特異コホモロジーと層コホモロジーの比較

点 $x$ での茎の列が完全であることを示す。$\mathcal S^q_x=\varinjlim_{U\ni x}C^q(U;A)$ であり（$U$ は $x$ の開近傍を包含の逆順に動く）、有向系の帰納極限は完全列を保つので
$$ H^q(\mathcal S^\bullet_x)=\varinjlim_{U\ni x}H^q_{\mathrm{sing}}(U;A) $$
である。開近傍 $U$ に対し、定義のとおり $V\subset U$ をとり、包含 $j\colon V\hookrightarrow U$ が値 $u_0$ の定値写像 $c\colon V\to U$ とホモトピックであるとする。特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」により $j^*=c^*$ であり、$c$ は 1 点 $\{u_0\}$ を経由するので、$c^*$ は $H^q_{\mathrm{sing}}(\{u_0\};A)$ を経由する。
$q\ge1$ のとき、1 点の $q$ 次コホモロジーは $0$ なので（特異コホモロジー の例「一点と離散空間」）$j^*=0$ である。帰納極限の元はある $U$ の類で代表され、その類は $V$ への制限で $0$ になるから、$H^q(\mathcal S^\bullet_x)=0$ である。
$q=0$ のとき、$H^0_{\mathrm{sing}}(U;A)=\ker(\delta\colon C^0(U;A)\to C^1(U;A))$ は $U$ の各弧状連結成分の上で定数な $0$ 余鎖の全体である（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）。その元 $\varphi$ について $j^*\varphi=c^*\varphi$ は $V$ の上で定数 $\varphi(u_0)$ をとる。よって $\ker(\delta\colon\mathcal S^0_x\to\mathcal S^1_x)$ の元は定数の $0$ 余鎖の芽であり、$\varepsilon_x$ の像に入る。逆に、局所定数関数 $f$ と道 $\tau$ について $f\circ\tau$ は連結な $[0,1]$ の上の局所定数関数なので定数であり、$\delta(\varepsilon f)(\tau)=f(\tau(1))-f(\tau(0))=0$ となるから、$\delta\circ\varepsilon=0$ である。最後に $\varepsilon_x$ は単射である。$A_X$ の茎は $A$ であり（定数層 の定理「定数層の茎」）、定数 $a$ の芽が $\mathcal S^0_x$ で $0$ なら、ある近傍の上で $a$ が $0$ 余鎖として $0$ になり、点 $x$ での値 $a$ が $0$ である。$\square$

要点：加群の公理は単体ごとの等式から従い、作用は制限と両立するので層化に移る。

被覆と分割．$t\in\mathcal H(X)$ をとる。茎での全射性から、$X$ の開被覆と、各成員 $U$ の上の $s\in\mathcal G(U)$ で $v(s)=t|_U$ となるものがある。パラコンパクト Hausdorff 空間は正則なので（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）、同記事の補題「閉包を制御する細分」により、局所有限な開被覆 $(O_i)_{i\in I}$ と上の被覆の成員 $U_i\supset\overline{O_i}$ がとれる。$U_i$ の上の切断を $s_i$ とし、$K_i:=\overline{O_i}$ とおくと、$(K_i)$ は $X$ を覆う局所有限な閉集合の族で $K_i\subset U_i$ である（点の開近傍が $\overline{O_i}$ と交われば $O_i$ とも交わるので、閉包の族も局所有限である）。$I$ を整列させ（整列順序。選択公理を使う）、$W_i:=K_i\setminus\bigcup_{k< i}K_k$ とおく。$W_i$ は互いに交わらず $X$ を覆う。$W_i$ の特性関数を $e_i\in\mathcal D(X)$ とすると、$e_i$ は開集合 $X\setminus K_i$ の上で $0$ であり、各点の近傍では有限個を除いて $e_i=0$ なので、$\sum_ie_i=1$ が局所的な有限和として成り立つ。
修正．$v(s_k-s_i)=0$ なので、$U_i\cap U_k$ の上で $s_k-s_i=u(m_{ki})$ となる $m_{ki}\in\mathcal M(U_i\cap U_k)$ がただ 1 つある（層コホモロジー の命題「大域切断関手の左完全性」）。$e_km_{ki}$ は $(U_i\cap U_k)\setminus K_k$ の上で $0$ なので、$U_i\setminus K_k$ の上の $0$ と貼り合わさって $n_{ki}\in\mathcal M(U_i)$ を与える（$K_k\subset U_k$ なので、この 2 つの開集合は $U_i$ を覆う）。$n_{ki}$ は $K_k$ の外で $0$ なので $\sum_kn_{ki}$ は局所的な有限和であり、
$$ s_i':=s_i+u\Bigl(\sum_kn_{ki}\Bigr)\in\mathcal G(U_i) $$
が定まる。$U_i\cap U_j\cap U_k$ の上では $u(m_{ki}-m_{kj})=s_j-s_i=u(m_{ji})$ だから $n_{ki}-n_{kj}=e_km_{ji}$ であり、$(U_i\cap U_j)\setminus K_k$ の上では両辺とも $0$ である。よって $U_i\cap U_j$ の上で $\sum_k(n_{ki}-n_{kj})=\bigl(\sum_ke_k\bigr)m_{ji}=m_{ji}$ となり、
$$ s_i'-s_j'=s_i-s_j+u(m_{ji})=0 $$
である。層の公理により $s_i'$ は $s\in\mathcal G(X)$ に貼り合わさり、$v\circ u=0$ から $v(s)|_{U_i}=v(s_i)=t|_{U_i}$ となる。$\square$

