超越数
概要
超越数（transcendental number）とは、0 でないどんな整数係数の多項式の根にもならない複素数、すなわち有理数体 $\mathbb{Q}$ 上代数的でない複素数のことである。$\sqrt2$ のような代数的な無理数は超越数でないので、実数の超越数は無理数の一部である。代数的数全体は可算な体をなすので、超越数は非可算個あり、ほとんどすべての実数は超越数である。一方、個々の数が超越数であることの証明は難しく、Liouville は代数的数が有理数で精度よく近似できないことを示して超越数の最初の具体例を与え、$\sum_{k\ge1}10^{-k!}$ はその典型である。ネイピア数 $e$ と円周率 $\pi$ も超越数であり（Hermite、Lindemann）、$2^{\sqrt2}$ や $e^{\pi}$ の超越性は Gelfond–Schneider の定理から従う。
前提知識: 複素数, 有理数, 多項式, 無理数, 代数的整数
定義
$\sqrt2$ は整数係数の多項式 $x^2-2$ の根であり、虚数単位 $i$ は $x^2+1$ の、黄金比 $(1+\sqrt5)/2$ は $x^2-x-1$ の根である。このように、$0$ でない整数係数の多項式に代入して $0$ になる数を代数的数といい、どんな $0$ でない整数係数の多項式に代入しても $0$ にならない数を超越数という。たとえば円周率 $\pi$ について、$x-3$、$7x-22$、$113x-355$ に代入した値は $0.14159\cdots$、$-0.00885\cdots$、$-0.00003\cdots$ と $0$ に近づくが $0$ にはならず、$x^2-10$ に代入しても $\pi^2-10=-0.1303\cdots$ である。どんな次数・どんな係数の多項式を試しても $0$ にならないというのが「$\pi$ は超越数である」という定理（Lindemann）の内容である。
複素数 $\alpha$ が 代数的 であるとは、$0$ でない整数係数の多項式 $f(x)$ で $f(\alpha)=0$ となるものが存在することをいい、そのような複素数を 代数的数 という。代数的でない複素数を 超越数（transcendental number）という。係数を有理数にしても、分母を払えば整数係数になるので同じ概念である。
代数的数 $\alpha$ を根にもつ $0$ でない整数係数の多項式の次数の最小値を、$\alpha$ の 次数 という。
より一般に、$K\subset L$ を体の拡大とするとき、$\alpha\in L$ が $K$ 上 超越的 であるとは、$f(\alpha)=0$ となる $0$ でない $f\in K[x]$ が存在しないことをいう（体の拡大 の記事の定義「代数的元と超越的元」）。超越数とは、$\mathbb{C}$ の元で $\mathbb{Q}$ 上超越的なもののことである。
この定義と次数は 無理数 の記事の定義「代数的数と超越数」と同じである。代数的数全体を $\overline{\mathbb{Q}}$ と書くと（代数的整数 の記事の記号）、超越数全体は $\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{Q}}$ である。有理数 $m/n$ は $nx-m$ の根なので次数 $1$ の代数的数であり、逆に次数 $1$ の代数的数は有理数である。したがって実数の超越数はすべて無理数である。
超越数は「代数的でない」という否定で定義されるので、ある数が超越数であることを示すには、すべての多項式を一度に排除しなければならない。そのため、超越数が存在すること自体は濃度の比較で簡単に示せるが（prop-transcendental-number-countable）、個々の数が超越数であることの証明は一般に難しい。最初の具体例は Liouville が 1844 年に与えた（Bak90 Chapter 1。本記事の thm-transcendental-number-liouville、ex-transcendental-number-liouville-constant）。
直感
代数的数は、有限個の整数（多項式の係数）で「名前を付けられる」数である。$\sqrt2$ は「$x^2-2$ の正の根」で決まる。名前は可算個しかないので、代数的数も可算個しかなく、非可算個ある複素数のほとんどは超越数である。一方、超越数は「整数の多項式では捕まえられない」数であり、有理数による近似の仕方にその性質が現れる。次数 $d$ の実代数的数は、分母 $q$ の有理数で $q^{-d}$ 程度より精度よく近似することができない（thm-transcendental-number-liouville）。逆に、有理数で異常に精度よく近似できる数は超越数である。
例と反例
- Liouville 定数 $\sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!}=0.110001000\cdots$（小数第 $1,2,6,24,120,\dots$ 位だけが $1$）は超越数である（ex-transcendental-number-liouville-constant。本記事で証明する）。
