球面三角法

半径 $1$ の球面の上に、$A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ をとる。3 点を結ぶ大円（球の中心を通る平面で切った円）の弧は、どれも円周の $\dfrac14$ で、長さは $\dfrac\pi2$ である。この 3 本の弧で囲まれた三角形は、球面を座標平面で 8 等分した 1 つで、3 つの角はどれも直角である（球面三角形の面積）。
(1) 平面の余弦定理に $b=c=\dfrac\pi2$、$A=\dfrac\pi2$ を入れると、$a^2=\left(\dfrac\pi2\right)^2+\left(\dfrac\pi2\right)^2-0$ から $a=\dfrac{\sqrt2\,\pi}{2}=2.221\ldots$ となる。実際の辺の長さは $\dfrac\pi2=1.570\ldots$ で、4 割以上ずれる。
(2) 内角の和は $\dfrac\pi2\times3=\dfrac{3\pi}2$（$270^\circ$）で、$180^\circ$ ではない。

$A(0,0,1)$（北極）、$B(1,0,0)$（赤道上）、$C\left(0,\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt2}2\right)$（北緯 $45^\circ$）とする。
(1) 辺：$\cos c=\vec a\cdot\vec b=0$ から $c=\dfrac\pi2$、$\cos b=\vec c\cdot\vec a=\dfrac{\sqrt2}2$ から $b=\dfrac\pi4$、$\cos a=\vec b\cdot\vec c=0$ から $a=\dfrac\pi2$ である。
(2) 角 $A$：$\vec t_{AB}=\vec b-0\cdot\vec a=(1,0,0)$、$\vec t_{AC}=\vec c-\dfrac{\sqrt2}2\vec a=\left(0,\dfrac{\sqrt2}2,0\right)$ で、内積は $0$ なので $A=\dfrac\pi2$ である。
(3) 角 $B$：$\vec t_{BA}=\vec a-(\vec b\cdot\vec a)\vec b=(0,0,1)$、$\vec t_{BC}=\vec c-(\vec b\cdot\vec c)\vec b=\vec c$ で、内積は $\dfrac{\sqrt2}2$、長さはどちらも $1$ なので $\cos B=\dfrac{\sqrt2}2$、$B=\dfrac\pi4$ である。
(4) 角 $C$：$\vec t_{CA}=\vec a-\dfrac{\sqrt2}2\vec c=\left(0,-\dfrac12,\dfrac12\right)$、$\vec t_{CB}=\vec b-0\cdot\vec c=(1,0,0)$ で、内積は $0$ なので $C=\dfrac\pi2$ である。
内角の和は $\dfrac\pi2+\dfrac\pi4+\dfrac\pi2=\dfrac{5\pi}4$ で、$\pi$ より $\dfrac\pi4$ 大きい。球面三角形の面積 の Girard の定理により、この三角形の面積は $\dfrac\pi4$ である。

ex-strig-sides の三角形（$a=\dfrac\pi2$、$b=\dfrac\pi4$、$c=\dfrac\pi2$、$A=\dfrac\pi2$、$B=\dfrac\pi4$、$C=\dfrac\pi2$）で確かめる。
(1) 頂点 $B$ の余弦定理：右辺は $\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B=0\cdot0+1\cdot1\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2}2$ で、左辺 $\cos b=\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$ と一致する。
(2) 頂点 $A$ の余弦定理：右辺は $\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A=\dfrac{\sqrt2}2\cdot0+\dfrac{\sqrt2}2\cdot1\cdot0=0$ で、左辺 $\cos a=0$ と一致する。
(3) 正弦定理：$\dfrac{\sin A}{\sin a}=\dfrac11=1$、$\dfrac{\sin B}{\sin b}=\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1$、$\dfrac{\sin C}{\sin c}=1$ で等しい。$\Delta=1-0-\dfrac12-0+0=\dfrac12$ で、$\dfrac{\sqrt\Delta}{\sin a\sin b\sin c}=\dfrac{1/\sqrt2}{\sqrt2/2}=1$ とも一致する。

