行列環

環の公理（加法がアーベル群をなすこと、乗法の結合律、分配法則、$I$ が単位元であること）は、成分が必ずしも可換でない環の場合に 行列 の記事の命題「行列演算の基本法則」の 1〜4 で示されている。結合律の証明では、各項 $x_{ij}y_{jk}z_{kl}$ の積の順序を保ったまま括弧を付け替えるだけなので、$A$ の可換性は使わない。
$\iota$ について。$(a+b)I=aI+bI$ は明らかであり、$(aI)(bI)$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_k(a\delta_{ik})(\delta_{kj}b)=\delta_{ij}ab$ なので $(aI)(bI)=(ab)I$ である。$\iota(1)=I$ であり、$aI=0$ なら $a=0$ なので $\iota$ は単射である。環準同型の像は部分環である（環 の記事の定理「環の準同型定理」の 2）から、$\iota(A)$ は $M_n(A)$ の部分環で、$\iota$ により $A$ と同型である。

$A$ が零環なら $M_n(A)$ は零環で可換である。$n=1$ なら $M_1(A)=A$（ex-matrix-ring-degenerate）なので、$M_1(A)$ が可換であることと $A$ が可換であることは同値である。
残りは、$A$ が零環でなく $n\geq2$ のとき $M_n(A)$ が可換でないことである。$A$ は零環でないので $1\neq0$（環 の記事の命題「環の基本計算規則」の 4）であり、$E_{12}\neq0$ である。$E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ から
$$ E_{11}E_{12}=E_{12}\neq0=E_{12}E_{11} $$
なので $E_{11}$ と $E_{12}$ は交換しない。さらに $E_{11}E_{22}=0$ で $E_{11}\neq0$、$E_{22}\neq0$ なので $E_{11}$ は $0$ でない零因子であり、$E_{12}^2=0$ なので $E_{12}$ は $0$ でない冪零元である。

$a\in Z(A)$ とし、$X=(x_{ij})\in M_n(A)$ とする。$(aI)X$ の $(i,j)$ 成分は $ax_{ij}$、$X(aI)$ の $(i,j)$ 成分は $x_{ij}a$ であり、$a$ が中心の元なので両者は等しい。よって $aI\in Z(M_n(A))$ である。
逆に $Z=(z_{st})\in Z(M_n(A))$ とする。任意の $i,j$ について $ZE_{ij}=E_{ij}Z$ であり、両辺の $(r,s)$ 成分は
$$ (ZE_{ij})_{rs}=z_{ri}\,\delta_{js},\qquad (E_{ij}Z)_{rs}=\delta_{ri}\,z_{js} $$
である。$s=j$、$r\neq i$ とおくと $z_{ri}=0$ を得る。$r=i$、$s=j$ とおくと $z_{ii}=z_{jj}$ を得る。$i,j$ は任意なので、$Z$ の対角成分以外の成分はすべて $0$ で、対角成分はすべて等しい（$n=1$ ならこの部分は何も主張しない）。よって $a:=z_{11}$ とおけば $Z=aI$ である。さらに任意の $b\in A$ について $Z$ は $bI$ と交換するので、prop-matrix-ring-is-ring の計算 $(aI)(bI)=(ab)I$ により $(ab)I=(ba)I$、すなわち $ab=ba$ である。したがって $a\in Z(A)$ である。
$A$ が可換なら $Z(A)=A$ であり、$a\mapsto aI$ は prop-matrix-ring-is-ring により単射な環準同型で、その像が中心に一致するので、$A$ と中心の同型を与える。