- ネイピア数 $e$（Hermite）と円周率 $\pi$（Lindemann）は超越数である（thm-transcendental-number-lindemann-weierstrass、ex-transcendental-number-consequences）。
- $\log2$、$\sin1$、$\cos1$ は超越数である（ex-transcendental-number-consequences）。
- $2^{\sqrt2}$ と $e^{\pi}$ は超越数である（Gelfond–Schneider の定理、thm-transcendental-number-gelfond-schneider）。
- 超越数 $\alpha$ と $0$ でない代数的数 $\beta$ について、$\alpha+\beta$、$\alpha\beta$、$1/\alpha$、$\alpha^n$（$n\ge1$）は超越数である（cor-transcendental-number-operations）。たとえば $\pi+\sqrt2$、$\sqrt2\,\pi$、$1/\pi$、$\pi^2$ は超越数である。
$\sqrt2$、$\sqrt[3]2$、$(1+\sqrt5)/2$ は無理数であるが（無理数 の記事の例「平方根と冪根」）、それぞれ $x^2-2$、$x^3-2$、$x^2-x-1$ の根なので代数的数であり、超越数でない。満たす性質：無理数である。満たさない性質：超越数である。破る含意：「無理数ならば超越数である」は成り立たない。実数は、有理数（次数 $1$ の代数的数）、代数的な無理数（次数 $2$ 以上の実代数的数）、超越数の 3 つに交わりなく分かれる。
$\pi$ と $1-\pi$ はともに超越数であるが（cor-transcendental-number-operations）、和は $1$ である。$\pi$ と $1/\pi$ はともに超越数であるが、積は $1$ である。満たす性質：各項は超越数である。満たさない性質：和・積が超越数である。破る含意：「超越数どうしの和（積）は超越数である」は成り立たない。超越数全体は $\mathbb{C}$ の部分体でも、加法の部分群でもない（$0$ を含まない）。これに対し、代数的数全体は $\mathbb{C}$ の部分体である（prop-transcendental-number-field）。
$\pi$ は $\mathbb{Q}$ 上超越的であるが、実数体 $\mathbb{R}$ 上では $x-\pi\in\mathbb{R}[x]$ の根なので代数的である。同様に、$\pi$ を添加した体 $\mathbb{Q}(\pi)$ 上でも代数的であり、$\sqrt\pi$ は $\mathbb{Q}(\pi)$ 上 $x^2-\pi$ の根として代数的である。満たす性質：$\pi$ は $\mathbb{Q}$ 上超越的である。満たさない性質：$\pi$ は $\mathbb{R}$ 上超越的である。破る含意：「$\alpha$ が $K$ 上超越的ならば、$K$ を含む任意の体 $L$ 上でも超越的である」は成り立たない。したがって「超越的」は基礎体を指定して初めて意味をもち、単に「超越数」というときの基礎体は $\mathbb{Q}$ である。
性質
代数的数の体と超越数の演算
代数的数全体 $\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ の部分体である。すなわち $\alpha,\beta\in\overline{\mathbb{Q}}$ ならば $\alpha+\beta$、$\alpha-\beta$、$\alpha\beta\in\overline{\mathbb{Q}}$ であり、$\alpha\neq0$ ならば $1/\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}$ である。
まず、代数的整数 $\gamma$ と $0$ でない整数 $m$ について $\gamma/m$ は代数的数であることに注意する。$\gamma$ が $0$ でない整数係数の多項式 $g$ の根なら、$\gamma/m$ は $0$ でない整数係数の多項式 $g(mx)$ の根だからである。
$\alpha,\beta\in\overline{\mathbb{Q}}$ とする。代数的整数 の記事の命題「代数的数の整数倍」により、$0$ でない整数 $d,e$ で $d\alpha$、$e\beta$ が代数的整数となるものがある。整数は代数的整数であり、同記事の定理「代数的整数全体のなす環」により代数的整数全体は和・差・積で閉じているので、
$$\alpha\pm\beta=\frac{e\cdot(d\alpha)\pm d\cdot(e\beta)}{de},\qquad\alpha\beta=\frac{(d\alpha)(e\beta)}{de}$$
