Gelfand–Mazurの定理

$\widehat A$ は $A$ の Cauchy 列の同値類からなる Banach 空間で、$A$ は稠密な部分空間として入っている。$a,a',b,b'\in A$ について

$\displaystyle \|ab-a'b'\|\le\|a-a'\|\,\|b\|+\|a'\|\,\|b-b'\|$

である。$x,y\in\widehat A$ を $A$ の列 $a_n\to x$、$b_n\to y$ で近似すると、上の不等式から $(a_nb_n)$ は Cauchy 列なので、極限 $xy:=\lim a_nb_n$ がある。別の近似列 $a'_n\to x$、$b'_n\to y$ をとっても、同じ不等式から $\|a_nb_n-a'_nb'_n\|\to0$ なので、$xy$ は近似列の選び方によらない。双線形性、結合法則、$1$ が単位元であること、$\|xy\|\le\|x\|\|y\|$ は、$A$ で成り立つ等式・不等式の極限をとれば得られる。$\|1\|=1$ は $A$ のノルムのままである。延長の一意性は、積が連続で $A$ が稠密であることから従う。$\square$

$A$ を複素数体上の可除なノルム環とし、$x\notin\mathbb C1$ と仮定する。すべての $z\in\mathbb C$ で $x-z1\ne0$ なので $R(z):=(x-z1)^{-1}$ があり、$\varphi(z):=\|R(z)\|>0$ とおく。

段 1（逆元の評価と連続性）。 $y\in A$ が可逆で $\|h\|\,\|y^{-1}\|\le\frac12$ なら、$y+h$ は可逆で $\|(y+h)^{-1}\|\le2\|y^{-1}\|$ である。実際 $y+h=0$ なら $1+y^{-1}h=0$ だが $\|y^{-1}h\|\le\frac12< 1=\|1\|$ なので、$y+h\ne0$ であり、可除性から逆元 $w$ がある。$y^{-1}=y^{-1}(y+h)w=w+y^{-1}hw$ から $\|w\|\le\|y^{-1}\|+\frac12\|w\|$、すなわち $\|w\|\le2\|y^{-1}\|$ である。さらに $(y+h)^{-1}-y^{-1}=-(y+h)^{-1}hy^{-1}$ のノルムは $2\|y^{-1}\|^2\|h\|$ 以下なので、逆元をとる写像は連続であり、$\varphi$ は連続である。

段 2（最大値）。 $|z|\ge2\|x\|$ なら、段 1 を $y=-z1$、$h=x$ に使うと $\varphi(z)\le2/|z|$ である。よって $\varphi(z)\to0$（$|z|\to\infty$）であり、$\varphi$ は最大値 $M>0$ をとる。$D:=\{z\mid\varphi(z)=M\}$ は空でない閉集合である。

段 3（$D$ は開集合）。 $z_0\in D$ とし、$x$ を $x-z_0 1$ に替えて $z_0=0$、すなわち $\|x^{-1}\|=M$ としてよい。$0< r< 1/M$ を固定し、$n\ge1$、$\omega:=e^{2\pi i/n}$ とおく。多項式の等式 $\prod_{k=0}^{n-1}(X-r\omega^k)=X^n-r^n$ を微分すると $\sum_{k=0}^{n-1}\prod_{j\ne k}(X-r\omega^j)=nX^{n-1}$ である。$x$ と $x-r\omega^j1$ たちは互いに可換なので、$X$ に $x$ を代入し、両辺に $\prod_j(x-r\omega^j1)^{-1}=(x^n-r^n1)^{-1}$ を掛けると

$\displaystyle S_n:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}R(r\omega^k)=x^{n-1}(x^n-r^n1)^{-1}$

を得る。$y_n:=r^nx^{-n}$ とおくと $\|y_n\|\le(rM)^n\to0$ であり、$x^n-r^n1=x^n(1-y_n)$ である。$\|y_n\|\le\frac12$ となる $n$ では段 1 により $\|(1-y_n)^{-1}\|\le2$ なので、

$\displaystyle \|S_n-x^{-1}\|=\|x^{-1}\,r^n(x^n-r^n1)^{-1}\|=\|x^{-1}y_n(1-y_n)^{-1}\|\le2M(rM)^n\to0$

である。よって $\|S_n\|\to M$ である。いま、ある $\theta_0$ で $\varphi(re^{i\theta_0})< M$ とすると、$\varphi$ の連続性から $\delta>0$ と $\eta\in(0,\pi)$ があって、$|\theta-\theta_0|< \eta$ なら $\varphi(re^{i\theta})\le M-\delta$ である。長さ $2\eta$ の区間に入る $\frac{2\pi k}{n}$（$0\le k< n$、$2\pi$ を法として）は少なくとも $\frac{n\eta}{\pi}-1$ 個あるので、

