Kummer理論

1。 $X^n-a$ の根は $\zeta\alpha$（$\zeta\in\mu_n$）の $n$ 個で、(K2) によりすべて $L$ に入る。よって $L$ は重根をもたない多項式 $X^n-a$ の分解体であり、Galois 拡大である（Galois拡大 の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」の 4）。
2。 $\sigma(\alpha)$ も $X^n-a$ の根なので $\chi(\sigma)\in\mu_n$ である。$\sigma,\tau\in\operatorname{Gal}(L/K)$ について、$\chi(\tau)\in\mu_n\subset K$ は $\sigma$ で動かないので
$$ \chi(\sigma\tau)=\frac{\sigma(\tau(\alpha))}{\alpha}=\frac{\sigma(\chi(\tau)\alpha)}{\alpha}=\chi(\tau)\,\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}=\chi(\sigma)\chi(\tau) $$
である。$\chi(\sigma)=1$ なら $\sigma$ は生成元 $\alpha$ を固定するので $\sigma=1$ である。$\alpha$ の選び方によらないことは def-kum-pairing の直後と同じである。
3。 $\chi$ の像は巡回群 $\mu_n$ の部分群なので、位数 $d':=\lvert\operatorname{Gal}(L/K)\rvert=[L:K]$ の部分群 $\mu_{d'}$ である。整数 $k$ について
$$ \alpha^k\in K\iff\text{すべての }\sigma\text{ で }\chi(\sigma)^k=1\iff d'\mid k $$
である（最初の同値は $L^{\operatorname{Gal}(L/K)}=K$ による）。一方、$a^k\in(K^\times)^n$、すなわち $a^k=c^n$（$c\in K^\times$）となることは、$(\alpha^k)^n=c^n$、すなわち $\alpha^k=\zeta c$（$\zeta\in\mu_n\subset K$）と同値なので、$\alpha^k\in K$ と同値である。よって $a$ の位数 $d$ は $d'$ に等しい。$\square$

1。 $\sigma$ についての乗法性は lem-kum-radical の 2 の計算と同じである。$b,b'$ の $n$ 乗根 $\beta,\beta'\in L$ について $\beta\beta'$ は $bb'$ の $n$ 乗根なので $b$ についても乗法的である。$b=c^n$（$c\in K^\times$）なら $\beta=c$ ととれて $\langle\sigma,b\rangle=\sigma(c)/c=1$ である。
2。 $\beta\in L$ を $b$ の $n$ 乗根とする。$K(\beta)/K$ は有限次 Galois 拡大で（lem-kum-radical）、$L/K$ の各自己同型は $K(\beta)$ を保つ。仮定から $\beta$ は $\operatorname{Gal}(L/K)$ のすべての元で固定される。$L/K$ が有限次なら $L^{\operatorname{Gal}(L/K)}=K$ から $\beta\in K$ である。無限次のときは、制限 $\operatorname{Gal}(L/K)\to\operatorname{Gal}(K(\beta)/K)$ が全射である（無限次Galois理論 の記事の補題「自己同型の延長」）ので、$\beta$ は $\operatorname{Gal}(K(\beta)/K)$ のすべての元で固定され、やはり $\beta\in K$ である。よって $b=\beta^n\in(K^\times)^n$ である。
3。 $\sigma$ は $L$ の生成元（$B$ の元の $n$ 乗根）をすべて固定するので、$\sigma=1$ である。$\square$

1。 有限アーベル群の基本定理 の記事の定理「不変因子分解の存在」により $A\cong\mathbb{Z}/k_1\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/k_r\mathbb{Z}$ と書け、各 $k_i$ は $A$ の指数を割るので $n$ を割る。直積からの準同型は各成分からの準同型の組と同じなので $\widehat{A}\cong\prod_i\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/k_i\mathbb{Z},\mu_n)$ である。$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ からの準同型は $1$ の行き先 $\zeta$ で決まり、条件は $\zeta^k=1$ だけなので、$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z},\mu_n)\cong\mu_k$ は（$k\mid n$ で $\mu_n$ が位数 $n$ の巡回群だから）$k$ 個の元をもつ。よって $\lvert\widehat{A}\rvert=\prod k_i=\lvert A\rvert$ である。
2。 $g\mapsto\langle g,\cdot\rangle$ は非退化性により単射な準同型 $G\to\widehat{A}$ なので、$G$ の指数も $n$ を割る。1 により $\lvert G\rvert\le\lvert\widehat{A}\rvert=\lvert A\rvert$、対称に $\lvert A\rvert\le\lvert\widehat{G}\rvert=\lvert G\rvert$ である。よって位数はすべて等しく、2 つの単射は全単射である。$\square$