の分子は代数的整数であり、はじめの注意により $\alpha\pm\beta$、$\alpha\beta$ は代数的数である。
$\alpha\neq0$ が $0$ でない整数係数の多項式 $f(x)=\sum_{k=0}^{n}c_kx^k$（$c_n\neq0$）の根であるとする。$x^nf(1/x)=\sum_{k=0}^{n}c_kx^{n-k}$ は、係数の並びを逆にした $0$ でない整数係数の多項式であり、$1/\alpha$ を代入すると $\alpha^{-n}f(\alpha)=0$ になる。よって $1/\alpha$ は代数的数である。$0,1\in\overline{\mathbb{Q}}$ なので、$\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ の部分体である。$\square$
$\alpha$ を超越数、$\beta$ を代数的数とする。
- $\alpha+\beta$、$\alpha-\beta$、$\beta-\alpha$ は超越数である。$\beta\neq0$ ならば $\alpha\beta$、$\alpha/\beta$、$\beta/\alpha$ は超越数である。とくに $-\alpha$、$1/\alpha$ は超越数である。
- $n\ge1$ について $\alpha^n$ は超越数である。また $\gamma^n=\alpha$ を満たす複素数 $\gamma$ はすべて超越数である。
- 複素共役 $\overline\alpha$ は超越数であり、実部 $\operatorname{Re}\alpha$ と虚部 $\operatorname{Im}\alpha$ の少なくとも一方は超越数である。
- たとえば $\alpha+\beta$ が代数的数なら、prop-transcendental-number-field により $\alpha=(\alpha+\beta)-\beta$ も代数的数となり矛盾する。他も同様に、$\alpha=(\alpha-\beta)+\beta$、$\alpha=\beta-(\beta-\alpha)$、$\alpha=(\alpha\beta)/\beta$、$\alpha=(\alpha/\beta)\beta$、$\alpha=\beta/(\beta/\alpha)$ と書けることから従う（$\beta\neq0$ のとき $\alpha\beta,\alpha/\beta,\beta/\alpha$ は $0$ でない）。$\beta=0$、$\beta=1$ とすれば $-\alpha$、$1/\alpha$ の場合になる。
- $\alpha^n$ が $0$ でない整数係数の多項式 $f$ の根なら、$f(x^n)$ は $0$ でない整数係数の多項式で $\alpha$ を根にもつので矛盾する。$\gamma^n=\alpha$ で $\gamma$ が代数的数なら、$\alpha=\gamma^n$ は prop-transcendental-number-field により代数的数となり矛盾する。
- 整数係数の多項式 $f$ について $f(\overline\alpha)=\overline{f(\alpha)}$ なので、$f(\overline\alpha)=0$ と $f(\alpha)=0$ は同値である。よって $\overline\alpha$ は超越数である。$\operatorname{Re}\alpha$ と $\operatorname{Im}\alpha$ がともに代数的数なら、$i$ も代数的数なので $\alpha=\operatorname{Re}\alpha+i\operatorname{Im}\alpha$ は代数的数となり矛盾する。$\square$
$\alpha$ を超越数、$\beta$ を任意の複素数とする。$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の少なくとも一方は超越数である。とくに $e+\pi$ と $e\pi$ の少なくとも一方は超越数である。
$s:=\alpha+\beta$、$p:=\alpha\beta$ がともに代数的数であると仮定する。$(\alpha-\beta)^2=s^2-4p$ は prop-transcendental-number-field により代数的数であり、cor-transcendental-number-operations の 2 の前半により $\alpha-\beta$ は代数的数である（$\alpha-\beta$ が超越数なら $(\alpha-\beta)^2$ も超越数になる）。すると $\alpha=\bigl(s+(\alpha-\beta)\bigr)/2$ は代数的数となり、仮定に反する。後半は $\alpha=\pi$、$\beta=e$ とし、$\pi$ が超越数であること（ex-transcendental-number-consequences）を使えばよい。$\square$
この証明は、$e+\pi$ と $e\pi$ のどちらが超越数かを決めない。
