等式の証明と比例式

$\dfrac x2=\dfrac y3=\dfrac z4$ で、$x,y,z$ のどれかは $0$ でないとする。このとき $\dfrac{x+y+z}{2x-y+z}$ の値を求める。
3 つの分数の共通の値を $k$ とおくと、$x=2k$、$y=3k$、$z=4k$ である。$x,y,z$ のどれかが $0$ でないので $k\ne0$ である。代入すると
$$ x+y+z=2k+3k+4k=9k,\qquad 2x-y+z=4k-3k+4k=5k $$
なので
$$ \frac{x+y+z}{2x-y+z}=\frac{9k}{5k}=\frac95 $$
である。たとえば $(x,y,z)=(2,3,4)$ なら $\dfrac{9}{5}$、$(x,y,z)=(-4,-6,-8)$ なら $\dfrac{-18}{-10}=\dfrac95$ で、どちらも同じ値になる。

$a+b+c=0$ のとき、次の 2 つが成り立つ。
(1) $a^3+b^3+c^3=3abc$
(2) $abc\ne0$ なら $\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}=3$
(1) は、条件から $c=-(a+b)$ として $c$ を消す。
$$ c^3=-(a+b)^3=-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3 $$
なので
$$ a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=-3ab(a+b) $$
である。一方 $3abc=3ab\cdot\bigl(-(a+b)\bigr)=-3ab(a+b)$ なので、両辺は等しい。
(2) は、分母を $abc$ にそろえる。
$$ \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} $$
で、(1) により分子は $3abc$ なので、値は $\dfrac{3abc}{abc}=3$ である。
数で確かめる。$(a,b,c)=(1,2,-3)$ では $a^3+b^3+c^3=1+8-27=-18$、$3abc=3\cdot1\cdot2\cdot(-3)=-18$ である。また $\dfrac{1}{-6}+\dfrac{4}{-3}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{-1-8+27}{6}=3$ である。

$(a,b,c)=(4,-1,-3)$ は $a+b+c=0$ を満たす。
(i) $a^3+b^3+c^3=64-1-27=36$、$3abc=3\cdot4\cdot(-1)\cdot(-3)=36$ である。

1. $\dfrac 23=\dfrac 69$ は比例式である。$2\cdot9=18=3\cdot6$ で、内側の項の積と外側の項の積が等しい。
2. $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{-5}{-10}$ は 3 つの分数の比例式で、共通の値は $\dfrac12$ である。連比で書くと $1:3:(-5)=2:6:(-10)$ である。

$\dfrac ab=\dfrac cd$（$b,d\ne0$）のとき、次を示す。
(1) $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$
(2) $a\ne-b$、$c\ne-d$ のとき $\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{c-d}{c+d}$
共通の値を $k$ とおくと、$a=kb$、$c=kd$ である。
(1) 左辺は $\dfrac{kb+b}{b}=\dfrac{(k+1)b}{b}=k+1$、右辺は $\dfrac{kd+d}{d}=\dfrac{(k+1)d}{d}=k+1$ で、等しい。
(2) $a+b=(k+1)b\ne0$ なので $k\ne-1$ である。左辺は $\dfrac{kb-b}{kb+b}=\dfrac{(k-1)b}{(k+1)b}=\dfrac{k-1}{k+1}$、右辺も同じく $\dfrac{(k-1)d}{(k+1)d}=\dfrac{k-1}{k+1}$ で、等しい。
数で確かめる。$\dfrac 23=\dfrac 69$ では、(1) は $\dfrac53$ と $\dfrac{15}9=\dfrac53$、(2) は $\dfrac{-1}{5}$ と $\dfrac{-3}{15}=-\dfrac15$ である。

1. $\dfrac12=\dfrac36=\dfrac{-5}{-10}$ で $p=q=r=1$ とすると、$\dfrac{1+3-5}{2+6-10}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12$ である。
   (2) 重みを変えた検算を開く