1。 有限群 $B/(K^\times)^n$ の生成元の代表 $b_1,\dots,b_r\in B$ をとり、各 $b_i$ の $n$ 乗根 $\beta_i$ を 1 つずつ選ぶ。$b\in B$ は $b=b_1^{k_1}\cdots b_r^{k_r}c^n$（$k_i\in\mathbb{Z}$、$c\in K^\times$）と書けるので、$b$ の $n$ 乗根は $\zeta\beta_1^{k_1}\cdots\beta_r^{k_r}c$（$\zeta\in\mu_n$）であり、$K(\beta_1,\dots,\beta_r)$ に入る。よって $L_B=K(\beta_1,\dots,\beta_r)$ は $\prod_i(X^n-b_i)$ の分解体で（lem-kum-radical の 1 と同じ理由で重根のない因子の積）、有限次 Galois 拡大である。$B\subset B(L_B)$ なので Kummer 対 $\operatorname{Gal}(L_B/K)\times B/(K^\times)^n\to\mu_n$ が定まり、prop-kum-nondegenerate の 1〜3 によりこれは双乗法的で両側に非退化である。$B/(K^\times)^n$ の指数は $n$ を割るので、lem-kum-dual の 2 により $\operatorname{Gal}(L_B/K)\cong\operatorname{Hom}(B/(K^\times)^n,\mu_n)$ で、位数は $(B:(K^\times)^n)$ に等しい。右辺は Abel 群で指数が $n$ を割るので、$L_B/K$ は指数 $n$ の Kummer 拡大である。
2。 $G:=\operatorname{Gal}(L/K)$、$B:=B(L)$ とおく。準同型
$$ \kappa\colon B/(K^\times)^n\to\operatorname{Hom}(G,\mu_n),\qquad b\mapsto\langle\cdot,b\rangle $$
は prop-kum-nondegenerate の 1・2 により well-defined な単射である。全射であることを示す。$\chi\in\operatorname{Hom}(G,\mu_n)$ をとる。$G$ の元は相異なる体の準同型 $L\to L$ なので、Dedekind の独立性補題により $\sum_{\tau\in G}\chi(\tau)^{-1}\tau$ は $L$ 上の零写像でなく、
$$ \beta:=\sum_{\tau\in G}\chi(\tau)^{-1}\tau(c)\ne0 $$
となる $c\in L$ がある。$\sigma\in G$ について、$\chi$ の値は $K$ に入って $\sigma$ で動かないので
$$ \sigma(\beta)=\sum_{\tau\in G}\chi(\tau)^{-1}\,\sigma\tau(c)=\chi(\sigma)\sum_{\tau\in G}\chi(\sigma\tau)^{-1}\,\sigma\tau(c)=\chi(\sigma)\,\beta $$
である（$\chi(\sigma\tau)^{-1}=\chi(\sigma)^{-1}\chi(\tau)^{-1}$、$\tau$ が $G$ を動くとき $\sigma\tau$ も $G$ を動く）。よって $\sigma(\beta^n)=\chi(\sigma)^n\beta^n=\beta^n$ がすべての $\sigma$ で成り立ち、$b:=\beta^n\in L^G=K$ である。$b\in B$ で、$\langle\sigma,b\rangle=\sigma(\beta)/\beta=\chi(\sigma)$ なので $\kappa(b)=\chi$ である。
こうして $\kappa$ は同型で、$G$ は Abel 群で指数が $n$ を割るから lem-kum-dual の 1 により $(B:(K^\times)^n)=\lvert\widehat{G}\rvert=\lvert G\rvert=[L:K]$ は有限である。$b\in B$ の $n$ 乗根はすべて $L$ に入るので $L_B\subset L$ であり、1 により $[L_B:K]=(B:(K^\times)^n)=[L:K]$ だから $L_B=L$ である。
3。 $B\subset B(L_B)$ は定義から明らかである。2 を $L=L_B$ に使うと $(B(L_B):(K^\times)^n)=[L_B:K]$ で、1 によりこれは $(B:(K^\times)^n)$ に等しい。有限指数の包含で指数が等しいので $B(L_B)=B$ である。
対応。 2 と 3 により 2 つの写像は互いに逆である。$B\subset B'$ なら $K(B^{1/n})\subset K(B'^{1/n})$、$L\subset L'$ なら $B(L)\subset B(L')$ なので、包含を保つ。$\square$

1。 $L=K(a^{1/n})$ で $a$ の類の位数が $n$ なら、lem-kum-radical の 3 により $L/K$ は $n$ 次の巡回拡大である。逆に $L/K$ が $n$ 次の巡回拡大なら、それは指数 $n$ の Kummer 拡大で、thm-kum-main の 2 の証明により $B(L)/(K^\times)^n\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mu_n)\cong\mu_n$ は位数 $n$ の巡回群である。その生成元の代表を $a$ とすると $B(L)=\langle a\rangle(K^\times)^n$ で、$L=K(B(L)^{1/n})=K(a^{1/n})$ である（$\langle a\rangle(K^\times)^n$ の元の $n$ 乗根は $a^{1/n}$ の冪と $K$ の元と $\mu_n$ の元の積）。
2。 thm-kum-main の 3 により $B(K(a^{1/n}))=\langle a\rangle(K^\times)^n$ なので、対応の単射性から、$K(a^{1/n})=K(b^{1/n})$ は $a$ と $b$ の類が $K^\times/(K^\times)^n$ で同じ巡回部分群を生成することと同値である。位数 $n$ の巡回群で $a$ の類が生成する部分群の生成元は $a^r$（$\gcd(r,n)=1$）の類なので、主張を得る。$\square$

要点：$B$ を、$(K^\times)^n$ を有限指数で含む部分群 $B'$ の和集合として書き、thm-kum-main を各 $B'$ に使って貼り合わせる。