代数的数全体 $\overline{\mathbb{Q}}$ は可算集合であり、超越数全体 $\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{Q}}$ は非可算である。
実数の代数的数全体を $A$ とすると、$A$ は可算である（無理数 の記事の命題「代数的な実数の可算性」）。$\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}$ とすると、$\overline\alpha$ も代数的数であり（cor-transcendental-number-operations の 3 の証明と同じく $f(\overline\alpha)=\overline{f(\alpha)}$ による）、prop-transcendental-number-field により $\operatorname{Re}\alpha=(\alpha+\overline\alpha)/2$ と $\operatorname{Im}\alpha=(\alpha-\overline\alpha)/(2i)$ も代数的数、したがって $A$ の元である。写像 $\alpha\mapsto(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Im}\alpha)$ は $\overline{\mathbb{Q}}$ から $A\times A$ への単射であり、$A\times A$ は可算なので、$\overline{\mathbb{Q}}$ は可算である。実数の超越数全体は非可算であり（非可算集合 の記事の系「実数・無理数・超越数の非可算性」）、超越数全体はそれを含むので非可算である。$\square$
非可算集合 の記事と同じく、この証明は選択公理を使わない。選択公理のもとでは、超越数全体の濃度は $\mathbb{C}$ と同じ $2^{\aleph_0}$ である。また、可算集合の Lebesgue測度 は $0$ なので、実数の中の代数的数全体は測度 $0$ であり、この意味で「ほとんどすべての実数は超越数」である。ただし、この議論は個々の数が超越数かどうかについては何も教えない。
体論の言葉では、$\alpha$ が超越数であることは、代入写像 $\mathbb{Q}[x]\to\mathbb{C}$、$f\mapsto f(\alpha)$ が単射であることにほかならない。このとき $\mathbb{Q}[\alpha]$ は多項式環 $\mathbb{Q}[x]$ と同型であり、$\alpha$ を添加した体 $\mathbb{Q}(\alpha)$ は有理関数体 $\mathbb{Q}(x)$ と同型である（体の拡大）。複数の超越数の間に多項式の関係がないことを表すのが代数的独立性であり、その個数を測るのが超越次数である。
Liouville の近似定理と Liouville 数
$\alpha$ を次数 $d\ge1$ の実数の代数的数とする。定数 $c>0$ が存在して、$\alpha$ と異なるすべての有理数 $p/q$（$p\in\mathbb{Z}$、$q\ge1$）について
$$\left|\alpha-\frac pq\right|\ge\frac c{q^d}$$
が成り立つ。
$d=1$ のとき：$\alpha$ は有理数なので $\alpha=a/b$（$a\in\mathbb{Z}$、$b\ge1$）と書ける。$p/q\neq\alpha$ なら $aq-bp$ は $0$ でない整数なので、$|\alpha-p/q|=|aq-bp|/(bq)\ge1/(bq)\ge1/(bq^1)$ である。$c:=1/b$ とすればよい。
$d\ge2$ のとき：$\alpha$ を根にもつ次数 $d$ の整数係数の多項式 $f$ をとる。
$f$ は有理数の根をもたない。実際、有理数 $r$ について $f(r)=0$ なら、有理数係数の多項式の割り算により $f(x)=(x-r)g(x)$、$g\in\mathbb{Q}[x]$、$\deg g=d-1$ と書ける。$d\ge2$ なので $\alpha$ は有理数でなく $\alpha\neq r$ であり、$0=f(\alpha)=(\alpha-r)g(\alpha)$ から $g(\alpha)=0$ となる。$g$ の係数の分母を払えば $\alpha$ を根にもつ次数 $d-1$ の $0$ でない整数係数の多項式が得られ、$\alpha$ の次数が $d$ であることに反する。
有理数 $p/q$（$q\ge1$）について、$f(p/q)\neq0$ であり、$q^df(p/q)=\sum_kc_kp^kq^{d-k}$（$c_k$ は $f$ の係数）は $0$ でない整数なので
$$\left|f\Bigl(\frac pq\Bigr)\right|\ge\frac1{q^d}$$
である。$f$ の導関数 $f'$ は連続なので、閉区間 $[\alpha-1,\alpha+1]$ 上の $|f'|$ の最大値 $M$ が存在する（最大値・最小値の定理）。$M=0$ なら $f'$ はこの区間で恒等的に $0$ となり、無限個の根をもつ多項式 $f'$ は $0$ 多項式なので $f$ は定数となって、$d\ge2$ に反する。よって $M>0$ である。$c:=\min(1,1/M)$ とおく。
