整流可能集合

要点：Lipschitz 写像は各成分ごとに McShane の延長で $\mathbb{R}^m$ 全体へ延ばせる。

要点：どれも定義の被覆の並べ替えと、Lipschitz 写像による測度の評価から従う。

要点：$G$ に $\mathbb{R}^{n-m}$ 方向の平行移動を足した写像 $\Psi(x,z)$ に逆関数定理を使い、その逆写像を平らにする座標にする。

1 ⇒ 2。 定義の被覆 $E\subset E_0\cup\bigcup_jF_j(\mathbb{R}^m)$ をとる。各 $F_j(\mathbb{R}^m)$ が、$\mathcal H^m$-零集合を除いて可算個の $m$ 次元 $C^1$ 級部分多様体で覆えることを示せばよい。そこで $F\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ を $L$-Lipschitz 写像とする。
段 1（Lipschitz 写像を $C^1$ 級写像の列で置き換える）。 thm-rect-c1-approx により、各 $k\ge1$ について $C^1$ 級写像 $G_k$ で $A_k:=\{F\ne G_k\}$ が $\mathcal L^m(A_k)<1/k$ を満たすものがある。$N:=\bigcap_kA_k$ は $\mathcal L^m(N)=0$ を満たし、$x\notin N$ ならある $k$ で $F(x)=G_k(x)$ なので
$$ F(\mathbb{R}^m)\subset F(N)\cup\bigcup_{k=1}^\infty G_k(\mathbb{R}^m) $$
である。$\mathcal H^m(F(N))\le L^m\mathcal H^m(N)=L^m\mathcal L^m(N)=0$ である。
段 2（階数が落ちる点の像は零集合）。 $G:=G_k$ とし、$Z:=\{x\mid J_mG(x)=0\}$（$J_mG=\sqrt{\det(DG^{\mathsf T}DG)}$）とおく。$J_mG(x)=0$ は $DG(x)$ の階数が $m$ 未満であることと同値である。$r>0$ を固定し、$B_r$ を原点中心・半径 $r$ の開球とする。$DG$ は閉球 $\overline{B_r}$ の上で有界なので、平均値の不等式により $G$ は $\overline{B_r}$ 上で Lipschitz であり、prop-rect-subsets の証明と同じく McShane の延長により、$\overline{B_r}$ 上で $G$ に一致する Lipschitz 写像 $H\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ がある。$B_r$ の各点で $H$ と $G$ は近傍で一致するので $J_mH=J_mG$ である。Hausdorff測度と面積・余面積公式 の定理「面積公式」を $H$、$A:=Z\cap B_r$、$g=1$ に適用すると
$$ \mathcal H^m(G(Z\cap B_r))\le\int_{\mathbb{R}^m}\#\bigl(A\cap H^{-1}(y)\bigr)\,d\mathcal H^m(y)=\int_AJ_mH\,dx=0 $$
である（像の各点 $y\in H(A)$ で $\#(A\cap H^{-1}(y))\ge1$）。$r=1,2,\ldots$ の和をとって $\mathcal H^m(G(Z))=0$ である。
段 3（階数が最大の点の像は部分多様体の和）。 $U:=\mathbb{R}^m\setminus Z$ は開集合である。lem-rect-local-embedding により、各 $x\in U$ に $x$ を含む開集合 $V_x\subset U$ で $G(V_x)$ が $m$ 次元 $C^1$ 級部分多様体になるものがある。$\mathbb{R}^m$ の開集合 $U$ は可算個の $V_{x_1},V_{x_2},\ldots$ で覆える（$\mathbb{R}^m$ は第 2 可算なので Lindelöf空間）。したがって $G(\mathbb{R}^m)\subset G(Z)\cup\bigcup_iG(V_{x_i})$ である。
段 1〜3 を合わせると、$F(\mathbb{R}^m)$ は $\mathcal H^m$-零集合 $F(N)\cup\bigcup_kG_k(Z_k)$ と可算個の $C^1$ 級部分多様体の和に含まれる。
2 ⇒ 1。 prop-rect-basic の 1 により、$m$ 次元 $C^1$ 級部分多様体 $M$ が可算 $m$-整流可能であることを示せばよい。$p\in M$ と def-rect-c1-submanifold の $(W,\Phi)$ をとり、$O:=\{u\in\mathbb{R}^m\mid(u,0)\in\Phi(W)\}$、$\psi(u):=\Phi^{-1}(u,0)$ とおくと、$O$ は開集合、$\psi\colon O\to\mathbb{R}^n$ は $C^1$ 級で $\psi(O)=M\cap W$ である。$O$ は $O$ に含まれる可算個の閉球の和集合であり、各閉球の上で $\psi$ は Lipschitz なので、prop-rect-subsets により $M\cap W$ は可算 $m$-整流可能である。$M$ は可算個のこのような $W$ で覆える（$\mathbb{R}^n$ の部分空間 $M$ も第 2 可算）。$\square$

