Stieltjes積分
概要
Stieltjes積分（Stieltjes integral）とは、区間を分けた各小区間で関数 $f$ の値に別の関数 $\alpha$ の増分を掛けて足した和の、分割を細かくしたときの極限 $\int_a^bf\,d\alpha$ である。$f$ が連続で $\alpha$ が有界変動ならこの積分は存在し、一方が存在すれば部分積分の公式 $\int f\,d\alpha+\int\alpha\,df=f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)$ が成り立つ。$\alpha$ が $C^1$ 級なら $d\alpha=\alpha'(x)\,dx$ と書き換えられ、$\alpha$ が階段関数なら積分は跳びの点での値の和になるので、和と積分を同じ式で扱える。床関数による積分は整数点での値の和であり、部分積分と組み合わせると Abel の総和公式が得られる。
Riemann 積分では、区間を小区間に分け、各小区間の「長さ」に関数の値を掛けて足した。この長さを、別の関数 $\alpha$ の増分 $\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})$ に取り替えたものが Stieltjes 積分（Stieltjes integral）$\int_a^bf\,d\alpha$ である。$\alpha(x)=x$ なら普通の Riemann 積分であり、$\alpha$ が整数で 1 ずつ跳ぶ床関数 $\lfloor x\rfloor$ なら、積分は整数点での値の和 $\sum_{a< n\le b}f(n)$ になる。和と積分、離散的な確率分布と連続的な確率分布の期待値を、1 つの式で扱える。
この記事の中心は、$f$ が連続で $\alpha$ が有界変動なら積分が存在すること、部分積分の公式 $\int f\,d\alpha+\int\alpha\,df=[f\alpha]_a^b$ が成り立つこと、$\alpha$ が滑らかなら $d\alpha=\alpha'(x)\,dx$ と書き換えられること、$\alpha$ が階段関数なら跳びの和になることである。部分積分と跳びの和を組み合わせると、整数論で使われる Abel の総和公式が得られる。高校数学の範囲での導入は Stieltjes積分（高校数学） にある。
定義
$[a,b]$（$a< b$）の 分割 $P\colon a=x_0< x_1<\cdots< x_n=b$ について、小区間の長さの最大値 $\lvert P\rvert:=\max_k(x_k-x_{k-1})$ を $P$ の 幅 という。各小区間から点 $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$ を選んだ組 $(P,\xi)$ を 代表点つき分割 という。
$f,\alpha\colon[a,b]\to\mathbb R$ と代表点つき分割 $(P,\xi)$ について
$$
S(P,\xi;f,\alpha):=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\bigl(\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})\bigr)
$$
を Riemann–Stieltjes 和 という。実数 $I$ があり、任意の $\varepsilon>0$ について $\delta>0$ がとれて、$\lvert P\rvert<\delta$ を満たすどの代表点つき分割についても $\lvert S(P,\xi;f,\alpha)-I\rvert<\varepsilon$ となるとき、$f$ は $\alpha$ について Stieltjes 積分可能 であるといい、$I$ を
$$
\int_a^bf\,d\alpha=\int_a^bf(x)\,d\alpha(x)
$$
と書いて Stieltjes 積分（Riemann–Stieltjes 積分）という。$f$ を被積分関数、$\alpha$ を積分関数という。
$\alpha(x)=x$ のとき、和は Riemann 和であり、Stieltjes 積分可能であることは $f$ が Riemann 積分可能であることと同じで、値も一致する（Riemann積分 の定理「Riemann和の極限としての積分」）。和の形から、$\int f\,d\alpha$ は $f$ についても $\alpha$ についても線形である。すなわち、右辺の積分がすべて存在すれば $\int(cf+g)\,d\alpha=c\int f\,d\alpha+\int g\,d\alpha$、$\int f\,d(c\alpha+\beta)=c\int f\,d\alpha+\int f\,d\beta$ である。また $f=1$ なら和は打ち消し合い、どの $\alpha$ についても $\int_a^b1\,d\alpha=\alpha(b)-\alpha(a)$ である。
