ℓ進コホモロジー

核についての主張は定義から明らかである。全射性を示す。$U\to X$ をエタール射、$\zeta\in\mu_{\ell^\nu}(U)$ とする。$U':=\operatorname{Spec}_U\mathcal O_U[T]/(T^\ell-\zeta)\to U$ は階数 $\ell$ の有限自由射であり、$T^\ell-\zeta$ の $T$ による微分 $\ell T^{\ell-1}$ は $U'$ 上で可逆である（$\ell$ は可逆で、$T^{\ell^{\nu+1}}=\zeta^{\ell^\nu}=1$ より $T$ も可逆）。よって $U'\to U$ はエタールかつ全射で、エタール被覆である。$U'$ 上で $T\in\mu_{\ell^{\nu+1}}(U')$ かつ $T^\ell=\zeta$ だから、$\zeta$ は局所的に $\ell$ 乗の像になる。これが第1の列の全射性である。これは Kummer完全列 の全射性と同じ議論である。
第2の列について：$\mu_{\ell^\infty}$ の切断は局所的にはある $\mu_{\ell^m}$ の切断であり、第1の列の全射性を $\nu$ 回繰り返すと、局所的に $\mu_{\ell^{m+\nu}}$ の切断の $\ell^\nu$ 乗として書ける。$\ell^\nu$ 乗写像の核は $\mu_{\ell^\nu}$ である。

$\varprojlim$ が左完全であることは一般に成り立つので、右端の全射性だけを示す。$c=(c_\nu)\in\varprojlim C_\nu$ をとり、$S_\nu\subseteq B_\nu$ を $c_\nu$ の逆像とする。$S_\nu$ は空でない有限集合で、遷移写像は $S_{\nu+1}$ を $S_\nu$ へ移す。
各 $\nu$ について、$S_{\nu+j}$ の $S_\nu$ への像は $j$ について減少する空でない部分集合の列であり、$S_\nu$ が有限なのである所から一定になる。その一定の値を $S'_\nu$ とすると、$S'_\nu\neq\emptyset$ である。
遷移写像が $S'_{\nu+1}$ を $S'_\nu$ の上へ移すことを示す。$j$ を十分大きくとり、$S_{\nu+1+j}$ の $S_\nu$ への像が $S'_\nu$ に、$S_{\nu+1}$ への像が $S'_{\nu+1}$ に一致するようにする。$s\in S'_\nu$ に対し、$s$ の逆像 $u\in S_{\nu+1+j}$ をとり、$u$ の $S_{\nu+1}$ への像を $t$ とすると、$t\in S'_{\nu+1}$ で $t\mapsto s$ である。
したがって $b_1\in S'_1$ を選び、$b_2\in S'_2$ を $b_2\mapsto b_1$ となるように選び、以下同様に帰納的に選べる。$b=(b_\nu)\in\varprojlim B_\nu$ は $c$ に移る。

1. これはアーベル群論の標準的な構造定理（可除群は直和因子として分離でき、$\ell$ 準素な可除群は $\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ の直和であり、$M[\ell]$ が有限な $\ell$ 準素群の可除部分を除いた残りは有限であること）であり、ここでは引用する（［Kap69］。証明は Tate加群 で扱う）。$d$ は $(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^d[\ell]=(\mathbb Z/\ell)^d$ から $d\leq\dim_{\mathbb F_\ell}M[\ell]$ を満たす。$R$ は有限な $\ell$ 群なので $\ell^mR=0$ となる $m$ があり、$j\geq m$ で $\ell^jM=M_{\mathrm{div}}$ となるから、最後の等式が従う。
2. $x\mapsto\ell^\nu x$ は $M[\ell^{\nu+1}]\to M[\ell]$ を与え、その核は $M[\ell^\nu]$ である。よって $|M[\ell^{\nu+1}]|\leq|M[\ell^\nu]|\cdot|M[\ell]|$ で、帰納法により主張を得る。
3. 逆系は $M[\ell^\nu]=M_{\mathrm{div}}[\ell^\nu]\oplus R[\ell^\nu]$ と分解する。$\nu\geq m$ では $R[\ell^\nu]=R$ で、遷移写像は $R$ 上の $\ell$ 倍であり、$m$ 回合成すると $0$ になる。よって $R$ の部分の極限は $0$ で、$T_\ell(M)=T_\ell(M_{\mathrm{div}})$ である。$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ については $(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)[\ell^\nu]=\ell^{-\nu}\mathbb Z_\ell/\mathbb Z_\ell\cong\mathbb Z/\ell^\nu$ で、$\ell$ 倍の遷移は自然な射影 $\mathbb Z/\ell^{\nu+1}\to\mathbb Z/\ell^\nu$ に対応するので、極限は $\mathbb Z_\ell$ である。
4. $x\otimes\ell^{-\nu}=(\ell x)\otimes\ell^{-(\nu+1)}$ であり、$(\ell x)_{\nu+1}=\ell x_{\nu+1}=x_\nu$ だから $\theta$ は矛盾なく定まる。3 の同一視のもとで $\theta$ は $\mathbb Q_\ell^d\to(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^d$ の自然な射影にあたり、全射で核は $\mathbb Z_\ell^d$ である。