   (2) 同じ比例式で $p=2$、$q=-1$、$r=3$ とすると、分母は $2\cdot2-6+3\cdot(-10)=-32\ne0$、分子は $2\cdot1-3+3\cdot(-5)=-16$ で、$\dfrac{-16}{-32}=\dfrac12$ である。

$b+c$、$c+a$、$a+b$ がどれも $0$ でなく
$$ \frac a{b+c}=\frac b{c+a}=\frac c{a+b}=k $$
のとき、$k$ の値を求める。
加比の理を $p=q=r=1$ で使う。分母の和は $(b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c)$、分子の和は $a+b+c$ である。
場合 1：$a+b+c\ne0$ のとき。分母の和 $2(a+b+c)$ は $0$ でないので、加比の理により
$$ k=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac12 $$
である。
場合 2：$a+b+c=0$ のとき。分母の和が $0$ なので加比の理は使えない。代わりに $b+c=-a$ を使う。仮定 $b+c\ne0$ から $a\ne0$ で
$$ k=\frac a{b+c}=\frac a{-a}=-1 $$
である。
よって $k=\dfrac12$ または $k=-1$ で、どちらも実際に起こる。$(a,b,c)=(1,1,1)$ では 3 つの分数はどれも $\dfrac12$、$(a,b,c)=(1,2,-3)$ では $\dfrac1{-1}$、$\dfrac2{-2}$、$\dfrac{-3}{3}$ で、どれも $-1$ である。

1. $\dfrac13$ と $\dfrac25$ から $\dfrac{1+2}{3+5}=\dfrac38$ を作る。小数で $\dfrac13=0.333\ldots$、$\dfrac38=0.375$、$\dfrac25=0.4$ なので、$\dfrac13<\dfrac38<\dfrac25$ である。
2. $\dfrac12$ と $\dfrac34$ から $\dfrac{1+3}{2+4}=\dfrac46=\dfrac23$ を作る。$\dfrac12=0.5$、$\dfrac23=0.666\ldots$、$\dfrac34=0.75$ なので、$\dfrac12<\dfrac23<\dfrac34$ である。
   どちらも、作った分数はもとの 2 つの分数の間にある。ただし、$\dfrac13+\dfrac25=\dfrac{11}{15}$ とは違う。分数の足し算ではない。

$\dfrac13$ と $\dfrac25$ では、重みは $\dfrac3{8}$ と $\dfrac58$ で、
$$ \frac38\cdot\frac13+\frac58\cdot\frac25=\frac18+\frac14=\frac38 $$
である。分母が大きい $\dfrac25$ の方が重いので、$\dfrac38$ は 2 つの真ん中 $\dfrac{11}{30}=0.366\ldots$ より $\dfrac25$ 寄りにある（$\dfrac38=0.375$）。

ある検定で、クラス A は $10$ 人中 $8$ 人、クラス B は $50$ 人中 $10$ 人が合格した。2 クラスを合わせた合格率は
$$ \frac{8+10}{10+50}=\frac{18}{60}=0.3 $$
で、中間の分数である。thm-pip-mediant により、全体の率 $0.3$ は $\dfrac8{10}=0.8$ と $\dfrac{10}{50}=0.2$ の間にある。重みは $\dfrac{10}{60}$ と $\dfrac{50}{60}$ なので、人数の多いクラス B の率 $0.2$ に近い（cor-pip-weighted）。

グループ 1 とグループ 2 で、X と Y の成功の数を数えた。

X はどちらのグループでも Y より率が高い（$0.8>0.75$、$0.2>0.1$）。ところが合わせると X の方が低い（$0.3<0.657\ldots$）。
理由は重みにある。X の全体の率は、重み $\dfrac{10}{60}$、$\dfrac{50}{60}$ で、率の低いグループ 2 に強く引かれる。Y の全体の率は、重み $\dfrac{60}{70}$、$\dfrac{10}{70}$ で、率の高いグループ 1 に強く引かれる。cor-pip-weighted で計算すると
$$ \frac{10}{60}\cdot0.8+\frac{50}{60}\cdot0.2=\frac{8+10}{60}=0.3,\qquad \frac{60}{70}\cdot0.75+\frac{10}{70}\cdot0.1=\frac{45+1}{70}=0.657\ldots $$
である。thm-pip-mediant が言うのは「全体の率は 2 つのグループの率の間にある」ことだけで、X と Y の比べ方までは保証しない。