積分関数として扱う関数の範囲は、単調関数 の定義「全変動と有界変動関数」の 有界変動関数 である。$V_a^b(\alpha)$ を $\alpha$ の全変動とする。単調関数は有界変動であり、有界変動関数は単調増加関数の差で書ける（同記事の定理「Jordan 分解」）。$C^1$ 級の関数は、平均値の定理により $V_a^b(\alpha)\le(b-a)\max\lvert\alpha'\rvert$ なので有界変動である。
主定理：連続関数の積分の存在
連続関数 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ について、$\omega_f(\delta):=\sup\{\lvert f(x)-f(y)\rvert\mid x,y\in[a,b],\ \lvert x-y\rvert\le\delta\}$ とおく。$f$ は 一様連続 なので（同記事の定理「Heine–Cantorの定理」）、$\delta\to0$ のとき $\omega_f(\delta)\to0$ である。
$f$ を連続、$\alpha$ を有界変動とする。代表点つき分割 $(P,\xi)$ と、$P$ の細分 $P'$（$P$ の分点をすべて含む分割）とその代表点 $\xi'$ について
$$
\bigl\lvert S(P,\xi;f,\alpha)-S(P',\xi';f,\alpha)\bigr\rvert\le\omega_f(\lvert P\rvert)\,V_a^b(\alpha)
$$
が成り立つ。
$P'$ の小区間 $J$ は、ただ 1 つの $P$ の小区間 $[x_{k-1},x_k]$ に含まれる。$P$ の小区間の増分 $\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})$ は、それに含まれる $J$ たちの増分 $\Delta_J\alpha$ の和なので
$$
S(P,\xi;f,\alpha)-S(P',\xi';f,\alpha)=\sum_J\bigl(f(\xi_{k(J)})-f(\xi'_J)\bigr)\Delta_J\alpha
$$
である。ここで $k(J)$ は $J$ を含む $P$ の小区間の番号、$\xi'_J$ は $J$ の代表点である。$\xi_{k(J)}$ と $\xi'_J$ は長さ $\lvert P\rvert$ 以下の同じ小区間にあるので、係数の絶対値は $\omega_f(\lvert P\rvert)$ 以下である。$\sum_J\lvert\Delta_J\alpha\rvert\le V_a^b(\alpha)$ と合わせて主張を得る。$\square$
$f\colon[a,b]\to\mathbb R$ が連続で、$\alpha\colon[a,b]\to\mathbb R$ が有界変動なら、$\int_a^bf\,d\alpha$ が存在する。さらに、どの代表点つき分割 $(P,\xi)$ についても
$$
\Bigl\lvert S(P,\xi;f,\alpha)-\int_a^bf\,d\alpha\Bigr\rvert\le\omega_f(\lvert P\rvert)\,V_a^b(\alpha),\qquad\Bigl\lvert\int_a^bf\,d\alpha\Bigr\rvert\le\Bigl(\max_{[a,b]}\lvert f\rvert\Bigr)V_a^b(\alpha)
$$
が成り立つ。
$V:=V_a^b(\alpha)$ とおく。2 つの代表点つき分割 $(P_1,\xi_1)$、$(P_2,\xi_2)$ について、分点を合わせた共通の細分 $P_3:=P_1\cup P_2$ に代表点 $\xi_3$ を勝手に選ぶ。lem-sti-refinement を 2 回使うと
$$
\lvert S(P_1,\xi_1)-S(P_2,\xi_2)\rvert\le\lvert S(P_1,\xi_1)-S(P_3,\xi_3)\rvert+\lvert S(P_3,\xi_3)-S(P_2,\xi_2)\rvert\le\bigl(\omega_f(\lvert P_1\rvert)+\omega_f(\lvert P_2\rvert)\bigr)V
$$
である（$f,\alpha$ は省いた）。$[a,b]$ の $m$ 等分に左端を代表点として選んだものを $(Q_m,\eta_m)$ とすると、$\lvert Q_m\rvert\to0$ なので、この不等式から $S(Q_m,\eta_m)$ は Cauchy 列であり、極限 $I$ をもつ。任意の $(P,\xi)$ について、不等式で $(P_2,\xi_2)=(Q_m,\eta_m)$ として $m\to\infty$ とすると $\lvert S(P,\xi)-I\rvert\le\omega_f(\lvert P\rvert)V$ を得る。$\varepsilon>0$ について $\omega_f(\delta)V<\varepsilon$ となる $\delta$ をとれば、$\lvert P\rvert<\delta$ のとき $\lvert S(P,\xi)-I\rvert<\varepsilon$ なので、$I=\int_a^bf\,d\alpha$ である。最後の不等式は $\lvert S(P,\xi)\rvert\le\max\lvert f\rvert\sum_k\lvert\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})\rvert\le\max\lvert f\rvert\,V$ で極限をとればよい。$\square$