$\mathcal C^0(\mathcal M)$ を不連続切断の層 $U\mapsto\prod_{x\in U}\mathcal M_x$ とする（Godementの標準分解 の定義「不連続切断の層」）。これは脆弱層であり（同記事の定理「Godement の標準分解の基本性質」の 2）、$\rho\in\mathcal D(U)$ を各成分に芽 $\rho_x$ で作用させると $\mathcal D$ 加群になる。芽をとる単射 $\mathcal M\to\mathcal C^0(\mathcal M)$ は $\mathcal D$ 線形なので、商 $\mathcal Q:=\mathcal C^0(\mathcal M)/\mathcal M$ も $\mathcal D$ 加群である。$0\to\mathcal M\to\mathcal C^0(\mathcal M)\to\mathcal Q\to0$ の長完全列（層コホモロジー の定理「層コホモロジーの長完全列」）と脆弱層の非輪状性（同記事の定理「脆弱層の非輪状性」）から、
$$ \mathcal C^0(\mathcal M)(X)\to\mathcal Q(X)\to H^1(X,\mathcal M)\to0,\qquad H^i(X,\mathcal M)\cong H^{i-1}(X,\mathcal Q)\quad(i\ge2) $$
を得る。lem-ssc-surjective により左端の写像は全射なので $H^1(X,\mathcal M)=0$ である。これはすべての $\mathcal D$ 加群について成り立つから、$i$ についての帰納法で、$\mathcal D$ 加群 $\mathcal Q$ について $H^{i-1}(X,\mathcal Q)=0$ であることから $H^i(X,\mathcal M)=0$ を得る。最後の主張は lem-ssc-module による。$\square$