1. 冪根の層の完全列の第1の列から、長完全列の一部
$$ H^j(X,\mu_\ell)\to H^j(X,\mu_{\ell^{\nu+1}})\to H^j(X,\mu_{\ell^\nu}) $$
が完全である。中央の群は、右の群の部分群を左の群の商で拡大したものなので、$\nu$ についての帰納法で有限である。
2. 第2の列を $\nu=1$ で使うと $H^j(X,\mu_\ell)\to H^j(X,\mu_{\ell^\infty})\xrightarrow{\ \ell\ }H^j(X,\mu_{\ell^\infty})$ が完全である。すなわち $H^j(X,\mu_{\ell^\infty})[\ell]$ は $H^j(X,\mu_\ell)$ の像であり、有限である。

1. $X$ は準コンパクト準分離なので $M=\varinjlim_mH^i(X,\mu_{\ell^m})$ であり（定義の節の注意）、各 $H^i(X,\mu_{\ell^m})$ は $\ell^m$ 倍で消える。よって $M$ は $\ell$ 準素な捩れ群である。$N$ も同様。$M[\ell]$、$N[\ell]$ の有限性は有限性の伝播の命題の 2 による。
2. 冪根の層の第2の列の長完全列
$$ N\xrightarrow{\ \ell^\nu\ }N\xrightarrow{\ \partial\ }H^i(X,\mu_{\ell^\nu})\to M\xrightarrow{\ \ell^\nu\ }M $$
から、$\partial$ の像が $N/\ell^\nu N$、右側の写像の像が $M[\ell^\nu]$ として読める。遷移について：層の射の三つ組 $(\pi_\nu,\ \ell,\ \mathrm{id})$ は、$\nu+1$ 段の列
$0\to\mu_{\ell^{\nu+1}}\to\mu_{\ell^\infty}\xrightarrow{\ell^{\nu+1}}\mu_{\ell^\infty}\to0$
から $\nu$ 段の列への射を与える（左の四角はどちらの道も $s\mapsto s^\ell$、右の四角はどちらの道も $s\mapsto s^{\ell^{\nu+1}}$）。長完全列の自然性から、左の項（第3項 $\mu_{\ell^\infty}$ の $H^{i-1}$ の商）には恒等写像が誘導する射影が、右の項（中央 $\mu_{\ell^\infty}$ の $H^i$ の部分）には $\ell$ 倍が誘導される。
3. 1 と余有限な ℓ 準素群の補題により $N=N_{\mathrm{div}}\oplus R_N$、$R_N$ は有限で $\ell^mR_N=0$ となる $m$ がある。$N_{\mathrm{div}}$ は可除なので $N/\ell^\nu N=R_N/\ell^\nu R_N$ であり、$\nu\geq m$ ではこれは $R_N$ そのもので、遷移写像は恒等写像である。よって極限は $R_N\cong N/N_{\mathrm{div}}$ で、有限である。
4. 2 の列の三つの項はすべて有限である：中央は有限性の伝播の命題の 1、右は補題の 2、左は中央の部分群である。有限群の逆系の極限の完全性の補題により、2 の列の極限をとった列は完全である。左の極限は 3、中央の極限は定義により $H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))$、右の極限は 2 の遷移の記述により $T_\ell(M)$ である。$T_\ell(M)\cong\mathbb Z_\ell^d$ は自由（補題の 3）なので、全射 $H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell(M)$ は分裂する。$N/N_{\mathrm{div}}$ は有限だから捩れであり、$T_\ell(M)$ は捩れをもたないので、捩れ部分はちょうど $N/N_{\mathrm{div}}$ の像である。
5. 4 より $H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))\otimes\mathbb Q_\ell=T_\ell(M)\otimes\mathbb Q_\ell$ であり（有限な捩れは消える）、$H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))$ の像は $T_\ell(M)$ の像に一致する。補題の 4 を当てはめればよい。後半は、$M$ と $M_{\mathrm{div}}$ の差が有限群 $M/M_{\mathrm{div}}$（補題の 1）、$H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))$ とその捩れのない商の差が有限群 $N/N_{\mathrm{div}}$ であることによる。