評価 $\omega_f(\lvert P\rvert)V_a^b(\alpha)$ は、積分を数値的に近似するときの誤差の上界にもなる。$\alpha$ が単調増加のときは $V_a^b(\alpha)=\alpha(b)-\alpha(a)$ である。
Rud76 Definition 6.2（p. 122）は、$\alpha$ が単調増加のときに、上限和 $U(P,f,\alpha)=\sum_kM_k\Delta\alpha_k$ と下限和 $L(P,f,\alpha)=\sum_km_k\Delta\alpha_k$ の下限・上限が一致することで Stieltjes 積分を定義し、Theorem 6.8（pp. 125–126）で連続関数の積分可能性を示している。$f$ が連続なら、どの代表点つき分割でも $L\le S\le U$ かつ $U-L\le\omega_f(\lvert P\rvert)(\alpha(b)-\alpha(a))$ なので、2 つの定義は同じ値を与える。$f$ と $\alpha$ が同じ点で跳ぶときは食い違うことがある。$[0,1]$ 上で $f=\chi_{(1/2,1]}$、$\alpha=\chi_{[1/2,1]}$ とすると、$\frac12$ を分点に含む分割では $U=L=0$ なので同書の意味では積分は $0$ だが、$\frac12$ を内部に含む小区間の代表点を $\frac12$ の左右に取り替えると和は $0$ と $1$ になるので、この記事の意味では積分可能でない。
部分積分の公式
$f,\alpha\colon[a,b]\to\mathbb R$ とし、$\int_a^bf\,d\alpha$ が存在するとする。このとき $\int_a^b\alpha\,df$ も存在して
$$
\int_a^bf\,d\alpha+\int_a^b\alpha\,df=f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)
$$
が成り立つ。
$I:=\int_a^bf\,d\alpha$ とし、代表点つき分割 $(P,\xi)$、$P\colon a=x_0<\cdots< x_n=b$ をとる。和 $S(P,\xi;\alpha,f)=\sum_{k=1}^n\alpha(\xi_k)\bigl(f(x_k)-f(x_{k-1})\bigr)$ を $f(x_k)$ ごとにまとめ直すと
$$
f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)-S(P,\xi;\alpha,f)=f(x_0)\bigl(\alpha(\xi_1)-\alpha(a)\bigr)+\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\bigl(\alpha(\xi_{k+1})-\alpha(\xi_k)\bigr)+f(x_n)\bigl(\alpha(b)-\alpha(\xi_n)\bigr)
$$
となる。$\xi_0:=a$、$\xi_{n+1}:=b$ とおくと $a=\xi_0\le\xi_1\le\cdots\le\xi_n\le\xi_{n+1}=b$ であり、$x_k\in[\xi_k,\xi_{k+1}]$（$0\le k\le n$）である。よって右辺は、点 $\xi_0,\dots,\xi_{n+1}$ による分割と代表点 $x_k$ についての $f\,d\alpha$ の Riemann–Stieltjes 和である（長さ $0$ の小区間の項は $0$ なので取り除いてよく、残りは $[a,b]$ の分割になる）。各小区間 $[\xi_k,\xi_{k+1}]$ は $[x_{k-1},x_{k+1}]$（両端では $[x_0,x_1]$、$[x_{n-1},x_n]$）に含まれるので、この分割の幅は $2\lvert P\rvert$ 以下である。$\varepsilon>0$ について $I$ の定義の $\delta$ をとると、$\lvert P\rvert<\delta/2$ のとき
$$
\bigl\lvert S(P,\xi;\alpha,f)-\bigl(f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)-I\bigr)\bigr\rvert<\varepsilon