1．開被覆 $\mathcal U$ について、$\mathcal U$ に小さい単体（像が $\mathcal U$ のある成員に入る単体）の鎖の包含を $\iota\colon C^{\mathcal U}_\bullet(X)\hookrightarrow C_\bullet(X)$ とする。切除定理(特異ホモロジー) の定理「小さい単体の鎖への変形」により $\iota$ は鎖ホモトピー同値なので、$\operatorname{Hom}(-,A)$ をとった制限 $\iota^\sharp\colon C^\bullet(X;A)\to\operatorname{Hom}(C^{\mathcal U}_\bullet(X),A)$ も余鎖ホモトピー同値であり、コホモロジーの同型を誘導する。$C_q(X)$ は小さい単体が生成する部分と残りの単体が生成する部分の直和なので、$\iota^\sharp$ は全射である（残りの単体で $0$ として延ばす）。その核 $K^\bullet_{\mathcal U}$ は $\mathcal U$ に小さいすべての単体で $0$ になる余鎖の全体であり、短完全列 $0\to K^\bullet_{\mathcal U}\to C^\bullet(X;A)\to\operatorname{Hom}(C^{\mathcal U}_\bullet(X),A)\to0$ の長完全列から、すべての次数で $H^q(K^\bullet_{\mathcal U})=0$ である。
$\varphi\in C^q_0(X;A)$ が $\delta\varphi=0$ を満たすとする。各点 $x$ の開近傍 $U_x$ で $\varphi|_{U_x}=0$ となるものをとり、$\mathcal U:=\{U_x\}_{x\in X}$ とおくと $\varphi\in K^q_{\mathcal U}$ である。よって $\varphi=\delta\psi$ となる $\psi\in K^{q-1}_{\mathcal U}$ がある（$q=0$ なら $\varphi=0$）。$\psi$ は各 $U_x$ に入る単体で $0$ なので、$\psi\in C^{q-1}_0(X;A)$ である。
2．$s\in\Gamma(X,\mathcal S^q)$ をとる。層化の切断の定め方から、$X$ の開被覆と、各成員 $U$ の上の余鎖 $\varphi_U\in C^q(U;A)$ で、$U$ の各点での芽が $s$ の芽に等しいものがある。prf-ssc-surjective と同じく、成員 $U_i$、その上の余鎖 $\varphi_i$、$X$ を覆う局所有限な閉集合の族 $K_i\subset U_i$、互いに交わらない $W_i:=K_i\setminus\bigcup_{k< i}K_k$ をとる。特異 $q$ 単体 $\sigma$ について、$\sigma(e_0)\in W_i$ となる $i$ はただ 1 つなので、
$$ \varphi(\sigma):=\begin{cases}\varphi_i(\sigma)&(\sigma(e_0)\in W_i\text{ かつ }\sigma(\Delta^q)\subset U_i)\\0&(\text{それ以外})\end{cases} $$
で $\varphi\in C^q(X;A)$ が定まる。点 $x$ の開近傍 $N$ で、$N$ と交わる $K_i$ が有限個であるものをとる。$x\notin K_i$ となるそれらの $K_i$ を除くように $N$ を縮めると、残る $i$（有限個）はすべて $x\in K_i\subset U_i$ を満たす。それらの $\varphi_i$ の $x$ での芽はどれも $s_x$ に等しいので、$N$ をさらに縮めて、$N\subset U_i$ かつ $\varphi_i|_N$ がすべて等しいとしてよい。$N$ に入る単体 $\sigma$ について、$\sigma(e_0)\in W_i\subset K_i$ となる $i$ は残った $i$ のどれかで、$\sigma(\Delta^q)\subset N\subset U_i$ だから $\varphi(\sigma)=\varphi_i(\sigma)$ である。よって $\varphi|_N$ は共通の $\varphi_i|_N$ に等しく、$\varphi$ の $x$ での芽は $s_x$ に等しい。すなわち $\pi(\varphi)=s$ である。
最後の主張．$\ker\pi=C^\bullet_0(X;A)$ なので、余鎖複体の短完全列 $0\to C^\bullet_0(X;A)\to C^\bullet(X;A)\xrightarrow{\pi}\Gamma(X,\mathcal S^\bullet)\to0$ がある。その長完全列と 1 による。$\square$

1 は lem-ssc-local である。2 の前半は prop-ssc-acyclic、後半は lem-ssc-global である。3：1 と 2 により $0\to A_X\to\mathcal S^\bullet$ は非輪状分解なので、層コホモロジー の命題「非輪状分解による計算」により $H^q(X,A_X)\cong H^q(\Gamma(X,\mathcal S^\bullet))$ であり、2 により右辺は $\pi$ を通じて $H^q_{\mathrm{sing}}(X;A)$ と同型である。$\square$

要点：主定理の 1・2 の証明は $C^\infty$ 級特異単体でもそのまま通り、制限 $r$ は 2 つの非輪状分解の間の射を与える。

左の同型は de Rhamの定理 の定理「de Rham の定理」（Mayer–Vietoris 完全列による証明が同記事にある）、右の同型は cor-ssc-smooth を $A=\mathbb R$ として得られる。$\square$