Paley–Wienerの定理

段 1（ならす）．$\rho\ge0$ を $[-1,1]$ の外で $0$、$\int\rho=1$ の連続関数とし、$\rho_\delta(t):=\delta^{-1}\rho(t/\delta)$、$G(\zeta):=\int F(\zeta-t)\rho_\delta(t)\,dt$ とおく（$0<\delta\le1$）。$G$ は連続で、三角形の周に沿う積分は Fubini の定理と Cauchyの積分定理 により $0$ なので、Morera の定理により整関数である。$\lvert G(\zeta)\rvert\le Ce^{2\pi A(\lvert\zeta\rvert+\delta)}$ であり、実軸上では $G=F|_{\mathbb{R}}*\rho_\delta$ なので Cauchy–Schwarz の不等式により $\lvert G(\xi)\rvert\le\|F|_{\mathbb{R}}\|_2\|\rho_\delta\|_2=:B$ である。

段 2（半平面での評価）．$H(\zeta):=G(\zeta)e^{2\pi iA\zeta}$ とおくと $\lvert H(\zeta)\rvert=\lvert G(\zeta)\rvert e^{-2\pi A\eta}$ である。第 1 象限の境界では、正の実軸上で $\lvert H\rvert\le B$、正の虚軸上で $\lvert H(i\eta)\rvert\le Ce^{2\pi A\delta}$ であり、内部では $\lvert H(\zeta)\rvert\le Ce^{2\pi A\delta}e^{2\pi A\lvert\zeta\rvert}$ である。lem-paw-quadrant により第 1 象限で $\lvert H\rvert\le M:=\max\{B,Ce^{2\pi A\delta}\}$ であり、第 2 象限でも同じである。下半平面では $G(\zeta)e^{-2\pi iA\zeta}$ に同じ議論を当てる。よって $\lvert G(\xi+i\eta)\rvert\le Me^{2\pi A\lvert\eta\rvert}$ が全平面で成り立つ。

段 3（積分路をずらす）．$t>A$、$\varepsilon>0$ とし、$\Psi(\zeta):=G(\zeta)(1-i\varepsilon\zeta)^{-2}e^{2\pi i\zeta t}$ とおく。$\eta\ge0$ では $\lvert1-i\varepsilon\zeta\rvert^2=(1+\varepsilon\eta)^2+\varepsilon^2\xi^2\ge1+\varepsilon^2\xi^2$ なので、$\lvert\Psi(\xi+i\eta)\rvert\le Me^{-2\pi(t-A)\eta}/(1+\varepsilon^2\xi^2)$ である。頂点 $\pm R$、$\pm R+is$ の長方形の周で Cauchyの積分定理 を当て、$R\to\infty$ とすると縦の辺の寄与は $sM/(1+\varepsilon^2R^2)\to0$ なので、$\int_{\mathbb{R}}\Psi(\xi)\,d\xi=\int_{\mathbb{R}}\Psi(\xi+is)\,d\xi$ であり、右辺の絶対値は $Me^{-2\pi(t-A)s}\pi/\varepsilon$ 以下である。$s\to\infty$ として $\int_{\mathbb{R}}k_\varepsilon(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,d\xi=0$（$k_\varepsilon(\xi):=G(\xi)(1-i\varepsilon\xi)^{-2}$）を得る。$k_\varepsilon\in L^1\cap L^2$ なので、左辺は $(\mathcal{F}^{-1}k_\varepsilon)(t)$ である。$\lvert k_\varepsilon\rvert\le\lvert G\rvert$ と優収束定理により $\varepsilon\to0$ で $k_\varepsilon\to G|_{\mathbb{R}}$（$L^2$）なので、$\mathcal{F}^{-1}(G|_{\mathbb{R}})$ は $(A,\infty)$ でほとんど至る所 $0$ である。$\zeta\mapsto G(-\zeta)$ に同じことを当てれば、$(-\infty,-A)$ でも $0$ である。

段 4（ならしを外す）．$h\in L^1\cap L^2$ では Fourier変換 の命題「畳み込み定理」から $\mathcal{F}^{-1}(h*\rho_\delta)=(\mathcal{F}^{-1}h)\cdot\check\rho_\delta$（$\check\rho_\delta(t):=\int\rho_\delta(x)e^{2\pi ixt}dx$）であり、両辺は $h$ について $L^2$ で連続なので、$h\in L^2$ でも成り立つ。$\check\rho_\delta(t)=\check\rho_1(\delta t)$ で $\check\rho_1$ は連続、$\check\rho_1(0)=1$ である。段 3 により $f(t)\check\rho_1(\delta t)=0$ が $\lvert t\rvert>A$ のほとんどすべての $t$ で成り立つ。$\delta=1/k$（$k=1,2,\dots$）の可算個についてまとめて $k\to\infty$ とすると、$\lvert t\rvert>A$ のほとんどすべての $t$ で $f(t)=0$ である。$\square$

