同変コホモロジー

$G$ の作用による商写像 $E\times F\to E\times_GF$ は開写像である（開集合 $W$ の飽和 $\bigcup_g Wg$ は開集合の和）。したがって飽和な開集合 $p^{-1}(U)\times F$ への制限も商写像で、$q^{-1}(U)=(p^{-1}(U)\times F)/G$ は商位相をもつ。$G$ 同変な同相写像 $\varphi\colon p^{-1}(U)\to U\times G$ を使って $p^{-1}(U)=U\times G$ とみなすと、連続写像 $U\times G\times F\to U\times F$、$(u,h,y)\mapsto(u,hy)$ は $(u,hg,g^{-1}y)\mapsto(u,hy)$ を満たすので商に降り、逆写像 $(u,y)\mapsto[(u,1),y]$ も連続である。$[(u,h),y]=[(u,1),hy]$ なので両者は互いに逆である。$\square$

ファイバー束は円板についてのホモトピー持ち上げ性質をもつ（Hat02 Proposition 4.48、p. 379）ので、$x_0\in P$、$b_0=q(x_0)$、$F=q^{-1}(b_0)$ について $q_*\colon\pi_n(P,F,x_0)\to\pi_n(B,b_0)$ は $n\ge1$ で同型である（Hat02 Theorem 4.41、p. 376）。対 $(P,F)$ の完全列 $\pi_n(F)\to\pi_n(P)\to\pi_n(P,F)\to\pi_{n-1}(F)$ で $F$ のホモトピー群（$\pi_0$ を含む）は自明なので、$\pi_n(P,x_0)\to\pi_n(P,F,x_0)$ は全射で、基点の逆像は基点だけである。$n\ge2$ ではこれは群準同型なので同型であり、合成 $q_*\colon\pi_n(P,x_0)\to\pi_n(B,b_0)$ は同型である。$n=1$ でも、合成 $q_*\colon\pi_1(P,x_0)\to\pi_1(B,b_0)$ は全射で、核が自明な群準同型なので単射であり、同型である。$\pi_0$ については、ファイバーが空でないので $q$ は全射であり、$B$ の道を $P$ に持ち上げると終点は弧状連結なファイバーの中にあるので、$\pi_0(P)\to\pi_0(B)$ は単射である。よって $q$ は弱ホモトピー同値で、コホモロジーの同型は Hat02 Proposition 4.21（p. 356）による。$\square$

$E\times EG$ に $G$ を対角に右から作用させ、$P:=(E\times EG)\times_GX$ とおく。2 つの射影
$$ \mathrm{pr}_1\colon P\to E\times_GX,\quad[e,e',x]\mapsto[e,x],\qquad\mathrm{pr}_2\colon P\to EG\times_GX,\quad[e,e',x]\mapsto[e',x] $$
を考える。$\mathrm{pr}_1$ がファイバー $EG$ のファイバー束であることを示す。$E\times X$ に $(e,x)g:=(eg,g^{-1}x)$ で $G$ を作用させると、$E\times X\to E\times_GX$ は主 $G$ 束である。実際、$U$ が $p$ の自明化開集合で $p^{-1}(U)=U\times G$ のとき、$(u,h,x)\mapsto((u,hx),h)$ は $p^{-1}(U)\times X$ から $(U\times X)\times G$ への $G$ 同変な同相写像であり（逆は $((u,y),h)\mapsto(u,h,h^{-1}y)$）、lem-eqc-associated により $(U\times G)\times_GX\cong U\times X$ である。$EG$ に左作用 $g\cdot e':=e'g^{-1}$ を入れると、$P$ はこの主 $G$ 束に随伴する $(E\times X)\times_GEG$ と一致する（どちらも $(e,e',x)\sim(eg,e'g,g^{-1}x)$ で割った商）。よって lem-eqc-associated により $\mathrm{pr}_1$ はファイバー $EG$ のファイバー束で、$EG$ は弱可縮だから lem-eqc-weak により $\mathrm{pr}_1^*$ は同型である。同様に $\mathrm{pr}_2$ はファイバー $E$ のファイバー束で、$\mathrm{pr}_2^*$ も同型である。求める同型は $(\mathrm{pr}_2^*)^{-1}\circ\mathrm{pr}_1^*$ であり、$G$ 同変写像 $X\to Y$ は $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ と可換なので自然である。$\square$

1．作用が自明なら $(eg,x)\sim(e,x)$ なので、$[e,x]\mapsto(\omega(e),x)$ は全単射 $X_G\to BG\times X$ である。$\omega$ は群作用による商写像で開写像だから $\omega\times\mathrm{id}_X$ も開写像で商写像であり、この全単射は同相写像である。
2．$X\times EG$ に $(x,e')g:=(g^{-1}x,e'g)$ で作用させると、$X_G=(X\times EG)/G$ と書ける。主 $G$ 束 $X\to X/G$ に $EG$ の左作用 $g\cdot e'=e'g^{-1}$ で随伴する束を考えると、prf-eqc-independence と同じ同一視で $X_G\to X/G$ はファイバー $EG$ のファイバー束になる。$EG$ は弱可縮なので lem-eqc-weak による。
3．1 と同じ理由で $(X\times[0,1])_G\cong X_G\times[0,1]$（$[0,1]$ には自明に作用させる）であり、ホモトピー $f\colon X\times[0,1]\to Y$ から $f_G\colon X_G\times[0,1]\to Y_G$ が得られる。これは $f_{0G}$ と $f_{1G}$ を結ぶホモトピーなので、特異コホモロジー のホモトピー不変性により引き戻しは等しい。
4．商写像 $EG\times X\to X_G$ による $U_G$ の逆像は $EG\times U$（$U$ が不変なので飽和）で開集合だから、$U_G$ は開集合であり、その部分空間の位相は商位相 $EG\times_GU$ と一致する（prf-eqc-associated と同じ理由）。$[e,x]\in U_G\cap V_G$ なら、$U,V$ の不変性から $x\in U\cap V$ である。よって通常の Mayer–Vietoris 完全列（Hat02 §3.1、p. 203）を $X_G=U_G\cup V_G$ に当てればよい。$\square$