$$
である。これは $\int_a^b\alpha\,df=f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)-I$ を意味する。$\square$
連続関数 $f$ と有界変動関数 $\alpha$ について、thm-sti-existence と合わせると、有界変動関数 $\alpha$ を連続関数 $f$ で積分した $\int\alpha\,df$ も存在する。$f$ が有界変動でなくてもよい。
計算の 2 つの型
$g\colon[a,b]\to\mathbb R$ を Riemann 積分可能な関数、$\alpha$ を $[a,b]$ 上の $C^1$ 級の関数とする。このとき $\int_a^bg\,d\alpha$ が存在して
$$
\int_a^bg\,d\alpha=\int_a^bg(x)\alpha'(x)\,dx
$$
である。
$\lvert g\rvert\le K$ とする。代表点つき分割 $(P,\xi)$ について、平均値の定理により $\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})=\alpha'(\eta_k)(x_k-x_{k-1})$ となる $\eta_k\in(x_{k-1},x_k)$ がある。$T:=\sum_kg(\xi_k)\alpha'(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ とおくと
$$
\lvert S(P,\xi;g,\alpha)-T\rvert\le K\sum_k\lvert\alpha'(\eta_k)-\alpha'(\xi_k)\rvert(x_k-x_{k-1})\le K\,\omega_{\alpha'}(\lvert P\rvert)\,(b-a)
$$
である。$\alpha'$ は連続なので右辺は $\lvert P\rvert\to0$ で $0$ に収束する。$g\alpha'$ は Riemann 積分可能な関数の積なので Riemann 積分可能であり（Rud76 Theorem 6.13 (a)、p. 129）、$T$ はその Riemann 和なので $\lvert P\rvert\to0$ で $\int_a^bg\alpha'\,dx$ に収束する（Riemann積分 の定理「Riemann和の極限としての積分」）。$\square$
Rud76 Theorem 6.17（p. 131）は、$\alpha$ が単調増加で $\alpha'$ が Riemann 積分可能な場合に同じ式を示している。
$a=c_0< c_1<\cdots< c_m=b$ とし、$\alpha\colon[a,b]\to\mathbb R$ は各開区間 $(c_{j-1},c_j)$ の上で定数であるとする。$\alpha(c\pm)$ で片側極限を表す。連続関数 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ について
$$
\int_a^bf\,d\alpha=f(a)\bigl(\alpha(a+)-\alpha(a)\bigr)+\sum_{j=1}^{m-1}f(c_j)\bigl(\alpha(c_j+)-\alpha(c_j-)\bigr)+f(b)\bigl(\alpha(b)-\alpha(b-)\bigr)
$$
が成り立つ。
$\alpha$ は
$$
\alpha=\alpha(a)+\sum_{j=0}^{m-1}\bigl(\alpha(c_j+)-\alpha(c_j)\bigr)\chi_{(c_j,b]}+\sum_{j=1}^m\bigl(\alpha(c_j)-\alpha(c_j-)\bigr)\chi_{[c_j,b]}
$$
と単調な関数の有限個の線形結合で書ける（$(c_{j-1},c_j)$ の上では $\alpha(c_{j-1}+)$ に、$c_j$ では $\alpha(c_j)$ になることが、$\alpha(c_i-)=\alpha(c_{i-1}+)$ による打ち消し合いから確かめられる）。全変動は $V(\alpha+\beta)\le V(\alpha)+V(\beta)$ を満たすので $\alpha$ は有界変動であり、thm-sti-existence により積分は存在する。よって、幅が $0$ に近づく特別な分割の列で和の極限を計算すればよい。
$0< h<\frac12\min_j(c_j-c_{j-1})$ とし、点 $c_0+h$、$c_j\pm h$（$1\le j\le m-1$）、$c_m-h$ を分点に含み、残りの分点を幅が $2h$ 以下になるように $[c_{j-1}+h,c_j-h]$ の中に加えた分割をとる。$[c_{j-1}+h,c_j-h]$ の中の小区間では $\alpha$ の増分は $0$ である。残る小区間は $[a,a+h]$、$[c_j-h,c_j+h]$、$[b-h,b]$ で、増分はそれぞれ $\alpha(a+)-\alpha(a)$、$\alpha(c_j+)-\alpha(c_j-)$、$\alpha(b)-\alpha(b-)$ に等しい。代表点はそれぞれ $c_j$ から $h$ 以内にあるので、$h\to0$ で $f$ の値は $f(c_j)$ に収束し、和は右辺に収束する。$\square$
