固有射

$\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X$ を $Z$ のイデアル層とする。$X$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$ に対し $i^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B/I$（$I=\mathcal{I}(V)$）であるから $i$ は有限型である。閉埋め込みの底変換は閉埋め込みである（$V$ 上で $B/I\otimes_BB'=B'/IB'$。Har77 II 演習 3.11）。とくに $i$ 自身による底変換 $Z\times_XZ\to Z$ は、$Z$ の閉部分スキームでイデアル層 $\mathcal{I}\mathcal{O}_Z=0$ が定めるもの、すなわち $Z$ 自身への同型である。対角射 $\Delta_i$ はその逆写像だから同型で、とくに閉埋め込みであり、$i$ は分離である。最後に、閉埋め込みは閉集合の上への同相写像なので閉写像であり、底変換がふたたび閉埋め込みなので $i$ は普遍閉である。

分離射および有限型射が合成と底変換で閉じることは既知とする（Har77 II 系 4.6、II 演習 3.13）。

1. $f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ を固有とする。任意の $Z'\to Z$ に対し、$X\times_ZZ'\cong X\times_Y(Y\times_ZZ')$ であるから、$g\circ f$ の底変換 $X\times_ZZ'\to Z'$ は、$f$ の底変換 $X\times_Y(Y\times_ZZ')\to Y\times_ZZ'$ と $g$ の底変換 $Y\times_ZZ'\to Z'$ の合成である。閉写像の合成は閉写像なので $g\circ f$ は普遍閉である。
2. 底変換の底変換は底変換である（$(X\times_YY')\times_{Y'}Y''\cong X\times_YY''$）から、普遍閉は底変換で保たれる。分離と有限型も保たれる。
3. $f\times_Sf'$ は、$X\times_SX'\to Y\times_SX'$（$f$ の $Y\times_SX'\to Y$ による底変換）と $Y\times_SX'\to Y\times_SY'$（$f'$ の $Y\times_SY'\to Y'$ による底変換）の合成であるから、1 と 2 により固有である。
4. グラフ射 $\Gamma_f=(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times_ZY$ は、$g$ の対角射 $\Delta_g\colon Y\to Y\times_ZY$ の $f\times_Z\mathrm{id}_Y\colon X\times_ZY\to Y\times_ZY$ による底変換である。$g$ が分離なので $\Delta_g$ は閉埋め込みであり、閉埋め込みは底変換で保たれるから $\Gamma_f$ は閉埋め込みで、prop-proper-morphism-closed-immersion により固有である。一方、射影 $p_2\colon X\times_ZY\to Y$ は $g\circ f\colon X\to Z$ の $g\colon Y\to Z$ による底変換であるから、2 により固有である。$f=p_2\circ\Gamma_f$ なので 1 により $f$ は固有である。

普遍閉な射は閉写像であるから $f(X)$ は閉である。$Z\to X\to Y$ は閉埋め込みと固有射の合成なので固有である。$X\to Y$、$X'\to Y$ が固有で $h\colon X\to X'$ が $Y$ 射なら、$X'\to Y$ は分離だから thm-proper-morphism-permanence の 4 により $h$ は固有である。

有限型：$B$ の $A$ 加群としての生成元は $A$ 代数としての生成元でもある。分離：$X\times_YX$ は開集合 $f^{-1}(V)\times_Vf^{-1}(V)$（$V=\operatorname{Spec}A$ は $Y$ のアフィン開集合）で覆われ、対角射の各 $f^{-1}(V)\times_Vf^{-1}(V)=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ への制限は全射 $B\otimes_AB\to B$、$b\otimes b'\mapsto bb'$ に対応するので閉埋め込みである。閉埋め込みであることは行き先の上で局所的なので、対角射は閉埋め込みである。普遍閉：有限射の底変換は有限射である（$B\otimes_AA'$ は $A'$ 加群として $b_i\otimes1$ で生成される）から、有限射が閉写像であることを示せばよく、$Y$ 上局所的なので $Y=\operatorname{Spec}A$、$X=\operatorname{Spec}B$ としてよい。$B$ は $A$ 上整拡大である（AM69 命題 5.1）。$X$ の閉集合 $V(J)$（$J\subset B$ はイデアル）に対し $f(V(J))=V(J\cap A)$ を示す。$\subset$ は明らかである。逆に $\mathfrak{p}\supset J\cap A$ を $A$ の素イデアルとする。$A/(J\cap A)\to B/J$ は単射な整拡大であるから、lying over の定理（AM69 定理 5.10）により $B/J$ の素イデアル $\bar{\mathfrak{q}}$ で $A/(J\cap A)$ への制限が $\mathfrak{p}/(J\cap A)$ になるものがある。その $B$ への引き戻し $\mathfrak{q}$ は $J$ を含み、$\mathfrak{q}\cap A=\mathfrak{p}$ をみたす。よって $\mathfrak{p}\in f(V(J))$ である。

