Eilenberg–Steenrodの公理

$1-S$ の単射性：$x=(x_i)\ne0$ とし、$x_r\ne0$ となる最小の $r$ をとる。$S(x)$ の第 $r$ 成分は、$r=0$ なら $0$、$r\ge1$ なら $f_{r-1}(x_{r-1})=f_{r-1}(0)=0$ なので、$(1-S)(x)$ の第 $r$ 成分は $x_r\ne0$ である。

$\beta$ の全射性と $\ker\beta=\operatorname{im}(1-S)$：帰納極限の記事の命題「加群の帰納極限の構成」（環を $\mathbb{Z}$ とする）により、$\beta$ は全射で、その核は $i\le j$、$a\in A_i$ についての元 $\iota_i(a)-\iota_j(f_{ij}(a))$ が生成する部分群 $R$ である（$\beta$ は商写像 $\bigoplus_iA_i\to\bigoplus_iA_i/R$ と同命題の同型 $\bigoplus_iA_i/R\cong\varinjlim_iA_i$ の合成である）。$j=i+1$ の元は $(1-S)(\iota_i(a))$ なので $\operatorname{im}(1-S)\subset R$ であり、逆に

$$\iota_i(a)-\iota_j(f_{ij}(a))=\sum_{k=i}^{j-1}\bigl(\iota_k(f_{ik}(a))-\iota_{k+1}(f_{i,k+1}(a))\bigr)=(1-S)\Bigl(\sum_{k=i}^{j-1}\iota_k(f_{ik}(a))\Bigr)$$

なので $R\subset\operatorname{im}(1-S)$ である。$\square$

望遠鏡：$[0,\infty)$ に整数点を $0$ 胞体とする CW 構造を入れると、$[0,\infty)$ は局所コンパクトなので、$X\times[0,\infty)$ は積の胞体を胞体とする CW 複体である（Hat02 Theorem A.6, p. 524）。$M:=\bigcup_iX_i\times[i,\infty)$ はその部分複体で、$x\in X_i$、$t\ge i$ なら $m:=\lfloor t\rfloor$ について $x\in X_m$ なので、$M=\bigcup_iX_i\times[i,i+1]$ である。$X\times[0,\infty)$ は $M$ に変形レトラクトする（Hat02 pp. 138–139。そこでは $X_i$ を骨格として述べているが、議論が使うのは各 $X_i$ が部分複体で $\bigcup_iX_i=X$ であることだけである）。射影 $X\times[0,\infty)\to X$ はホモトピー同値なので、包含との合成である射影 $p\colon M\to X$、$(x,t)\mapsto x$ もホモトピー同値である。

基点の半直線をつぶす：$X_0$ の $0$ 胞体 $x_0$ を一つ選び、$R:=\{x_0\}\times[0,\infty)$ と $Z:=R\cup\bigcup_iX_i\times\{i\}$ を考える。どちらも $M$ の部分複体で、$R$ は可縮である。対 $(M,R)$ の完全列 $\tilde h_n(R)\to\tilde h_n(M)\to\tilde h_n(M/R)\to\tilde h_{n-1}(R)$ の両端は $0$ なので（es-prop-point）、商写像 $q\colon M\to M/R$ は同型 $q_*$ を誘導する。$p$ は $R$ を $x_0$ へ写すので $\bar p\circ q=p$ となる $\bar p\colon M/R\to X$ があり、$p_*$ は同型（es-prop-point の 2）だから、$\bar p_*=p_*q_*^{-1}$ も同型である。

二つの商の形：以下、CW 複体の間の写像が同相写像であることは、連続な全単射で、各胞体の特性写像と合成すると相手の胞体の特性写像になることから、CW複体の記事の定理「胞体ごとの判定」により確かめる。$X_i$ を $x\mapsto[x,i]$ で $Z/R$ へ写す写像たちは、基点 $x_0$ でのウェッジ和からの同相写像 $\bigvee_iX_i\cong Z/R$ を与える。楔公理によるこの同型 $\bigoplus_i\tilde h_n(X_i)\cong\tilde h_n(Z/R)$ のあとに、包含が誘導する $\tilde h_n(Z/R)\to\tilde h_n(M/R)$ と $\bar p_*$ を合成すると、$\bar p$ の第 $i$ 成分への制限は $k_i$ なので、$\iota_i(a)\mapsto k_{i*}(a)$、すなわち $u\circ\beta$ になる。

次に、$0$ 胞体 $w_0$ を基点とする CW 複体 $W$ について、被約柱 $K(W):=(W\times[0,1])/(\{w_0\}\times[0,1])$ と両端 $e_s\colon W\to K(W)$、$e_s(w):=[w,s]$（$s=0,1$）を考え、$\partial K(W):=e_0(W)\cup e_1(W)$ とおく。$e_0(W)\cap e_1(W)$ は基点だけなので、$\partial K(W)$ は $W\vee W$ と同相である。$\Psi_i\colon K(X_i)\to M/R$、$[x,s]\mapsto[x,i+s]$ は $\partial K(X_i)$ を $Z/R$ へ写し、$\Psi_i\circ e_0$ は $X_i$ の成分への包含、$\Psi_i\circ e_1$ は $j_i$ と $X_{i+1}$ の成分への包含の合成である。$M$ の胞体で $Z$ に入らないものは $e\times(i,i+1)$（$e$ は $X_i$ の $x_0$ 以外の胞体）だけなので、$\Psi_i$ たちは同相写像 $\bigvee_iK(X_i)/\partial K(X_i)\cong(M/R)/(Z/R)$ を誘導する。