$|\alpha-p/q|\ge1$ なら $|\alpha-p/q|\ge1\ge c\ge c/q^d$ である。$|\alpha-p/q|<1$ なら、平均値の定理により $\alpha$ と $p/q$ の間の $\xi$ で
$$f\Bigl(\frac pq\Bigr)=f\Bigl(\frac pq\Bigr)-f(\alpha)=f'(\xi)\Bigl(\frac pq-\alpha\Bigr)$$
となるものがあり、$|\xi-\alpha|<1$ なので $|f'(\xi)|\le M$ である。よって
$$\frac1{q^d}\le\left|f\Bigl(\frac pq\Bigr)\right|\le M\left|\alpha-\frac pq\right|,\qquad\left|\alpha-\frac pq\right|\ge\frac1{Mq^d}\ge\frac c{q^d}$$
である。$\square$
$d\ge2$ のとき $p/q\neq\alpha$ は自動的に成り立つ。この定理は、次数の高い代数的数ほど有理数でよく近似される余地があるが、その精度は次数で抑えられることを述べている。無理数 の記事の定理「近似による無理数の特徴づけ」によれば、無理数 $\alpha$ には $|\alpha-p/q|<1/q^2$ を満たす有理数 $p/q$ が無限個あり、分母が $Q$ 以下で $|\alpha-p/q|<1$ となる有理数は有限個しかないので、その分母 $q$ はいくらでも大きくとれる。したがって、$d=2$ の場合に指数 $2$ を $2$ より小さい数に置き換えた不等式は成り立たない。
実数 $\alpha$ が Liouville 数（Liouville number）であるとは、任意の正の整数 $n$ に対し、整数 $p,q$ で $q\ge2$ かつ
$$0<\left|\alpha-\frac pq\right|<\frac1{q^n}$$
を満たすものが存在することをいう。
Liouville 数は超越数である。
Liouville 数 $\alpha$ が代数的数であると仮定し、その次数を $d$、thm-transcendental-number-liouville の定数を $c$ とする。$2^{d-n}< c$ となる $n>d$ をとり、この $n$ について定義の $p,q$ をとる。$p/q\neq\alpha$ なので
$$\frac c{q^d}\le\left|\alpha-\frac pq\right|<\frac1{q^n}$$
であり、$c< q^{d-n}\le2^{d-n}$（$q\ge2$、$d-n<0$）となって $n$ の選び方に反する。$\square$
$L:=\sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!}$ は Liouville 数であり、したがって超越数である。
$n\ge2$ について $q_n:=10^{n!}\ge2$、$p_n:=\sum_{k=1}^{n}10^{n!-k!}$（整数）とおくと、$p_n/q_n=\sum_{k=1}^{n}10^{-k!}$ である。$k\ge n+1$ について $k!\ge(n+1)!+(k-n-1)$ である（$k\ge1$ で $(k+1)!-k!=k\cdot k!\ge1$）から、
$$0< L-\frac{p_n}{q_n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}10^{-k!}\le\sum_{j=0}^{\infty}10^{-(n+1)!-j}=\frac{10}9\cdot10^{-(n+1)!}<10^{-(n+1)!+1}$$
である。$n\ge2$ なら $n!\ge2$ なので $(n+1)!-1=n\cdot n!+n!-1>n\cdot n!$ であり、
$$0< L-\frac{p_n}{q_n}<10^{-n\cdot n!}=\frac1{q_n^{\,n}}$$
となる。$n=1$ については $n=2$ の $p_2,q_2$ が $0< L-p_2/q_2< q_2^{-2}\le q_2^{-1}$ を満たす。よって $L$ は Liouville 数であり、cor-transcendental-number-liouville-number により超越数である。
同じ議論で、$0.a_1a_2\cdots$ の $k!$ 桁目にだけ $1$ から $9$ の数字を置いた数 $\sum_{k\ge1}a_k10^{-k!}$（$a_k\in\{1,\dots,9\}$）はすべて Liouville 数であり、Liouville 数は非可算個ある（異なる数字の列は異なる数を与える）。一方、$e$ や $\pi$ の超越性は、このような近似の議論とは別の方法で示される（rem-transcendental-number-lindemann-weierstrass）。