$w:=e^{-i(\theta_0+\pi/4)}z$ とおくと $\overline Q\setminus\{0\}$ で $\lvert\arg w\rvert\le\pi/4$ なので、主枝の $w^{3/2}$ は $\lvert\arg w^{3/2}\rvert\le3\pi/8$ を満たし、$\operatorname{Re}w^{3/2}\ge\lvert z\rvert^{3/2}\cos(3\pi/8)$ である。$\varepsilon>0$ について $H_\varepsilon(z):=H(z)e^{-\varepsilon w^{3/2}}$ とおくと、$\partial Q$ の上で $\lvert H_\varepsilon\rvert\le M$、$Q$ の上で $\lvert H_\varepsilon(z)\rvert\le C\exp(c\lvert z\rvert-\varepsilon\cos(3\pi/8)\lvert z\rvert^{3/2})\to0$（$\lvert z\rvert\to\infty$）である。$Q$ は $\mathbb{C}$ と異なる領域なので、最大値原理(複素解析) の定理「境界での上極限による最大値原理」により $Q$ の上で $\lvert H_\varepsilon\rvert\le M$ である。$z$ を固定して $\varepsilon\to0$ とすればよい。$\square$

必要性：$F(\zeta)=\int_{-A}^A\varphi(x)e^{-2\pi ix\zeta}dx$ を $N$ 回部分積分すると $(2\pi i\zeta)^NF(\zeta)=\int_{-A}^A\varphi^{(N)}(x)e^{-2\pi ix\zeta}dx$ なので、$\lvert\zeta\rvert^N\lvert F(\zeta)\rvert\le(2\pi)^{-N}\|\varphi^{(N)}\|_1e^{2\pi A\lvert\eta\rvert}$ である。$N$ と $0$ の場合を足して $(1+\lvert\zeta\rvert)^N\le2^N\max\{1,\lvert\zeta\rvert^N\}$ を使う。

十分性：$N=0$ の評価から $F$ は型が $2\pi A$ 以下の指数型で、$N=2$ の評価から $F|_{\mathbb{R}}\in L^1\cap L^2$ である。thm-paw-l2 により、$[-A,A]$ の外で $0$ の $f\in L^2$ があって $F$ はその Fourier–Laplace 変換で、$f=\mathcal{F}^{-1}(F|_{\mathbb{R}})=\int F(\xi)e^{2\pi ix\xi}d\xi$（ほとんど至る所）である。右辺は、どの $k$ でも $\xi^kF(\xi)$ が可積分なので、微分と積分を交換して $C^\infty$ 級の関数 $\varphi$ である。$\varphi$ は連続で $\lvert x\rvert>A$ でほとんど至る所 $0$ なので、$\lvert x\rvert>A$ で $0$ である。はじめに $\varphi\in C^\infty\cap L^1$ が与えられて $\widehat\varphi=F|_{\mathbb{R}}$ のときは、$\widehat\varphi\in L^1$ なので Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」により、与えられた $\varphi$ はここで作った関数とほとんど至る所等しく、どちらも連続なので一致する。$\square$

1：$K:=[-A-1,A+1]$ とすると、超関数の連続性により、ある $C_0$ と $N$ について台が $K$ に含まれるすべての $\psi\in C_c^\infty$ で $\lvert\langle T,\psi\rangle\rvert\le C_0\max_{k\le N}\sup\lvert\psi^{(k)}\rvert$ である（超関数 の定義「超関数」）。$\rho\ge0$ を $[-1,1]$ の外で $0$、$\int\rho=1$ の $C^\infty$ 級関数とし、$0<\delta\le1$ について $\chi_\delta:=\mathbf 1_{[-A-3\delta/4,\,A+3\delta/4]}*\rho_{\delta/4}$（$\rho_s(t):=s^{-1}\rho(t/s)$）とおく。$\chi_\delta$ は $[-A-\delta/2,A+\delta/2]$ で $1$、$[-A-\delta,A+\delta]$ の外で $0$ で、$\lvert\chi_\delta^{(j)}\rvert\le\|\rho_{\delta/4}^{(j)}\|_1=(4/\delta)^j\|\rho^{(j)}\|_1$ である。$\delta:=1/(1+\lvert\zeta\rvert)$ とすると、$\chi_\delta$ の台の上で $\lvert e_\zeta(x)\rvert=e^{2\pi x\eta}\le e^{2\pi A\lvert\eta\rvert}e^{2\pi\delta\lvert\eta\rvert}\le e^{2\pi}e^{2\pi A\lvert\eta\rvert}$ であり、Leibniz の公式から $\lvert(\chi_\delta e_\zeta)^{(k)}\rvert\le\sum_j\binom kj(4/\delta)^j\|\rho^{(j)}\|_1(2\pi\lvert\zeta\rvert)^{k-j}e^{2\pi}e^{2\pi A\lvert\eta\rvert}\le C_k(1+\lvert\zeta\rvert)^ke^{2\pi A\lvert\eta\rvert}$ である。$\widehat T(\zeta)=\langle T,\chi_\delta e_\zeta\rangle$ なので評価が出る。正則性：$\chi:=\chi_1$ を固定すると、$h\to0$ で $\chi(e_{\zeta+h}-e_\zeta)/h\to-2\pi ix\chi e_\zeta$ がすべての階数の導関数について $K$ の上で一様に成り立つので、$\widehat T$ は複素微分可能である。

