Sobolev空間の連鎖律

1 の証明． 平均値の定理から $|G(s)|\le|G(0)|+M|s|$ なので $G\circ u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ であり、$|G'(u)\partial_iu|\le M|\partial_iu|$ なので $G'(u)\partial_iu\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。残るのは、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について
$$ \int_\Omega G(u)\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega G'(u)\,\partial_iu\,\varphi\,dx $$
を示すことである。
$K:=\operatorname{supp}\varphi$ とし、$K\subset\Omega'$ かつ $\overline{\Omega'}$ が $\Omega$ のコンパクト部分集合となる開集合 $\Omega'$ をとる。$u$ を $\Omega'$ に制限したものは $W^{1,1}(\Omega')$ に属する。軟化子 の記号で、$u$ を $\Omega'$ の上で軟化した関数を $u_\varepsilon$ と書く。$\varepsilon$ が小さければ $K\subset\Omega'_\varepsilon$ であり、$u_\varepsilon$ は $\Omega'_\varepsilon$ の上で $C^\infty$ 級、$\partial_iu_\varepsilon=(\partial_iu)_\varepsilon$ である（軟化子 の命題「軟化と弱微分の交換」）。$G\circ u_\varepsilon$ は $C^1$ 級で古典的な連鎖律が使えるので、弱微分 の命題「弱微分の基本性質」の 2 から
$$ \int_\Omega G(u_\varepsilon)\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega G'(u_\varepsilon)\,\partial_iu_\varepsilon\,\varphi\,dx $$
である。
$\varepsilon\to0$ の極限をとる。軟化子 の定理「Sobolev 関数の軟化による近似」の 2（$k=1$、$p=1$）により、$u_\varepsilon\to u$、$\partial_iu_\varepsilon\to\partial_iu$ が $L^1(K)$ で成り立つ。$L^1$ で収束する列はほとんど至る所収束する部分列をもつので（Bre11 Theorem 4.9、p. 94）、列 $\varepsilon_m\to0$ を $K$ の上でほとんど至る所 $u_{\varepsilon_m}\to u$ となるようにとれる。

• 左辺：$|G(u_\varepsilon)-G(u)|\le M|u_\varepsilon-u|$ なので、$\int_\Omega G(u_\varepsilon)\partial_i\varphi\to\int_\Omega G(u)\partial_i\varphi$ である。
• 右辺：被積分関数の差を
  $$ G'(u_\varepsilon)\partial_iu_\varepsilon-G'(u)\partial_iu=G'(u_\varepsilon)(\partial_iu_\varepsilon-\partial_iu)+\bigl(G'(u_\varepsilon)-G'(u)\bigr)\partial_iu $$
  と分ける。第 1 項の $L^1(K)$ ノルムは $M\|\partial_iu_\varepsilon-\partial_iu\|_{L^1(K)}\to0$ である。第 2 項は、$\varepsilon=\varepsilon_m$ に沿って $G'$ の連続性からほとんど至る所 $0$ に収束し、$2M|\partial_iu|\in L^1(K)$ で押さえられる。よって 優収束定理 により第 2 項の積分も $0$ に収束する。
  $\varepsilon=\varepsilon_m$ として両辺の極限をとれば、示すべき等式を得る。

2 の証明． $G(0)=0$ と平均値の定理から $|G(s)|\le M|s|$ なので、$|G\circ u|\le M|u|$ である。1 により $\partial_i(G\circ u)=G'(u)\partial_iu$ で、$|G'(u)\partial_iu|\le M|\partial_iu|$ である。両者を $L^p$ ノルムで比べればよい。$\square$