$\displaystyle \|S_n\|\le\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\varphi(r\omega^k)\le M-\delta\Bigl(\frac{\eta}{\pi}-\frac1n\Bigr)$

である。$n\to\infty$ とすると $M\le M-\delta\eta/\pi$ となって矛盾する。よって半径 $r$ の円周の上で $\varphi=M$ であり、$r\in(0,1/M)$ は任意なので、$D$ は $z_0$ を中心とする半径 $1/M$ の開円板を含む。

段 4（結論）。 $D$ は $\mathbb C$ の空でない開かつ閉な部分集合なので、連結空間 $\mathbb C$ の全体に等しい。これは段 2 の $\varphi(z)\to0$ に反する。よって $x\in\mathbb C1$ である。$\square$

1：$\|1-a\|< 1$ なら $a$ は Neumann 級数により可逆なので、真のイデアル $\mathfrak m$ はこの開球と交わらず、閉包 $\overline{\mathfrak m}$ も $1$ を含まない。積と和の連続性から $\overline{\mathfrak m}$ はイデアルなので、極大性から $\overline{\mathfrak m}=\mathfrak m$ である。閉部分空間による商なので $A/\mathfrak m$ は Banach 空間である。$m,m'\in\mathfrak m$ について $(a+m)(b+m')\in ab+\mathfrak m$ なので $\|ab+\mathfrak m\|\le\|a+m\|\|b+m'\|$ であり、下限をとって $\|ab+\mathfrak m\|\le\|a+\mathfrak m\|\|b+\mathfrak m\|$ を得る。$\|1+\mathfrak m\|\le1$ であり、$1+\mathfrak m\ne0$ と $\|1+\mathfrak m\|=\|(1+\mathfrak m)^2\|\le\|1+\mathfrak m\|^2$ から $\|1+\mathfrak m\|=1$ である。可換環の極大イデアルによる商は体なので、$A/\mathfrak m$ は可除な Banach 環である。

2：thm-gm-main により、各 $a$ について $a+\mathfrak m=\lambda(1+\mathfrak m)$ となる $\lambda\in\mathbb C$ がただ 1 つある。これを $\chi(a)$ とおくと、$\chi$ は商写像と同型 $A/\mathfrak m\cong\mathbb C$ の合成なので環準同型で、核は $\mathfrak m$ である。$\chi'$ も核が $\mathfrak m$ の指標なら、$\chi'(1)^2=\chi'(1)\ne0$ から $\chi'(1)=1$ であり、$a-\chi(a)1\in\mathfrak m=\ker\chi'$ から $\chi'(a)=\chi(a)$ である。

3：$\psi(1)^2=\psi(1)$ と $\psi\ne0$ から $\psi(1)=1$ であり、複素線形性から $\psi(\lambda1)=\lambda$ なので $\psi$ は全射である。$A/\ker\psi\cong\mathbb C$ は体なので、$\ker\psi$ は極大イデアルである。$\square$

複素化。 $B:=A\times A$ の元 $(a,b)$ を $a+ib$ と書き、積を $(a+ib)(c+id):=(ac-bd)+i(ad+bc)$、複素数倍を $(s+it)(a+ib):=(sa-tb)+i(ta+sb)$ で定める。$A$ が結合的なので $B$ は複素数体上の結合的な多元環で、$1+i0$ が単位元である（$B$ は テンソル積 $A\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ にあたる）。$\operatorname{Re}(a+ib):=a$ とおき、

$\displaystyle q(z):=\sup_{\theta\in\mathbb R}\|\operatorname{Re}(e^{i\theta}z)\|=\sup_\theta\|a\cos\theta-b\sin\theta\|\qquad(z=a+ib)$

と定める。$q(e^{i\varphi}tz)=tq(z)$（$t\ge0$）と三角不等式は定義から従い、$\theta=0,-\pi/2$ を考えると $\max\{\|a\|,\|b\|\}\le q(z)\le\|a\|+\|b\|\le2q(z)$ である。とくに $q$ は複素ベクトル空間 $B$ のノルムで、$q(1)=1$ である。$w=c+id$ について

$\displaystyle q(zw)\le\|ac-bd\|+\|ad+bc\|\le(\|a\|+\|b\|)(\|c\|+\|d\|)\le4q(z)q(w)$

なので、lem-gm-renorm のノルム $\|\cdot\|_B$ で $B$ は複素数体上のノルム環になり、$q\le\|\cdot\|_B\le4q$ である。