2（存在）：$F_\delta(\zeta):=F(\zeta)\widehat\rho(\delta\zeta)$ とおく。cor-paw-smooth の必要性を $\rho$ に当てると $\lvert\widehat\rho(\delta\zeta)\rvert\le C'_M(1+\delta\lvert\zeta\rvert)^{-M}e^{2\pi\delta\lvert\eta\rvert}$ なので、$F_\delta$ は $A$ を $A+\delta$ に替えた cor-paw-smooth の評価を満たし、$[-A-\delta,A+\delta]$ の外で $0$ の $\varphi_\delta\in C^\infty$ の Fourier–Laplace 変換である。$\psi\in C_c^\infty$ について、$\varphi_\delta(x)=\int F_\delta(\xi)e^{2\pi ix\xi}d\xi$（cor-paw-smooth の証明）と Fubini の定理から $\int\varphi_\delta\psi\,dx=\int F_\delta(\xi)\widehat\psi(-\xi)\,d\xi$ であり、$\lvert\widehat\rho\rvert\le1$ と優収束定理により $\delta\to0$ で $\langle T,\psi\rangle:=\int F(\xi)\widehat\psi(-\xi)\,d\xi$ に収束する。$\lvert(2\pi\xi)^k\widehat\psi(\xi)\rvert\le\|\psi^{(k)}\|_1$ から $\lvert\langle T,\psi\rangle\rvert\le C''\max_{k\le N+2}\|\psi^{(k)}\|_1$ なので $T$ は超関数である。$\psi$ の台が $[-A,A]$ と交わらなければ、十分小さい $\delta$ で $\int\varphi_\delta\psi=0$ なので $\langle T,\psi\rangle=0$ であり、$\operatorname{supp}T\subset[-A,A]$ である。$\chi$ を $[-A-1,A+1]$ で $1$ にとれば、$\delta<1$ で $\chi\varphi_\delta=\varphi_\delta$ なので $\widehat T(\zeta)=\lim_{\delta\to0}\int\varphi_\delta e_\zeta\,dx=\lim_{\delta\to0}F(\zeta)\widehat\rho(\delta\zeta)=F(\zeta)$ である（$\widehat\rho(0)=1$）。

2（一意性）：$\operatorname{supp}T$ がコンパクトなら、$\psi\in C_c^\infty$ について $\psi=\int\widehat\psi(-\xi)e_\xi\,d\xi$（反転公式）で、この積分は台が $\chi$ の台に入る関数の空間で、すべての階数の導関数について一様に絶対収束するので、$\langle T,\chi\psi\rangle=\int\widehat\psi(-\xi)\widehat T(\xi)\,d\xi$ である。$\langle T,\psi\rangle=\langle T,\chi\psi\rangle$ なので、$\widehat T=0$ なら $T=0$ である。$\square$

$u_n(x):=(2A)^{-1/2}e^{\pi inx/A}$（$n\in\mathbb{Z}$）は $L^2([-A,A])$ の正規直交基底である（Fourier級数 の完全性を区間 $[-A,A]$ に移したもの）。$f$ を thm-paw-l2 の 1 の関数とすると、$\langle u_n,f\rangle=(2A)^{-1/2}\int_{-A}^Af(x)e^{-\pi inx/A}dx=(2A)^{-1/2}F(n/2A)$ であり、Parseval の等式から $\sum_n\lvert F(n/2A)\rvert^2=2A\|f\|_2^2$ である。また $F(\zeta)=\int_{-A}^Ae_\zeta(x)f(x)\,dx=\langle\overline{e_\zeta},f\rangle=\sum_n\langle\overline{e_\zeta},u_n\rangle\langle u_n,f\rangle$（$L^2([-A,A])$ の内積の展開。級数は絶対収束する）で、$\langle\overline{e_\zeta},u_n\rangle=(2A)^{-1/2}\int_{-A}^Ae^{2\pi ix(n/2A-\zeta)}dx=(2A)^{1/2}\dfrac{\sin\pi(n-2A\zeta)}{\pi(n-2A\zeta)}$ である。掛け合わせれば式を得る。$\square$