被約柱の計算：射影 $\pi\colon K(W)\to W$、$[w,s]\mapsto w$ は $\pi\circ e_0=\pi\circ e_1=\mathrm{id}_W$ を満たし、$([w,s],t)\mapsto[w,(1-t)s]$ が $e_0\circ\pi\simeq\mathrm{id}$ を与える（$[0,1]$ は局所コンパクトなので、商写像と $[0,1]$ の積は商写像であり、このホモトピーは連続：Hat02 Proposition A.17, p. 532）ので、$\pi$ はホモトピー同値である。es-thm-finite-wedge により $(a,b)\mapsto e_{0*}(a)+e_{1*}(b)$ は同型 $\tilde h_n(W)\oplus\tilde h_n(W)\cong\tilde h_n(\partial K(W))$ であり、そのあと包含と $\pi_*$ を合成すると $(a,b)\mapsto a+b$ になる。これはすべての $n$ で全射なので、対 $(K(W),\partial K(W))$ の完全列

$$\tilde h_{n+1}(\partial K(W))\to\tilde h_{n+1}(K(W))\to\tilde h_{n+1}(K(W)/\partial K(W))\xrightarrow{\partial}\tilde h_n(\partial K(W))\to\tilde h_n(K(W))$$

で最初の写像は全射、したがって二番目の写像は $0$ であり、$\partial$ は単射で、その像は $\{e_{0*}(a)-e_{1*}(a)\mid a\in\tilde h_n(W)\}$ である。そこで $\tau_W(a):=\partial^{-1}\bigl(e_{0*}(a)-e_{1*}(a)\bigr)$ とおくと、$\tau_W\colon\tilde h_n(W)\to\tilde h_{n+1}(K(W)/\partial K(W))$ は同型である。

望遠鏡の対の完全列：対 $(M/R,Z/R)$ の完全列を上の同型で書き直す。楔公理と同相写像 $\bigvee_iK(X_i)/\partial K(X_i)\cong(M/R)/(Z/R)$ により、$\sum_i\bar\Psi_{i*}\circ\tau_{X_i}$ は同型 $\bigoplus_i\tilde h_n(X_i)\cong\tilde h_{n+1}((M/R)/(Z/R))$ である（$\bar\Psi_i$ は $\Psi_i$ が誘導する商の間の写像）。$\partial$ の自然性を $\Psi_i$ に当てはめると、$\tilde h_n(Z/R)\cong\bigoplus_i\tilde h_n(X_i)$ の中で

$$\partial\bigl(\bar\Psi_{i*}\tau_{X_i}(a)\bigr)=(\Psi_i|_{\partial K(X_i)})_*\bigl(e_{0*}(a)-e_{1*}(a)\bigr)=\iota_i(a)-\iota_{i+1}(j_{i*}(a))$$

となる。したがって完全列は、$f_i:=j_{i*}$ についての es-lem-colim-exact の写像 $S$ を使って

$$\bigoplus_i\tilde h_n(X_i)\xrightarrow{1-S}\bigoplus_i\tilde h_n(X_i)\xrightarrow{g}\tilde h_n(M/R)\to\bigoplus_i\tilde h_{n-1}(X_i)\xrightarrow{1-S}\bigoplus_i\tilde h_{n-1}(X_i)$$

の形になる（$g$ は楔公理の同型と包含の誘導する写像の合成）。es-lem-colim-exact により右端の $1-S$ は単射なので、その前の写像は $0$ であり、$g$ は全射で $\ker g=\operatorname{im}(1-S)=\ker\beta$ である。$\beta$ は全射なので、$g=g'\circ\beta$ となる同型 $g'\colon\varinjlim_i\tilde h_n(X_i)\to\tilde h_n(M/R)$ がある。前の段により $\bar p_*\circ g=u\circ\beta$ なので、$\beta$ の全射性から $\bar p_*\circ g'=u$ であり、$u$ は同型である。

自然性：$X\to X'$ が部分複体の列を列へ写すなら、$u$ の定義と帰納極限の普遍性から、$u$ は誘導される写像と可換である。$\square$

楔公理の同型は包含の誘導する写像の和なので、自然変換 $T$ と可換である。

1．$0$ 骨格：$0$ 胞体 $x_0$ を一つ選ぶ。$X^0$ は離散なので、$x\ne x_0$ ごとの二点 $\{x_0,x\}\cong S^0$ の、$x_0$ でのウェッジ和と同相である（$X^0=\{x_0\}$ なら両辺は $0$）。$T$ は $S^0$ で同型なので、楔公理により $X^0$ で同型である。

2．骨格についての帰納法：$k\ge1$ について、$X^k/X^{k-1}$ は $k$ 胞体ごとの $S^k$ の基点でのウェッジ和と同相である（Hat02 Lemma 2.34 の証明, p. 137）。es-prf-comparison の 1 により $T$ は $S^k$ で同型なので、楔公理により $X^k/X^{k-1}$ で同型である。対 $(X^k,X^{k-1})$ の完全列に es-prf-comparison の 2 と同じ図式と五項補題を当てると、$X^{k-1}$ で同型なら $X^k$ で同型である。

3．極限：骨格の列 $X_i:=X^i$ に es-thm-telescope を当て、$\tilde h,\tilde h'$ についての同型を $u,u'$ とする。$T$ の自然性から $T\circ k_{i*}=k_{i*}\circ T$ なので、帰納極限の普遍性により $T\circ u=u'\circ\varinjlim_iT$ である。2 により各 $X^i$ で $T$ は同型なので、逆写像の族が誘導する写像が $\varinjlim_iT$ の逆写像になり、$\varinjlim_iT$ は同型である。よって $X$ でも $T$ は同型である。$\square$