エンド(∞圏)

概要

定義

本記事の∞圏は $(\infty,1)$-圏であり、基本モデルには準圏（quasicategory）を使う。準圏とは、すべての内部ホーン $\Lambda_i^n\to\mathcal C$（$n\geq2,0< i< n$）が $\Delta^n\to\mathcal C$ に延長できる単体的集合である。対象は頂点、射は辺であり、合成とその整合性は高次単体に記録される。
空間の∞圏を $\mathcal S$ と書く。空間はKan複体で表示できる。∞圏 $\mathcal D$ の写像空間（写像空間(∞圏)）$\operatorname{Map}_{\mathcal D}(x,y)$ は、射だけでなく射間のホモトピーとその高次の関係を保持する。通常の圏の脈体では、写像空間はHom集合に対応する離散空間である。基礎は HTT09 §§1.1.2, 1.1.5 による。

左ねじれ矢印∞圏

準圏 $\mathcal C$ の左ねじれ矢印∞圏（ねじれ矢印∞圏）$\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)$ は、$n$-単体を
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}\bigl((\Delta^n)^{\mathrm{op}}\star\Delta^n,\mathcal C\bigr) $$
とする構成である。$\star$ は単体的集合のjoinで、左の単体のすべての頂点を右の単体の頂点より前に置いてつなぐ。この場合は合計 $2n+2$ 頂点の単体となる。面・退化は両側の単体への制限による。
自然な射影
$$\pi:\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)\to\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$$
があり、対象である射 $f:c\to d$ を $(c,d)$ に送る。通常の圏の場合、$f:c\to d$ から $g:c'\to d'$ への射は、$a:c'\to c,b:d\to d'$ で $g=bfa$ を満たす組である。

この構成は準圏を与え、$\pi$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ 上の左ファイブレーションとなる。$\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)$ が準圏であることと $\pi$ が左ファイブレーションであることの出典は HA17 §5.2.1（Proposition 5.2.1.3 相当。そこでは反対の向き $\operatorname{Tw}(\mathcal C)\to\mathcal C\times\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の右ファイブレーションとして述べられている）である。さらに $\pi$ は写像空間関手 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,-)$ を分類する。これは構成の比較定理であり、射をただ並べただけの圏とは異なる。Hau21 §§1, 3。

∞圏のエンド

$\mathcal C$ を小さい∞圏、$H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。エンドを
$$\int_cH(c,c)=\lim_{\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)}H\pi$$
で定義する。右辺の極限（極限(∞圏)）が存在することを仮定する。$\mathcal D$ が小さい極限をすべて持てば十分である。
具体的には、対象 $E$ とその錐がすべての $T$ に対して自然な同値
$$ \operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,E) \simeq \lim_{(c\to d)\in\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)} \operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,H(c,d)) $$
を与えることをいう。極限の錐には、射に沿うホモトピーとすべての高次の整合性を含める。

普遍的な錐を備えたエンドの選択は、存在すれば可縮な選択の空間をなす。本記事ではエンドの添字を下に置く。文献の積分記号の上下は必ずしも統一されていないので、記号よりも定義する極限を確認する。Hau21 Corollary 3.8。

直感

通常のエンド（エンド）は「整合する族」であった。∞圏では、整合性を等式として要求するだけでは不十分であり、整合させるホモトピー、その間のホモトピー、さらにその上の整合性まで含める。
ねじれ矢印∞圏は、この混合分散の整合性を普通の∞圏の極限で扱える形に展開する。従って積分記号は、添字を消去しながらすべての高次整合性を課す操作を表す。数値的な和や測度積分ではない。

例

離散添字と一本の矢印

離散集合 $I$ を∞圏とみなせば、エンドは $\prod_{i\in I}H(i,i)$ である。$\mathcal C$ が通常の圏 $0\to1$ の脈体なら、
$$\int_cH(c,c)\simeq H(0,0)\times_{H(0,1)}H(1,1)$$
となる。右辺は $\mathcal D$ 内の∞圏的引き戻しである。空間の場合、二つの像を結ぶ道もデータに含む。