連続関数 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ について
$$
\int_a^bf(x)\,d\lfloor x\rfloor=\sum_{a< n\le b}f(n)
$$
である。和は $a< n\le b$ を満たす整数 $n$ にわたる。
$\lfloor x\rfloor$ は整数の間で定数で、右連続であり、整数 $n$ で $\lfloor n+\rfloor-\lfloor n-\rfloor=1$ である。thm-sti-step で、左端 $a$ の項は右連続性から $0$、内部の整数と右端 $b$（整数のとき）の項は $f(n)$ である。$\square$
高校数学では、Stieltjes積分（高校数学） の定理「床関数に関する Stieltjes 積分は和」で同じ式を直接計算している。
$(a_n)_{n\ge1}$ を実数列、$A(t):=\sum_{1\le n\le t}a_n$（$t<1$ では $A(t)=0$）とする。実数 $0\le x< y$ と、$[x,y]$ 上の $C^1$ 級の関数 $f$ について
$$
\sum_{x< n\le y}a_nf(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^yA(t)f'(t)\,dt
$$
が成り立つ。
$A$ は整数の間で定数で、右連続であり、整数 $n\ge1$ で $A(n+)-A(n-)=a_n$ である。thm-sti-step により $\int_x^yf\,dA=\sum_{x< n\le y}a_nf(n)$ である。thm-sti-parts により $\int_x^yA\,df$ も存在して $\int_x^yf\,dA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^yA\,df$ である。$A$ は不連続点が有限個の有界な関数なので Riemann 積分可能であり（Riemann積分 の注意「可積分な関数の範囲」）、thm-sti-smooth により $\int_x^yA\,df=\int_x^yA(t)f'(t)\,dt$ である。$\square$
これは Abelの級数変形法とその応用 の定理「総和関数による積分公式」と同じ式で、同記事は Stieltjes 積分を使わずに級数変形法から証明している。複素数列なら実部と虚部に分けて使えばよい。$a_n=1$ とすると $A(t)=\lfloor t\rfloor$ である。
$f$ を $[a,b]$ 上の $C^1$ 級の関数とし、$\{t\}:=t-\lfloor t\rfloor$ とする。thm-sti-smooth により $\int_a^b\{t\}\,df$ が存在するので、thm-sti-parts により $\int_a^bf\,d\{t\}=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int_a^b\{t\}f'(t)\,dt$ である。$\lfloor t\rfloor=t-\{t\}$ と線形性、cor-sti-floor から
$$
\sum_{a< n\le b}f(n)=\int_a^bf(t)\,dt-f(b)\{b\}+f(a)\{a\}+\int_a^b\{t\}f'(t)\,dt
$$
を得る。$a,b$ が整数なら $\sum_{n=a+1}^bf(n)=\int_a^bf(t)\,dt+\int_a^b\{t\}f'(t)\,dt$ である。$f(t)=t$、$a=0$、$b=1$ なら両辺とも $1$ である。高次の項まで続けたものが Euler–Maclaurinの公式 である。
確率変数 $X$ の分布関数を $F(x):=P(X\le x)$ とする。
- サイコロの目：$[0,6]$ 上で $F(x)=\lfloor x\rfloor/6$ である。thm-sti-step により $\int_0^6x\,dF(x)=\sum_{k=1}^6k\cdot\frac16=\frac72$ である。
- $[0,6]$ 上の一様分布：$F(x)=x/6$ なので、thm-sti-smooth により $\int_0^6x\,dF(x)=\int_0^6\frac x6\,dx=3$ である。
どちらも期待値 $E(X)$ に等しい。和と積分を使い分けていた 2 つの計算が、$\int x\,dF(x)$ という 1 つの式になる。