$X$ が代数閉体上固有・連結・被約なら $\Gamma(X,\mathcal O_X)=k$ である（固有射の連接コホモロジーの有限性から従う標準的事実。［EGA3］。ここでは引用する）。よって $\Gamma(X,\mathbb G_m)=k^\times$ であり、$k$ が代数閉なのでこれは可除群である。したがって上の第1の列の左端は $0$ で、$H^1(X,\mu_{\ell^\nu})\cong\operatorname{Pic}(X)[\ell^\nu]$ となる。遷移写像は両辺で対応し、右辺では $\ell$ 倍なので、極限は Tate 加群 $T_\ell(\operatorname{Pic}(X))$ である。

(a) と $\otimes\mathbb Z/\ell^\nu$ の右完全性から $P^0/\ell^\nu\to\operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu\to NS(X)/\ell^\nu\to0$ が完全で、$P^0$ は可除なので $P^0/\ell^\nu=0$。よって $\operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu\cong NS(X)/\ell^\nu$ であり、$NS(X)$ は有限生成だから $\varprojlim_\nu NS(X)/\ell^\nu=NS(X)\otimes\mathbb Z_\ell$ である。
(b) と有限性の伝播の命題により $H^2(X,\mu_{\ell^\nu})$ は有限であり、上の第2の列の三つの項はすべて有限である。有限群の逆系の極限の完全性の補題により、極限をとった列は完全である。右の項の極限は、遷移が $\ell$ 倍なので $T_\ell(Br'(X))$ である。

列の存在。$T^{\ell^\nu}-1$ は $k$ 上分離的（微分 $\ell^\nu T^{\ell^\nu-1}$ は根で消えない）なので、分離閉体 $k$ の中に相異なる $\ell^\nu$ 個の根をもつ。$\mu_{\ell^\nu}(k)$ は $k^\times$ の有限部分群なので巡回群であり、位数は $\ell^\nu$ である。$\ell$ 乗写像 $\mu_{\ell^{\nu+1}}(k)\to\mu_{\ell^\nu}(k)$ の核は位数 $\ell$ の $\mu_\ell(k)$ なので、像の位数は $\ell^\nu$ で、この写像は全射である。よって原始根 $\zeta_1$ から始めて、$\zeta_{\nu+1}^\ell=\zeta_\nu$ となる $\zeta_{\nu+1}$ を順に選べる。$\zeta_{\nu+1}$ の位数は $\ell^{\nu+1}$ を割り、その $\ell$ 乗の位数が $\ell^\nu$ なので、ちょうど $\ell^{\nu+1}$ である。
層の同型。写像 $1\mapsto\zeta_\nu$ が層の同型 $\mathbb Z/\ell^\nu\cong\mu_{\ell^\nu}$ であることは、幾何的な点での茎で確かめればよい。茎の環は剰余体が分離閉な強ヘンゼル局所環 $A$ で、$\ell$ は $A$ で可逆である。$T^{\ell^\nu}-1$ は剰余体上分離的なので、Hensel の補題により $\mu_{\ell^\nu}(A)$ は剰余体の $\mu_{\ell^\nu}$ と一対一に対応し、位数 $\ell^\nu$ の巡回群である。$\zeta_\nu$ の剰余体での像は（体の準同型 $k\to$ 剰余体は単射なので）位数 $\ell^\nu$ のままであり、生成元になる。$n$ 個のテンソル積をとると $\mathbb Z/\ell^\nu\cong\mu_{\ell^\nu}^{\otimes n}$、$1\mapsto\zeta_\nu^{\otimes n}$ を得る。$\pi_\nu(\zeta_{\nu+1}^{\otimes n})=\zeta_\nu^{\otimes n}$ なので、自然な射影 $\mathbb Z/\ell^{\nu+1}\to\mathbb Z/\ell^\nu$ と両立する。コホモロジーをとって極限に移ればよい。
選択への依存。別の列 $\zeta'$ について、$\zeta'_\nu=\zeta_\nu^{u_\nu}$ となる $u_\nu\in(\mathbb Z/\ell^\nu)^\times$ が定まり、両立性から $(u_\nu)$ は $u\in\mathbb Z_\ell^\times$ を定める。すると $\zeta'^{\otimes n}_\nu=u_\nu^n\,\zeta_\nu^{\otimes n}$ だから、同型は $u^n$ 倍だけ変わる。