自然変換の空間

$F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ に対し
$$ \operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)}(F,G) \simeq\int_c\operatorname{Map}_{\mathcal D}(F(c),G(c)). $$
右辺は $\mathcal S$ で取るエンドで、混合分散の関手は $(c,d)\mapsto\operatorname{Map}_{\mathcal D}(F(c),G(d))$ である。これはホモトピー整合的な自然変換全体の空間を表す。Hau21 §4 の自然変換と重み付き極限（重み付き極限(∞圏)）の比較による。

群の添字と写像空間

離散群 $G$ に対する一対象亜群の脈体 $BG$ を添字とし、$H$ を空間 $X$ への定値関手とする。このとき
$$\int_{c\in BG}X\simeq\operatorname{Map}_{\mathcal S}(BG,X).$$
実際、$\operatorname{Tw}^{\ell}(BG)\simeq BG$ であり、空間 $BG$ 上の定値図式の極限は $BG$ でパラメータ付けされた $X$ の点の空間である。

反例：厳密な定値図式の固定点とは異なる

$G=\mathbb Z/2$、$X=B(\mathbb Z/2)$ とする。厳密な自明作用の固定点は $X$ そのものであり、連結である。一方、$\operatorname{Map}(BG,X)$ は、$\mathbb Z/2\to\mathbb Z/2$ の自明準同型と恒等準同型に対応する少なくとも二つの成分を持つ。両者は基本群上の写像が異なるためホモトピックではない。従って単に厳密な等式だけで計算しても、このエンドは得られない。

性質と通常版への帰着

通常の圏の脈体での一致

通常の小さい圏 $\mathcal C_0$ と通常の圏 $\mathcal D_0$ の間の混合分散の関手に対し、エンドが存在すれば、$\mathcal D=N(\mathcal D_0)$ での∞圏のエンドは通常のエンドに一致する。通常の集合値 $H$ を離散空間値とみなした場合も同じである。

通常の楔との比較

通常のねじれ矢印圏の各 $u:c\to d$ には、$1_c\to u$ と $1_d\to u$ がある。従って $H\pi$ への錐の条件は、$H(c,c)$ と $H(d,d)$ から $H(c,d)$ へ進む二本が一致するという楔の条件に帰着する。他の条件は関手性から従う。通常の圏の脈体では写像空間が離散的なので、この条件に余分な高次選択は加わらない。集合から離散空間への包含も極限を保つ。

Fubini型の交換

小さい∞圏 $\mathcal C,\mathcal A$ と対応する混合分散の $H$ について、必要なエンドが存在するとき、
$$ \int_c\int_aH((c,a),(c,a)) \simeq\int_{(c,a)}H((c,a),(c,a)) \simeq\int_a\int_cH((c,a),(c,a)). $$
Hau21 Proposition 2.21 と§3の比較。

ねじれ矢印構成と積

定義の単体から積 $\mathcal C\times\mathcal A$ への写像は、各因子への写像の組なので、$\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C\times\mathcal A)\cong\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)\times\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal A)$ である。積の添字に関する極限の普遍性は、各因子に関する整合的な錐を順次与える普遍性と一致する。従って積上の極限は反復極限としてどちらの順でも計算できる。

豊穣表示との比較

各HomがKan複体である単体的豊穣圏からは、ホモトピー整合的脈体によって準圏を得る。単体的モデル圏のcofibrant–fibrant部分圏や、弱同値を指定した圏の単体的局所化を局所Kanに置換したものが、この表示の入口になる。HTT09 §§1.1.5, 2.2.5。
ただし、厳密な豊穣エンド（エンド(豊穣圏)）が∞圏のエンドを常に計算するわけではない。Hom重みの適切なcofibrant置換を用いたホモトピー整合的なエンドが比較対象となる。Hau21 Remark 4.7。これは豊穣圏のエンドの厳密な構成を否定するものではなく、どの普遍性を求めているかの違いである。