例と反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $f$ の連続性（thm-sti-existence） | $[0,1]$ 上で $f=\alpha=\chi_{[1/2,1]}$ | $\int_0^1f\,d\alpha$ が存在しない |
| $\alpha$ が有界変動（thm-sti-existence） | $[0,1]$ 上の連続な折れ線 $\alpha$（下の例）と $f=\alpha$ | $\int_0^1\alpha\,d\alpha$ が存在しない |
| $\alpha$ が $C^1$ 級（thm-sti-smooth） | $\alpha$ を Cantor 関数、$g=1$ | $\alpha'$ はほとんどすべての点で $0$ なのに $\int_0^1g\,d\alpha=1$ |
- $f=\alpha=\chi_{[1/2,1]}$：$\alpha$ は単調で有界変動である。$\frac12$ が分点でない分割では、$\frac12$ を内部に含む小区間 $[x_{k-1},x_k]$ だけで $\alpha$ の増分が $1$、ほかは $0$ なので、和は $f(\xi_k)$ に等しく、$\xi_k<\frac12$ なら $0$、$\xi_k\ge\frac12$ なら $1$ である。幅がいくら小さくても、$\frac12$ が分点でない分割で両方が起こるので、和は収束しない。
- 折れ線：$t_k:=\frac1k$（$k\ge1$）とし、$\alpha(0):=0$、$\alpha(t_k):=(-1)^k/\sqrt k$ とおいて、各 $[t_{k+1},t_k]$ の上で線形に結ぶ。$[0,t_k]$ の上で $\lvert\alpha\rvert\le1/\sqrt k$ なので $\alpha$ は連続だが、$\sum_k\lvert\alpha(t_k)-\alpha(t_{k+1})\rvert=\sum_k(\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}})=\infty$ なので有界変動でない。同じ分割で代表点を右端にした和から左端にした和を引くと $\sum_j\bigl(\alpha(x_j)-\alpha(x_{j-1})\bigr)^2$ になる。$\delta>0$ について、$1/K^2<\delta$ となる $K$ と $N>\max(K,1/\delta)$ をとり、分点 $0< t_N< t_{N-1}<\cdots< t_K$ に $[t_K,1]$ を幅 $\delta$ 未満に分ける点を加えると、幅は $\delta$ 未満で、差は $\sum_{k=K}^{N-1}(\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}})^2\ge\sum_{k=K}^{N-1}\frac1k$ 以上である。$N\to\infty$ でこれはいくらでも大きくなるので、和は収束しない。
- Cantor 関数 $\alpha$ は $[0,1]$ 上で単調増加かつ連続で、Cantor 集合（測度 $0$）の外の各点で微分係数 $0$ をもつ（Cantor集合 の命題「Cantor関数の構成」）。一方 $\int_0^11\,d\alpha=\alpha(1)-\alpha(0)=1$ である。$\alpha'$ がほとんどすべての点で $0$ であっても、Stieltjes 積分は $\int g\alpha'\,dx$ に書き換えられない。
補足
$\mathbb R$ 上の単調増加関数 $\alpha$ には、単調関数 の注意「単調関数と測度」の Lebesgue–Stieltjes 測度 $\mu_\alpha$ が対応する。$f$ が $[a,b]$ 上で連続で、$\alpha$ が $a,b$ で連続なら、Riemann–Stieltjes 和は $\lvert P\rvert\to0$ で $\int_{[a,b]}f\,d\mu_\alpha$ に収束し、$\int_a^bf\,d\alpha=\int_{[a,b]}f\,d\mu_\alpha$ である（この記事では証明しない。Tao11 Exercise 1.7.16、p. 193）。端点で $\alpha$ が跳ぶときは、両者の値は一般に異なる。たとえば thm-sti-step の左端の項は $\alpha(a+)-\alpha(a)$ を使うが、$\mu_\alpha(\{a\})=\alpha(a+)-\alpha(a-)$ には $a$ より左の値が入る。
関連項目
- 前提: Riemann積分, 単調関数, 一様連続, 平均値の定理
- 応用: Abelの級数変形法とその応用, Euler–Maclaurinの公式, 期待値
- 比較: Lebesgue測度, 測度, Cantor集合
- 高校数学: Stieltjes積分（高校数学）, 積分と和の類似
- 同じ便: Jordan測度, Wallis積分
参考文献
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