e と π の超越性と、その先の定理
$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ を、$\mathbb{Q}$ 上線形独立な代数的数とする。このとき $e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n}$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的独立である。すなわち、$0$ でない $n$ 変数の有理数係数の多項式 $F$ で $F(e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n})=0$ となるものは存在しない。とくに（$n=1$ の場合）$0$ でない代数的数 $\alpha$ について $e^{\alpha}$ は超越数である（Hermite–Lindemann の定理）。
thm-transcendental-number-lindemann-weierstrass の $n=1$ の場合（Hermite–Lindemann の定理）から次が従う。
- $e=e^1$ は超越数である（$\alpha=1$）。
- $\pi$ は超越数である。$e^{i\pi}=-1$ は代数的数なので、$i\pi$ は $0$ でない代数的数ではありえない。$i\pi\neq0$ なので $i\pi$ は超越数であり、cor-transcendental-number-operations の 1 により $\pi=(i\pi)/i$ も超越数である。
- $\log2$（$e^x=2$ を満たす実数 $x$）は超越数である。$\log2\neq0$ が代数的数なら $e^{\log2}=2$ は超越数となるが、$2$ は代数的数だからである。同様に、$1$ でない正の代数的数 $a$ について $\log a$ は超越数である。
- $\cos1$ は超越数である。$\cos1=(e^i+e^{-i})/2$ が代数的数なら、$z=e^i$ は $z^2-2(\cos1)z+1=0$ の根であり、$z=\cos1\pm\sqrt{\cos^21-1}$ は prop-transcendental-number-field と cor-transcendental-number-operations の 2 により代数的数になる。これは $i$ が $0$ でない代数的数なので $e^i$ が超越数であることに反する。$\sin1=(e^i-e^{-i})/(2i)$ についても同様である。
$a,b$ を代数的数とし、$a\neq0,1$、$b$ は有理数でないとする。このとき $a^b:=e^{b\log a}$ は、$\log a$ として $e^{w}=a$ を満たすどの複素数 $w$ をとっても超越数である。
この定理は Hilbert の第 7 問題の解決として、Gelfond と Schneider が 1934 年に独立に証明した。証明は Bak90 Chapter 2 に譲る（同書では対数の 1 次形式に関する Baker の定理の特別な場合として扱われる）。$a=2$、$b=\sqrt2$ とすれば $2^{\sqrt2}$ は超越数である。$a=-1$、$b=-i$、$\log(-1)=i\pi$ とすれば $(-1)^{-i}=e^{-i\cdot i\pi}=e^{\pi}$ は超越数である。$b$ が有理数でないという仮定は省けない。たとえば $a=2$、$b=1/2$ では $a^b=\sqrt2$ は代数的数である。
補足
- 分類：ex-transcendental-number-algebraic-irrational のとおり、実数は有理数・代数的な無理数・超越数に分かれる。有理数と無理数の区別は 無理数 の記事が、代数的数のうち「整数」にあたるものは 代数的整数 の記事が扱う。
- 近似の精度：次数 $d\ge2$ の実代数的数 $\alpha$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対し、ある定数 $c(\alpha,\varepsilon)>0$ が存在して、すべての有理数 $p/q$（$q\ge1$）について $|\alpha-p/q|\ge c(\alpha,\varepsilon)/q^{2+\varepsilon}$ が成り立つ（Roth の定理）。これは thm-transcendental-number-liouville の指数 $d$ を、$d\ge3$ の場合に $2+\varepsilon$ まで改善するものである（定数 $c(\alpha,\varepsilon)$ は一般に有効に求まらない。Bak90 Chapter 7）。
- 文献：HW08 Chapter XI、Bak90 Chapter 1・Chapter 2、Lan02 Appendix 1。
関連項目
参考文献
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