1次元Sobolev空間 の定理「一様ノルムの評価」により、ある $R>0$ について $|u|\le R$ がほとんど至る所成り立つ。$G$ を $[-R,R]$ の外で 1 次関数に取り替えた
$$ \tilde G(s):=\begin{cases}G(R)+G'(R)(s-R)&(s>R),\\ G(s)&(|s|\le R),\\ G(-R)+G'(-R)(s+R)&(s<-R)\end{cases} $$
は $C^1$ 級で、$\tilde G'$ は有界である。ほとんど至る所 $\tilde G(u)=G(u)$、$\tilde G'(u)=G'(u)$ なので、thm-scr-c1 の 1 から $G\circ u\in W^{1,1}_{\mathrm{loc}}(I)$、$(G\circ u)'=G'(u)u'$ である。$L:=\max_{[-R,R]}|G'|$ とおくと $|G'(u)u'|\le L|u'|$ である。また $I$ が有界なら $G\circ u$ は有界で $L^p(I)$ に入り、$p=\infty$ なら有界であることから $L^\infty(I)$ に入る。$I$ が有界でなく $p<\infty$ なら、$G(0)=0$ から $|G(s)|\le L|s|$（$|s|\le R$）なので $|G\circ u|\le L|u|$ である。$\square$

弱微分 の例「冪関数 $|x|^a$」を $p=2$ で使う。$b\ne0$、$b>-n$ のとき、$|x|^b$ が $B$ 上で弱勾配をもつための必要十分条件は $b>1-n$ で、そのとき $|\nabla|x|^b|\in L^2(B)$ であるための必要十分条件は $b>1-n/2$ である。また $|x|^b\in L^2(B)$ は $2b>-n$ と同値である。$n\ge3$ なので $1-n/2=4(2-n)/8< a$ であり、$2a>-n$ もみたすから $u\in W^{1,2}(B)$ である。$b=2a=3(2-n)/4$ は $b>1-n$ をみたすので $|x|^{2a}$ は弱勾配をもつが、$b\le2(2-n)/4=1-n/2$ なので、その弱勾配は $L^2(B)$ に入らない。$\square$

$\varepsilon>0$ について
$$ G_\varepsilon(s):=\begin{cases}\sqrt{s^2+\varepsilon^2}-\varepsilon&(s>0),\\ 0&(s\le0)\end{cases} $$
とおく。$s>0$ で $G_\varepsilon'(s)=s/\sqrt{s^2+\varepsilon^2}$ であり、これは $s\to+0$ で $0$ に近づくので、$G_\varepsilon\in C^1(\mathbb R)$ で $0\le G_\varepsilon'\le1$ である。thm-scr-c1 の 1 により、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について
$$ \int_\Omega G_\varepsilon(u)\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega G_\varepsilon'(u)\,\partial_iu\,\varphi\,dx $$
である。$\varepsilon\to0$ のとき、すべての $s$ について $G_\varepsilon(s)\to s^+$、$G_\varepsilon'(s)\to\mathbf 1_{(0,\infty)}(s)$ である（$s\le0$ では両方とも $0$）。また $0\le G_\varepsilon(s)\le s^+\le|s|$、$|G_\varepsilon'(s)|\le1$ である。$\varphi$ の台はコンパクトで $u,\partial_iu$ はその上で可積分なので、優収束定理 により両辺の極限をとって
$$ \int_\Omega u^+\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega\mathbf 1_{\{u>0\}}\,\partial_iu\,\varphi\,dx $$
を得る。よって $\partial_iu^+=\mathbf 1_{\{u>0\}}\partial_iu$ である。
$u^-=(-u)^+$ なので、いま示したことを $-u$ に当てて $\partial_iu^-=\mathbf 1_{\{-u>0\}}\partial_i(-u)=-\mathbf 1_{\{u<0\}}\partial_iu$ を得る。$|u|=u^++u^-$ なので $\partial_i|u|=(\mathbf 1_{\{u>0\}}-\mathbf 1_{\{u<0\}})\partial_iu=\operatorname{sgn}(u)\partial_iu$ である。最後の主張は $|u^\pm|\le|u|$、$|\nabla u^\pm|\le|\nabla u|$ から従う。$\square$

