\bigr) $$
とおけば $(\mathrm{P}_i)$ が成り立つ。
まとめ。連接層 $\mathcal{G}$ について $n_0:=\max_{1\le i\le r}n_i(\mathcal{G})$ とおけば（$r=0$ なら $n_0$ は任意）、すべての $i\ge1$ と $n\ge n_0$ で $H^i(P,\mathcal{G}(n))=0$ である。$\square$

prf-serre-vanishing の「射影空間への帰着」と同じく、閉埋め込み $\iota\colon X\to P:=\mathbb{P}^r_A$ による順像をとって $H^i(X,\mathcal{F})\cong H^i(P,\iota_*\mathcal{F})$ とし、$X=P$ の場合を示せばよい。
ひねり層の場合。すべての $p\ge0$ と $d\in\mathbb{Z}$ について $H^p(P,\mathcal{O}(d))$ は有限生成 $A$ 加群である。$p>r$ なら lem-serre-vanishing-projective-space の 2 により $0$ である。$r\ge1$ で $p\le r$ なら、射影空間上の直線束のコホモロジー の定理「射影空間上の直線束のコホモロジー」の 1〜3 により、$H^p(P,\mathcal{O}(d))$ は $0$ か、指数がすべて $0$ 以上（$p=0$）またはすべて $-1$ 以下（$p=r$）の次数 $d$ の（Laurent）単項式を基底とする自由 $A$ 加群である。そのような単項式は有限個なので、有限生成である。$r=0$ なら $P=D_+(x_0)\cong\operatorname{Spec}A$ で、$\mathcal{O}(d)$ は $x_0^d$ を基底とする自由層なので $H^0(P,\mathcal{O}(d))\cong A$ である。
降下帰納法。$i\ge0$ について、次の主張 $(\mathrm{Q}_i)$ を $i$ の大きい方から示す。
$(\mathrm{Q}_i)$：$P$ 上の任意の連接層 $\mathcal{G}$ について、$H^i(P,\mathcal{G})$ は有限生成 $A$ 加群である。
$i>r$ では lem-serre-vanishing-projective-space の 2 により $H^i(P,\mathcal{G})=0$ である。$0\le i\le r$ とし、$(\mathrm{Q}_{i+1})$ を仮定する。prf-serre-vanishing と同じく、全射 $\mathcal{E}:=\mathcal{O}_P(-q)^{\oplus N}\to\mathcal{G}$ とその連接な核 $\mathcal{R}$ をとると、長完全列から完全列
$$ H^i(P,\mathcal{E})\xrightarrow{\ \alpha\ }H^i(P,\mathcal{G})\xrightarrow{\ \beta\ }H^{i+1}(P,\mathcal{R}) $$
を得る。$H^i(P,\mathcal{E})\cong H^i(P,\mathcal{O}(-q))^{\oplus N}$ は上で見たとおり有限生成であり、$H^{i+1}(P,\mathcal{R})$ は $(\mathrm{Q}_{i+1})$ により有限生成である。$A$ は Noether 環なので有限生成 $A$ 加群の部分加群は有限生成であり、$\operatorname{im}\beta\subset H^{i+1}(P,\mathcal{R})$ は有限生成である。$\ker\beta=\operatorname{im}\alpha$ は有限生成加群の像なので有限生成である。短完全列 $0\to\ker\beta\to H^i(P,\mathcal{G})\to\operatorname{im}\beta\to0$ の両端が有限生成なので、$H^i(P,\mathcal{G})$ も有限生成である（両端の生成元の持ち上げを合わせたものが生成する）。よって $(\mathrm{Q}_i)$ が成り立つ。$\square$

豊富な可逆層 の定理「豊富な可逆層の冪は非常に豊富である」により、ある $m\ge1$ で $\mathcal{L}^{\otimes m}$ は $A$ 上非常に豊富である。$X$ は固有なので、射影射 の命題「固有射と非常に豊富な可逆層」により、閉埋め込み $\iota\colon X\to\mathbb{P}^N_A$ で $\iota^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{L}^{\otimes m}$ となるものがある。$0\le j< m$ について連接層 $\mathcal{F}_j:=\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes j}$ に thm-serre-vanishing を当て、$n\ge c_j$ で $H^i(X,\mathcal{F}_j(n))=0$（$i\ge1$）となる $c_j$ をとる。$c:=\max(0,c_0,\dots,c_{m-1})$、$n_0:=mc$ とおく。$n\ge n_0$ を $n=mk+j$（$0\le j< m$）と書くと $k\ge c\ge c_j$ であり、
$$ \mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n}\cong\mathcal{F}_j\otimes(\mathcal{L}^{\otimes m})^{\otimes k}=\mathcal{F}_j(k) $$
なので $H^i(X,\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes n})=0$ である。$\square$