下降階乗冪

1：最高次の係数が $1$ で整数係数の 1 次式 $x-i$ を $k$ 個掛けたものだからである。
2：$k\le n$ なら $n^{\underline k}=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ である。$k>n$ なら、因子 $x-i$（$0\le i\le k-1$）のうち $i=n$ の因子が $n-n=0$ になる。
3：$x^{\underline{k+l}}$ の $k+l$ 個の因子 $x,x-1,\dots,x-k-l+1$ を、前の $k$ 個 $x,\dots,x-k+1$ と後の $l$ 個 $x-k,\dots,x-k-l+1$ に分ける。前の積は $x^{\underline k}$、後の積は $(x-k)(x-k-1)\cdots\bigl((x-k)-l+1\bigr)=(x-k)^{\underline l}$ である。
4：$(-x)^{\underline k}=\prod_{i=0}^{k-1}(-x-i)=\prod_{i=0}^{k-1}(-1)(x+i)=(-1)^kx^{\overline k}$ である。2 つめも同様である。
5：一般の上の数をもつ二項係数の定義 $\binom xk:=\frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}$ そのものである。$\square$

$k=0$ では $K=\emptyset$ から $N$ への写像は空写像ただ 1 つで単射なので、個数は $1=n^{\underline 0}$ である。$k\ge1$ とし、$k-1$ 元集合については正しいとする。$K$ の元 $a$ を 1 つ固め、$K':=K\setminus\{a\}$ とする。単射 $f\colon K\to N$ に組 $(f|_{K'},\ f(a))$ を対応させると、$f|_{K'}$ は $K'$ から $N$ への単射で、$f(a)$ は $N\setminus f(K')$ の元である。逆に、単射 $g\colon K'\to N$ と $b\in N\setminus g(K')$ から、$g$ を $a\mapsto b$ で延ばした単射が得られ、2 つの対応は互いに逆である。$g$ の選び方は帰納法の仮定により $n^{\underline{k-1}}$ 通り、$g$ ごとに $b$ の選び方は $|N\setminus g(K')|=n-(k-1)$ 通りなので（$n-k+1\le0$ の場合は $n^{\underline{k-1}}=0$ か、$b$ の選び方が $0$ 通りで、どちらにしても積は $0$）、単射の個数は $n^{\underline{k-1}}(n-k+1)=n^{\underline k}$ である。$\square$

$(x+1)^{\underline k}=(x+1)\,x\,(x-1)\cdots(x-k+2)$ と $x^{\underline k}=x(x-1)\cdots(x-k+2)\,(x-k+1)$ は、共通の因子 $x(x-1)\cdots(x-k+2)=x^{\underline{k-1}}$ をもつ（$k=1$ では空の積 $1$）。よって
$$ \Delta x^{\underline k}=x^{\underline{k-1}}\bigl((x+1)-(x-k+1)\bigr)=k\,x^{\underline{k-1}} $$
である。$k=0$ では $x^{\underline 0}=1$ が定数なので差分は $0$ である。$\square$

$F(x):=\frac{x^{\underline{k+1}}}{k+1}$ とおくと、thm-ff-delta により $\Delta F(x)=x^{\underline k}$、すなわち $F(j+1)-F(j)=j^{\underline k}$ である。$j=a,\dots,b-1$ について足すと、左辺は隣どうしが打ち消し合って $F(b)-F(a)$ になる（$a=b$ なら両辺 $0$）。$a=0$、$b=n$ では $0^{\underline{k+1}}=0$ である。後半は prop-ff-basic の 5 から $\frac{j^{\underline k}}{k!}=\binom jk$、$\frac{n^{\underline{k+1}}}{(k+1)\,k!}=\binom n{k+1}$ となることによる。$\square$

1（書けること）：$d$ についての帰納法による。$d=0$ では $p=c_0=c_0x^{\underline0}$ である。$p$ の $x^d$ の係数を $a$ とすると、prop-ff-basic の 1 により $p-a\,x^{\underline d}$ の次数は $d-1$ 以下なので、帰納法の仮定によりそれは $x^{\underline0},\dots,x^{\underline{d-1}}$ の 1 次結合である。
2（係数の公式。一意性も従う）：thm-ff-delta を $j$ 回使うと、$j\le k$ では $\Delta^jx^{\underline k}=k^{\underline j}\,x^{\underline{k-j}}$、$j>k$ では $\Delta^jx^{\underline k}=0$ である。$x=0$ を代入すると、$x^{\underline{k-j}}$ は $k-j\ge1$ なら因子 $x$ をもつので $0$、$k=j$ なら $1$ である。よって $\Delta^jx^{\underline k}$ の $x=0$ での値は、$k=j$ のとき $j^{\underline j}=j!$、$k\ne j$ のとき $0$ である。$p=\sum_kc_kx^{\underline k}$ に $\Delta^j$ を施して $x=0$ を代入すると（$\Delta$ は線形）、$\Delta^jp(0)=j!\,c_j$ を得る。係数が $p$ だけで決まるので、書き方はただ 1 通りである。
3：1 の帰納法で、$a$ は $p$ の係数なので整数であり、$x^{\underline d}$ の係数は整数なので $p-a\,x^{\underline d}$ も整数係数である。帰納法で残りの係数も整数になる。$\square$

$$ \Delta x^{\underline{-k}}=\frac1{(x+2)\cdots(x+k+1)}-\frac1{(x+1)\cdots(x+k)}=\frac{(x+1)-(x+k+1)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+k+1)}=-k\,x^{\underline{-k-1}} $$
である。$m\ge1$ の場合は thm-ff-delta、$m=0$ では両辺 $0$、$m=-k\le-1$ の場合はいま示した式である。$\square$