単位球面の上で、3 辺がどれも $a=b=c=\dfrac\pi3$ の球面三角形の角を求める。余弦定理から
$$ \cos A=\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}=\frac{\frac12-\frac14}{\frac34}=\frac13 $$
で、$A=\arccos\dfrac13=70.528\ldots^\circ$ である。対称性から $B=C=A$ で、内角の和は $211.58\ldots^\circ$ である。平面の正三角形の $60^\circ$ より、1 つの角が $10.5^\circ$ ほど大きい。
球面三角形の面積 の Girard の定理から、面積は内角の和から $\pi$ を引いた
$$ 3\arccos\frac13-\pi=0.5512\ldots $$
である（$31.58\ldots^\circ$ をラジアンに直した値）。余弦定理と Girard の定理を組み合わせると、3 辺から面積が求まる。

東京を北緯 $35.68^\circ$・東経 $139.69^\circ$、ロンドンを北緯 $51.51^\circ$・西経 $0.13^\circ$（経度 $-0.13^\circ$）とする。経度の差は $139.82^\circ$ である。cor-strig-distance から
$$ \cos d=\sin35.68^\circ\sin51.51^\circ+\cos35.68^\circ\cos51.51^\circ\cos139.82^\circ=0.0702\ldots $$
で、$d=85.97\ldots^\circ$ である。$R=6371\ \mathrm{km}$ とすると、大円距離は $6371\times85.97\ldots\times\dfrac{\pi}{180}=9559\ldots\ \mathrm{km}$ である。

北緯 $60^\circ$ で、経度が $0^\circ$ と $180^\circ$ の 2 地点を考える。
(1) 大円に沿う道：cor-strig-distance で $\cos d=\sin^260^\circ+\cos^260^\circ\cos180^\circ=\dfrac34-\dfrac14=\dfrac12$ なので $d=60^\circ$ である。この大円は北極を通り、北極まで $30^\circ$、北極から $30^\circ$ 進む。距離は $6371\times\dfrac\pi3=6671\ldots\ \mathrm{km}$ である。
(2) 緯線に沿う道：北緯 $60^\circ$ の緯線は半径 $R\cos60^\circ=\dfrac R2$ の円なので、半周は $\pi\times\dfrac{6371}{2}=10007\ldots\ \mathrm{km}$ である。
緯線に沿うと、大円に沿うより 1.5 倍長い。緯線は（赤道を除いて）大円ではないからである。

地球（$R=6371\ \mathrm{km}$）の上で、2 辺の長さがどちらも $s$、その間の角が $60^\circ$ の三角形の第 3 辺を、球面の余弦定理と平面の余弦定理（第 3 辺も $s$ になる）で比べる。

$s$ が $10$ 倍になると誤差はおよそ $100$ 倍になり、$s^2$ に比例して小さくなる（図 4）。測量のような小さい範囲では平面の式で十分だが、大陸をまたぐ距離では球面の式が要る。ex-strig-tokyo の三角形（北極と 2 都市）に平面の余弦定理を使うと、辺を弧の長さ（北極から $54.32^\circ$ と $38.49^\circ$、間の角 $139.82^\circ$）として第 3 辺は $9711\ \mathrm{km}$ となり、$1.6\%$ 長くなる。

ex-strig-start の三角形（3 辺がどれも $\dfrac\pi2$、3 つの角がどれも $\dfrac\pi2$）で確かめる。
(1) 弦の長さ：$A(1,0,0)$ と $B(0,1,0)$ を結ぶ線分の長さは $\sqrt2$ である。辺を弦の長さ $a=b=c=\sqrt2$ として球面の余弦定理に入れると、左辺 $\cos\sqrt2=0.155\ldots$、右辺 $\cos^2\sqrt2+\sin^2\sqrt2\cos\dfrac\pi2=0.0243\ldots$ で一致しない。余弦定理の $a,b,c$ は、位置ベクトルのなす角（中心角）でなければならない。
(2) 平面の式：ex-strig-start (1) のとおり、第 3 辺が $2.221\ldots$ となり、正しい値 $1.570\ldots$ と大きくずれる。ex-strig-small のとおり、平面の式の誤差は三角形が小さいほど小さく、この三角形のように球面の 8 分の 1 を占める大きさでは使えない。
(3) 内角の和：2 つの角 $\dfrac\pi2$、$\dfrac\pi2$ から、内角の和を $\pi$ として 3 つ目の角を求めると $0$ になる。正しくは $\dfrac\pi2$ で、余弦定理 $\cos A=\dfrac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}=\dfrac{0-0}{1}=0$ から求まる。