定数関数の弱勾配は $0$ なので、$v:=u-c$ は $W^{1,1}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に属し $\nabla v=\nabla u$ である。$v=v^+-v^-$ に thm-scr-positive-part を当てると、ほとんど至る所
$$ \nabla v=\mathbf 1_{\{v>0\}}\nabla v+\mathbf 1_{\{v<0\}}\nabla v $$
であり、$\mathbf 1_{\{v=0\}}\nabla v=0$ を得る。$\{v=0\}=\{u=c\}$ である。$\square$

$F$ は $M$-Lipschitz である。 区間 $[a,b]$ の内部が $S$ と交わらなければ、$F$ は $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能なので、平均値の定理から $|F(b)-F(a)|\le M(b-a)$ である。一般の $s< t$ では、$[s,t]$ を $S$ の点で有限個の小区間に分けて足せばよい。同じ分割で部分積分すると、境界の項は $F$ の連続性により打ち消し合うので、$F'$（$S$ の上の値は任意）は $F$ の $\mathbb R$ 上の弱微分である。
$C^\infty$ 級の関数で近づける。 1 変数の軟化子 $\rho$ を使い $F_m:=\rho_{1/m}*F$ とおく。$F_m\in C^\infty(\mathbb R)$ であり、軟化子 の命題「軟化と弱微分の交換」により $F_m'=\rho_{1/m}*F'$ なので $|F_m'|\le M$ である。また $|F_m(s)-F(s)|\le\int\rho_{1/m}(t)|F(s-t)-F(s)|\,dt\le M/m$ である。$s\notin S$ なら $F'$ は $s$ の近傍で連続なので、$F_m'(s)\to F'(s)$ である。
極限をとる． thm-scr-c1 の 1 を $F_m$ に当てると、すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について
$$ \int_\Omega F_m(u)\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega F_m'(u)\,\partial_iu\,\varphi\,dx $$
である（$F_m(0)=0$ は要らない）。左辺は $F_m(u)\to F(u)$ が一様なので $\int_\Omega F(u)\partial_i\varphi$ に収束する。右辺の被積分関数は、$\{u\notin S\}$ の上では $F'(u)\partial_iu\varphi$ に各点で収束する。$\{u\in S\}$ は有限個の等位集合の和なので、cor-scr-level-set によりその上でほとんど至る所 $\partial_iu=0$ であり、被積分関数も $F'(u)\partial_iu\varphi$ も $0$ である。$M|\partial_iu||\varphi|$ で押さえて 優収束定理 を使えば、1 を得る。
2 は $|F(s)|\le M|s|$ と $|F'(u)\partial_iu|\le M|\partial_iu|$ から従う。$\square$

$\|F(u_k)-F(u)\|_{L^p}\le M\|u_k-u\|_{L^p}\to0$ である。勾配については、任意の部分列がさらに収束する部分列をもつことを示せば十分である。Bre11 Theorem 4.9（p. 94）により、部分列をとって $u_k\to u$ がほとんど至る所成り立つとしてよい。$i$ を固定し、$S$ の上の $F'$ の値を $|F'|\le M$ となるように（たとえば $0$ に）とって（thm-scr-piecewise の 1 により公式は値の取り方によらない）、thm-scr-piecewise の公式から
$$ \partial_i(F\circ u_k)-\partial_i(F\circ u)=F'(u_k)(\partial_iu_k-\partial_iu)+\bigl(F'(u_k)-F'(u)\bigr)\partial_iu $$
と分ける。第 1 項の $L^p$ ノルムは $M\|\partial_iu_k-\partial_iu\|_{L^p}\to0$ である。第 2 項は、$\{u\in S\}$ の上では cor-scr-level-set によりほとんど至る所 $\partial_iu=0$ なので $0$ である。$\{u\notin S\}$ の点 $x$ では、$u_k(x)\to u(x)\notin S$ で $F'$ は $u(x)$ の近傍で連続なので、$F'(u_k(x))\to F'(u(x))$ である。第 2 項の $p$ 乗は $(2M|\partial_iu|)^p\in L^1$ で押さえられるので、優収束定理 によりその $L^p$ ノルムは $0$ に収束する。$\square$