$C$ は総長 $2^j4^{-j}=2^{-j}$ の区間の和に含まれるので $\mathcal L^1(C)=0$ である。
上からの評価。 $\alpha_1=2$ なので、$\mathcal H^1_\delta$ の和の各項は被覆集合の直径である。一辺 $4^{-j}$ の $4^j$ 個の正方形は直径 $\sqrt2\cdot4^{-j}$ で、直径の総和は $\sqrt2$ である。$\sqrt2\cdot4^{-j}\le\delta$ となる $j$ をとれば $\mathcal H^1_\delta(K)\le\sqrt2$ なので、$\delta\downarrow0$ として $\mathcal H^1(K)\le\sqrt2$ である。
下からの評価。 単位ベクトル $(1,2)/\sqrt5$ への射影 $\varphi(x,y):=(x+2y)/\sqrt5$ は $1$-Lipschitz である。$x=\sum a_j4^{-j}$、$y=\sum b_j4^{-j}$（$a_j,b_j\in\{0,3\}$）なら $a_j+2b_j\in\{0,3,6,9\}$ なので、$a_j+2b_j=3d_j$（$d_j\in\{0,1,2,3\}$）と書けて
$$ x+2y=3\sum_{j=1}^\infty d_j4^{-j} $$
である。逆に任意の $d_j\in\{0,1,2,3\}$ は $(a_j,b_j)$ の 1 組から得られる。$\sum_j3\cdot4^{-j}=1$ なので、$[0,1]$ の各数は $\sum d_j4^{-j}$（$d_j\in\{0,1,2,3\}$）と 4 進展開でき、$x+2y$ の値の全体は $[0,3]$、$\varphi(K)$ は線分 $[0,3/\sqrt5]$ である。Hausdorff測度と面積・余面積公式 の命題「Lipschitz写像による測度の評価」と「線分のHausdorff測度」により、$\mathcal H^1(K)\ge\mathcal H^1(\varphi(K))=3/\sqrt5$ である（$3/\sqrt5\approx1.342<\sqrt2\approx1.414$ で、上からの評価と矛盾しない）。$\square$

要点：$C^1$ 曲線は局所的にどちらかの座標軸の上の Lipschitz グラフであり、$K$ の座標軸への射影は零集合 $C$ である。

測度の評価は prop-rect-four-corner-measure である。$R\subset\mathbb{R}^2$ を可算 $1$-整流可能集合とする。thm-rect-c1-cover により $1$ 次元 $C^1$ 級部分多様体 $M_j$ で $\mathcal H^1(R\setminus\bigcup_jM_j)=0$ となるものがあり、lem-rect-four-corner-curve から
$$ \mathcal H^1(K\cap R)\le\mathcal H^1\Bigl(R\setminus\bigcup_jM_j\Bigr)+\sum_j\mathcal H^1(K\cap M_j)=0 $$
である。$\square$