境界の点。 $x\in A$ を $B$ の元 $x+i0$ とみる。lem-gm-completion の完備化 $\widehat B$ の中で $\sigma_{\widehat B}(x)$ は空でないコンパクト集合なので、境界の点 $\lambda=\alpha+i\beta$ があり、prf-gm-main の一般の場合と同じく、$\|c_n\|_B\to1$、$\|(\lambda1-x)c_n\|_B\to0$ となる $c_n\in B$ がある。$p:=x^2-2\alpha x+(\alpha^2+\beta^2)1\in A$ とおくと $p=(\overline\lambda1-x)(\lambda1-x)$ なので、$\|pc_n\|_B\to0$ である。$c_n=u_n+iv_n$（$u_n,v_n\in A$）と書くと $pc_n=pu_n+ipv_n$ なので、$\|pu_n\|,\|pv_n\|\le q(pc_n)\le\|pc_n\|_B\to0$ である。

結論。 $p\ne0$ なら $p$ は $A$ で可逆で、$\|u_n\|\le\|p^{-1}\|\|pu_n\|\to0$、同様に $\|v_n\|\to0$ なので、$\|c_n\|_B\le4q(c_n)\le4(\|u_n\|+\|v_n\|)\to0$ となって $\|c_n\|_B\to1$ に反する。よって $p=0$ である。$\square$

実数 $t$ を $t1$ と同一視する。$A\ne\mathbb R$ とし、$a\notin\mathbb R$ をとる。lem-gm-real-quadratic の $\alpha,\beta$ について $(a-\alpha)^2=-\beta^2$ である。$\beta=0$ なら零因子がないことから $a=\alpha\in\mathbb R$ となるので $\beta\ne0$ であり、$i:=(a-\alpha)/\beta$ は $i^2=-1$ を満たす。$\mathbb C_A:=\mathbb R+\mathbb Ri$ は $\mathbb C$ と同型な部分体である。

段 1（分解）。 $A_\pm:=\{x\in A\mid ix=\pm xi\}$ とおくと、$x_\pm:=\frac12(x\mp ixi)$ が $x_\pm\in A_\pm$、$x=x_++x_-$ を満たし、$A_+\cap A_-=0$ なので $A=A_+\oplus A_-$ である（実可除多元環 の定理「結合的な場合の分類（Frobenius）」の証明の段 2 と同じ計算）。$x,y\in A_-$ なら $i(xy)=-xiy=xyi$ なので $xy\in A_+$ である。

段 2（$A_+=\mathbb C_A$）。 $x\in A_+$ について、lem-gm-real-quadratic から $(x-\gamma)^2=c$ となる実数 $\gamma,c$ がある。$c\ge0$ なら $s:=\sqrt c$ について $(x-\gamma-s)(x-\gamma+s)=0$ なので $x=\gamma\pm s\in\mathbb R$ である。$c< 0$ なら $s:=\sqrt{-c}$ とおくと、$x-\gamma$ は $i$ と可換なので $(x-\gamma-si)(x-\gamma+si)=(x-\gamma)^2+s^2=0$ であり、$x=\gamma\pm si\in\mathbb C_A$ である。

段 3（$A_-$）。 $A_-=0$ なら $A=\mathbb C_A\cong\mathbb C$ である。$y\in A_-$、$y\ne0$ をとる。段 1 から $y^2\in A_+=\mathbb C_A$ なので $y^2=\mu+\nu i$（$\mu,\nu\in\mathbb R$）と書ける。$y\,y^2=y^2\,y$ の両辺を $yi=-iy$ で整理すると $2\nu\,iy=0$ なので $\nu=0$ である。$\mu\ge0$ なら $(y-\sqrt\mu)(y+\sqrt\mu)=0$ から $y\in\mathbb R\subset A_+$ となって $A_+\cap A_-=0$ に反するので、$\mu< 0$ である。$j:=y/\sqrt{-\mu}$ とおくと $j^2=-1$、$ij=-ji$ である。$x\in A_-$ なら段 1 から $xj\in A_+=\mathbb C_A$ であり、$j^{-1}=-j$ なので $x=-(xj)j\in\mathbb C_Aj$ である。逆に $\mathbb C_Aj\subset A_-$ なので $A_-=\mathbb C_Aj$ である。

段 4（四元数）。 $k:=ij$ とおくと $k^2=ijij=-i^2j^2=-1$ などの 四元数 の積の表が成り立つ。$A=(\mathbb R+\mathbb Ri)\oplus(\mathbb Rj+\mathbb Rk)$ であり、$1,i$ は一次独立、$c\mapsto cj$ は単射なので $1,i,j,k$ は $A$ の基底である。基底を対応させる線形写像 $\mathbb H\to A$ は多元環の同型である。可換な場合は $ij=-ji\ne ji$ となる $j$ がないので $A_-=0$ であり、$A$ は $\mathbb R$ か $\mathbb C$ である。$\square$