1. $M_n(\mathfrak{a})$ は成分ごとに差で閉じ、零行列を含むので、加法について部分群である。$X\in M_n(A)$、$Y\in M_n(\mathfrak{a})$ とする。$(XY)_{ij}=\sum_kx_{ik}y_{kj}$ の各項は $\mathfrak{a}$ が左イデアルであることから $\mathfrak{a}$ に属し、$(YX)_{ij}=\sum_ky_{ik}x_{kj}$ の各項は $\mathfrak{a}$ が右イデアルであることから $\mathfrak{a}$ に属する。よって $XY,YX\in M_n(\mathfrak{a})$ である。
2. $J$ を $M_n(A)$ の両側イデアルとし、
   $$ \mathfrak{a}:=\{a\in A\mid aE_{11}\in J\} $$
   とおく。まず、$J$ の元の成分はすべて $\mathfrak{a}$ に属することを示す。$X=(x_{st})\in J$ と $p,q$ をとると、定義の後に示した式により $E_{1p}XE_{q1}=x_{pq}E_{11}$ であり、$J$ は両側イデアルなので左辺は $J$ に属する。よって $x_{pq}\in\mathfrak{a}$ である。逆に $a\in\mathfrak{a}$ は $aE_{11}\in J$ の $(1,1)$ 成分なので、$\mathfrak{a}$ は $J$ の元の成分として現れる元の全体に等しい。
   $\mathfrak{a}$ は $A$ の両側イデアルである。実際、$0\cdot E_{11}=0\in J$ なので $0\in\mathfrak{a}$ であり、$a,b\in\mathfrak{a}$ なら $(a-b)E_{11}=aE_{11}-bE_{11}\in J$ である。$r\in A$ なら、スカラー行列との積の式により $(rI)(aE_{11})=(ra)E_{11}$、$(aE_{11})(rI)=(ar)E_{11}$ であり、これらは $J$ に属するので $ra,ar\in\mathfrak{a}$ である。
   $J=M_n(\mathfrak{a})$ を示す。$J\subset M_n(\mathfrak{a})$ はすでに示した。逆に $X=\sum_{i,j}x_{ij}E_{ij}\in M_n(\mathfrak{a})$ とする。各 $x_{ij}\in\mathfrak{a}$ について $x_{ij}E_{11}\in J$ であり、行列単位の積の規則から
   $$ E_{i1}\,(x_{ij}E_{11})\,E_{1j}=x_{ij}E_{ij} $$
   なので $x_{ij}E_{ij}\in J$ である。$J$ は加法で閉じているので $X\in J$ である。
   一意性。$M_n(\mathfrak{a})=M_n(\mathfrak{a}')$ なら、両辺の元の $(1,1)$ 成分として現れる元の全体を比べて $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}'$ である（$a\in\mathfrak{a}$ なら $aE_{11}\in M_n(\mathfrak{a})$ の $(1,1)$ 成分は $a$）。
3. 1 と 2 から $\mathfrak{a}\mapsto M_n(\mathfrak{a})$ は全単射である。$\mathfrak{a}\subset\mathfrak{a}'$ なら $M_n(\mathfrak{a})\subset M_n(\mathfrak{a}')$ であり、逆に $M_n(\mathfrak{a})\subset M_n(\mathfrak{a}')$ なら $a\in\mathfrak{a}$ について $aE_{11}\in M_n(\mathfrak{a}')$ から $a\in\mathfrak{a}'$ である。
4. 自然な射影 $\pi\colon A\to A/\mathfrak{a}$ を成分ごとに施す写像 $\Pi\colon M_n(A)\to M_n(A/\mathfrak{a})$、$(x_{ij})\mapsto(\pi(x_{ij}))$ を考える。$\pi$ は環準同型なので、$\Pi(XY)_{ij}=\pi\bigl(\sum_kx_{ik}y_{kj}\bigr)=\sum_k\pi(x_{ik})\pi(y_{kj})=(\Pi(X)\Pi(Y))_{ij}$ であり、和と単位行列も保たれる。よって $\Pi$ は環準同型である。$\pi$ が全射なので $\Pi$ も全射であり、$\Pi(X)=0$ はすべての成分が $\ker\pi=\mathfrak{a}$ に属すること、すなわち $X\in M_n(\mathfrak{a})$ と同値である。環 の記事の定理「環の準同型定理」により $M_n(A)/M_n(\mathfrak{a})\cong M_n(A/\mathfrak{a})$ である。

$M_n(A)$ が零環であることと $A$ が零環であることは同値である（$M_n(A)$ が零環になるのは、すべての成分が $0$ になるとき、すなわち $A=\{0\}$ のときに限る）。thm-matrix-ring-ideals の 3 により、$A$ の両側イデアルと $M_n(A)$ の両側イデアルは全単射で対応し、$\{0\}$ は $M_n(\{0\})=\{0\}$ に、$A$ は $M_n(A)$ に対応する。したがって「両側イデアルが自明なものだけである」という条件は、$A$ と $M_n(A)$ で同時に成り立つか同時に成り立たない。可除環の両側イデアルは $\{0\}$ と全体だけであり（環 の記事の命題「イデアルの基本性質」の 3）、可除環は零環でないので単純環である。