prop-proper-morphism-closed-immersion と thm-proper-morphism-permanence の 1・2 により、$\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ が固有であることを示せば十分である。$\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ は $n+1$ 個のアフィン開集合 $U_i=D_+(x_i)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]$ で覆われるから有限型であり、$U_i\cap U_j=D_+(x_ix_j)$ がアフィンなので準分離でもある。よって thm-proper-morphism-valuative を適用できる。$R$ を付値環、$v$ をその付値、$K$ を商体とし、$u\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ を任意の射とする。
存在：$u$ の像はある $U_i$ に含まれるので、$u$ は環準同型 $\mathbb{Z}[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]\to K$、$x_k/x_i\mapsto a_k$ で与えられる（$a_i=1$）。$a_k\ne0$ なる $k$ は有限個なので、そのうち $v(a_k)$ が最小になる $j$ を選ぶ。すると各 $k$ について $a_k/a_j$ は $0$ か $v(a_k/a_j)=v(a_k)-v(a_j)\ge0$ であり、いずれにせよ $R$ に属する。そこで $t\colon\operatorname{Spec}R\to U_j$ を $x_k/x_j\mapsto a_k/a_j$ で定める。$t$ の $\operatorname{Spec}K$ への制限は、$a_i/a_j=1/a_j$ が $K$ の単元なので $U_i\cap U_j$ に値をとり、その $U_i$ 座標は $(x_k/x_j)/(x_i/x_j)\mapsto(a_k/a_j)/(a_i/a_j)=a_k$ である。よって制限は $u$ に一致する。
一意性：$t,t'\colon\operatorname{Spec}R\to\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ が $\operatorname{Spec}K$ 上で一致するとする。$R$ の閉点 $\mathfrak{m}$ の像 $t(\mathfrak{m})$ はある $U_i$ に属し、$t^{-1}(U_i)$ は $\mathfrak{m}$ を含む開集合だから $\operatorname{Spec}R$ 全体である（空でない閉集合はすべて $\mathfrak{m}$ を含む）。よって $t$ は $U_i$ に値をとり $x_k/x_i\mapsto b_k\in R$ で与えられ、同様に $t'$ はある $U_j$ に値をとり $x_k/x_j\mapsto b'_k\in R$ で与えられる。$\operatorname{Spec}K$ 上で一致するので、$K$ の中で $b'_i\ne0$ かつ $b_k=b'_k/b'_i$ がすべての $k$ で成り立つ。とくに $b_jb'_i=1$ で、$b_j$ と $b'_i$ は $R$ の単元である。したがって $t,t'$ はともにアフィン開集合 $U_i\cap U_j=D(x_j/x_i)$ に値をとり、対応する 2 つの環準同型 $\mathcal{O}(U_i\cap U_j)\to R$ は $K$ への合成が一致する。$R\to K$ は単射だから 2 つは一致し、$t=t'$ である。
以上で $\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は固有であり、その底変換 $\mathbb{P}^n_Y\to Y$ も固有、閉埋め込み $X\to\mathbb{P}^n_Y$ との合成 $f$ も固有である。

$A=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ とおく。thm-proper-morphism-finiteness により $A$ は有限次元 $k$ 線型空間である。$X$ が整スキームなので、生成点での茎である関数体 $K(X)$ への制限写像 $A\to K(X)$ は単射であり（Har77 II 演習 3.6）、$A$ は整域である。$a\in A$、$a\ne0$ に対し、$a$ 倍写像 $A\to A$ は単射な $k$ 線型写像であり、$A$ が有限次元なので全射でもある。よって $ab=1$ をみたす $b$ があり、$A$ は体である。$A$ は $k$ の有限次拡大体で $k$ は代数閉体だから $A=k$ である。