$U:=S^2\setminus\{S\}$、$V:=S^2\setminus\{N\}$ とおく。どちらも $S^1$ で不変な開集合で、$U\cup V=S^2$ である。
段 1（$U$ と $V$）．南極からの立体射影 $(z,t)\mapsto z/(1+t)$ は $U$ から $\mathbb C$ への同相写像で、$\lambda z/(1+t)$ と可換なので $S^1$ 同変である。$\mathbb C$ の上の $h_s(w)=(1-s)w$（$0\le s\le1$）は同変なホモトピーで、恒等写像を $0$（$N$ の像）への定値写像に結ぶ。よって包含 $i\colon\{N\}\to U$ と定値写像 $r\colon U\to\{N\}$ について $r\circ i=\mathrm{id}$、$i\circ r$ は恒等写像と同変にホモトピックであり、prop-eqc-basic の 3 により $i^*\colon H^*_{S^1}(U)\to H^*_{S^1}(\{N\})=\mathbb Z[u]$ は同型である。$V$ と $S$ についても同様である。
段 2（$U\cap V$）．$U\cap V=\{0< \lvert z\rvert\}$ は $(z,t)\mapsto(z/\lvert z\rvert,t)$ で $S^1\times(-1,1)$ と同変に同相で（$S^1$ は第 1 成分に掛け算で作用）、$t$ 方向の縮小により赤道 $S^1\times\{0\}$ と同変にホモトピー同値である。$S^1$ は自分自身に自由かつ推移的に作用し、$ES^1\times_{S^1}S^1\to ES^1$、$[e,\lambda]\mapsto e\lambda$ は同相写像（逆は $e\mapsto[e,1]$）なので、$H^*_{S^1}(U\cap V)\cong H^*(ES^1)$ であり、$ES^1$ は弱可縮だから $H^0=\mathbb Z$、$H^n=0$（$n\ge1$）である（Hat02 Proposition 4.21）。
段 3（Mayer–Vietoris）．prop-eqc-basic の 4 の完全列に段 1・2 を代入する。$H^n_{S^1}(U)\oplus H^n_{S^1}(V)\cong\mathbb Z[u]_n\oplus\mathbb Z[u]_n$（$\mathbb Z[u]_n$ は次数 $n$ の部分）である。$n=0$ では $\Phi\colon\mathbb Z\oplus\mathbb Z\to\mathbb Z$ は $(a,b)\mapsto a-b$ で全射なので、
$$ 0\to H^0_{S^1}(S^2)\xrightarrow{\Psi}\mathbb Z\oplus\mathbb Z\xrightarrow{\Phi}\mathbb Z\to H^1_{S^1}(S^2)\to0 $$
から $\Psi$ は単射で像は $\{(a,a)\}$、$H^1_{S^1}(S^2)=0$ である。$n\ge2$ では $H^{n-1}_{S^1}(U\cap V)=H^n_{S^1}(U\cap V)=0$ なので $\Psi$ は同型である。$n$ が奇数のときは両辺が $0$ である。以上で $\Psi$ はすべての次数で単射で、像は $A$ である。$\Psi$ は制限の組なので環準同型であり、段 1 の同型 $i^*$ と合成したものが $(\iota_N^*,\iota_S^*)$ である。
段 4（加群の構造）．$\{N\}_{S^1}=BS^1$ の上で $\pi$ は恒等写像なので、$\iota_N^*(\pi^*f\cdot\alpha)=f\cdot\iota_N^*\alpha$ である（$S$ も同様）。よって $\mathbb Z[u]$ は $A$ に対角に作用する。$(f,g)\in A$ なら $f-g$ は定数項が $0$ なので $u$ で割り切れ、
$$ (f,g)=g\cdot(1,1)+\frac{f-g}{u}\cdot(u,0) $$
と書ける。$c(1,1)+d(u,0)=0$ なら第 2 成分から $c=0$、次に $du=0$ から $d=0$ である。よって $1$ と $x$ は基底である。最後に $x^2=(u^2,0)=u\cdot(u,0)=ux$ である。$\square$

$\mathbb Z[u,y]/(y^2)$ では、次数 $2$ の元 $y\ne0$ が $y^2=0$ を満たす。一方 thm-eqc-sphere の $A$ の次数 $2$ の元は $(\alpha u,\beta u)$（$\alpha,\beta\in\mathbb Z$）で、その 2 乗 $(\alpha^2u^2,\beta^2u^2)$ が $0$ になるのは $\alpha=\beta=0$ のときだけである。次数付き環の同型は「次数 $2$ で 0 でなく 2 乗が 0 の元」を保つので、両者は同型でない。自明な作用の場合の計算は prop-eqc-basic の 1、$BS^1\simeq\mathbb{CP}^\infty$、Künneth の公式（Hat02 Theorem 3.15）による。$\square$