$\dfrac12=\dfrac{-1}{-2}$ は比例式で、共通の値は $\dfrac12$ である。$p=q=1$ として分子どうし・分母どうしを足すと $\dfrac{1+(-1)}{2+(-2)}=\dfrac00$ で、分数として定まらない。仮定 $pb+qd\ne0$ が成り立たないので、thm-pip-kahi は何も言わない。
ex-pip-kahi-cases の場合 2 も同じ形である。$(a,b,c)=(1,2,-3)$ では 3 つの分数の分子の和は $0$、分母の和も $(-1)+(-2)+3=0$ で、足した分数は $\dfrac00$ になる。それでも 3 つの分数の共通の値 $-1$ は、分母の和を使わずに求まった。

1. $\dfrac2{-1}=-2$ と $\dfrac12$ では $-2<\dfrac12$ である。分子どうし・分母どうしを足すと $\dfrac{2+1}{-1+2}=\dfrac31=3$ で、$3$ は $-2$ と $\dfrac12$ の間にない。prf-pip-mediant の段 1 で両辺に $bd$ を掛けたが、$bd=(-1)\cdot2<0$ なので不等号の向きが変わり、証明が通らない。
2. $\dfrac1{-1}=-1$ と $\dfrac11=1$ では、足すと $\dfrac{1+1}{-1+1}=\dfrac20$ となり、分数として定まらない。
   同じ数 $-2$ を $\dfrac{-2}{1}$ と書き直して分母を正にすれば、$\dfrac{-2+1}{1+2}=-\dfrac13$ で、$-2<-\dfrac13<\dfrac12$ となる。

$x=y=z=0$ は $\dfrac x2=\dfrac y3=\dfrac z4$（どれも $0$）を満たす。このとき $2x-y+z=0$ なので、$\dfrac{x+y+z}{2x-y+z}=\dfrac00$ は定まらない。ex-pip-start-ratio で「$x,y,z$ のどれかは $0$ でない」と仮定したのは、$k\ne0$ にして $5k$ で割るためである。

$(a,b,c)=(1,1,1)$ では $a^3+b^3+c^3=3=3abc$ だが、$a+b+c=3\ne0$ である。恒等式 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の左辺が $0$ になるのは、第 1 の因数が $0$ のときだけでなく、第 2 の因数が $0$ のときもある。$(1,1,1)$ では第 2 の因数が $3-3=0$ である。実数の範囲では、第 2 の因数が $0$ になるのは $a=b=c$ のときに限る（展開と因数分解の公式 の系「3 乗の和が 3abc に等しくなる条件」）。

$0$ 以上 $1$ 以下で、分母が $5$ 以下の既約分数を小さい順に並べると
$$ \frac01,\ \frac15,\ \frac14,\ \frac13,\ \frac25,\ \frac12,\ \frac35,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ \frac11 $$
である。となり合う 2 つ $\dfrac ab<\dfrac cd$ では、どれも $bc-ad=1$ である（たとえば $\dfrac14$ と $\dfrac13$ で $4\cdot1-1\cdot3=1$、$\dfrac25$ と $\dfrac12$ で $5\cdot1-2\cdot2=1$）。また $\dfrac13$ と $\dfrac12$ の間にある $\dfrac25$ は、2 つの中間の分数 $\dfrac{1+1}{3+2}$ である。
prop-pip-neighbors の (ii) から、$\dfrac13$ と $\dfrac25$ の間にある分数の分母は $8$ 以上で、分母 $8$ のものは中間の分数 $\dfrac38$ である。実際、分母が $6$、$7$ の分数で $\dfrac13=0.333\ldots$ と $\dfrac25=0.4$ の間にあるものはない（$\dfrac26=0.333\ldots$、$\dfrac{3}{7}=0.428\ldots$ で、どちらも間の外）。