写像空間(∞圏)
概要
写像空間(∞圏)（mapping space）とは、準圏 $C$ の二つの対象 $x,y$ について、端を $x,y$ に固定した円柱 $\Delta^n\times\Delta^1\to C$ を $n$ 単体とする Kan 複体 $\operatorname{Map}_C(x,y)$ であり、射とその間のホモトピー、さらに高次の整合をまとめたものである。右Hom・左Homという小さい模型とホモトピー同値で、連結成分の集合はホモトピー圏の射集合に一致し、積や関手と整合的に振る舞う。通常の圏の脈体では Hom 集合を離散的に見たもの、特異単体的集合では道の空間になる。ホモトピー類が唯一でも写像空間は可縮とは限らず、充満忠実性などの∞圏の概念はこの空間で測られる。
定義
∞圏の写像空間は、二つの対象の間の射だけでなく、射の間のホモトピーとその高次のホモトピーをまとめた空間である。通常の圏の Hom 集合に対応するが、集合では見えない変形の情報を保持する。
ここで∞圏とは準圏、すなわち内角 $\Lambda_i^n\to C$ が $0< i< n$ のとき常に $\Delta^n\to C$ へ延長できる単体的集合をいう。$\Delta^n$ は標準 $n$ 単体、$\Lambda_i^n$ は第 $i$ 面以外の面を集めた部分である。Kan複体は外側の角も含むすべての角を充填できる単体的集合で、空間のモデルになる。
準圏 $C$ の頂点 $x,y$ に対し、写像空間 $\operatorname{Map}_C(x,y)$ の $n$ 単体を、単体写像
$$
H\colon\Delta^n\times\Delta^1\longrightarrow C,
\qquad H|_{\Delta^n\times\{0\}}=x,
\quad H|_{\Delta^n\times\{1\}}=y
$$
で定める。端の条件は各端の列全体が定値であることを意味する。面・退化写像は第1因子への前合成である。したがって
$$
\operatorname{Map}_C(x,y)
=\{x\}\times_{C}C^{\Delta^1}\times_{C}\{y\}.
$$
ここで $(C^K)_n=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(\Delta^n\times K,C)$ であり、二つのファイバー積は始点と終点での評価についてとる。
同じ空間を表す、より小さい模型が二つある。右Hom $\operatorname{Hom}^{R}_C(x,y)$ の $n$ 単体は、$\Delta^{n+1}\to C$ で、面 $\{0,\ldots,n\}$ への制限が $x$ で定値、最後の頂点が $y$ となるものである。左Hom $\operatorname{Hom}^{L}_C(x,y)$ は、最初の頂点が $x$、面 $\{1,\ldots,n+1\}$ が $y$ で定値となる単体からなる。円柱 $\Delta^n\times\Delta^1$ を最大次元の単体へつぶす写像から、包含
$$
\operatorname{Hom}^{R}_C(x,y)\hookrightarrow\operatorname{Map}_C(x,y)\hookleftarrow\operatorname{Hom}^{L}_C(x,y)
$$
が得られる。$C$ が準圏なら三つはどれもKan複体で、二つの包含はホモトピー同値である（HTT09 §1.2.2、pp. 27–28、Proposition 1.2.2.3、Corollary 4.2.1.8、p. 242）。右Homは頂点の数が少なく計算に向き、円柱モデルは始点と終点を対称に扱える。右Homと左Homは一般に同型ではない。
各次数の意味
0単体は射 $x\to y$ である。1単体は、上下を恒等射に固定した四角形 $\Delta^1\times\Delta^1\to C$ であり、二つの射の間のホモトピーを与える。2単体はそのホモトピー同士の整合を与える。一般のパラメータ単体集合 $T$ についても、$T\to\operatorname{Map}_C(x,y)$ は端を固定した $T\times\Delta^1\to C$ と厳密に同じデータである。
1単体の中身を具体的に見ておく。$\Delta^1\times\Delta^1$ の頂点を $(s,t)$（$s$ がパラメータ、$t$ が円柱の方向）と書くと、この四角形は二つの2単体
$$
\tau_1=\bigl((0,0),(0,1),(1,1)\bigr),\qquad
\tau_2=\bigl((0,0),(1,0),(1,1)\bigr)
$$
を対角線 $(0,0)\to(1,1)$ で貼り合わせたものであり、単体写像 $\Delta^1\times\Delta^1\to C$ は、対角線で一致する二つの2単体を与えることと同じである。左の辺 $s=0$ が始点の射、右の辺 $s=1$ が終点の射、上下の辺が恒等射になる。
準圏 $C$ の射 $f,g\colon x\to y$ について、次は同値である。
(i) $f$ と $g$ は $\operatorname{Map}_C(x,y)$ の同じ連結成分に属する。
(ii) 2単体 $\sigma\colon\Delta^2\to C$ で、辺が $d_2\sigma=f$、$d_0\sigma=\operatorname{id}_y$、$d_1\sigma=g$ となるものがある。
(ii) の関係を $f\simeq g$ と書くと、$\pi_0\operatorname{Map}_C(x,y)$ は射の集合を $\simeq$ で割った集合に等しい。
(ii) を仮定し、上の $\tau_1$ に $\sigma$ を、$\tau_2$ に退化2単体 $s_0(g)$ を割り当てる。$s_0(g)$ の辺は $d_2=\operatorname{id}_x$、$d_0=g$、$d_1=g$ である。二つの2単体の対角線はどちらも $g$ なので、四角形 $H\colon\Delta^1\times\Delta^1\to C$ が定まる。$H$ の辺 $t=0$ は $\operatorname{id}_x$、辺 $t=1$ は $\operatorname{id}_y$ だから端の条件を満たし、$H$ は $\operatorname{Map}_C(x,y)$ の1単体である。その始点 $d_1H=H|_{\{0\}\times\Delta^1}$ は $f$、終点 $d_0H$ は $g$ である。よって (i) が成り立つ。
逆に、$f$ から $g$ への1単体 $H$ があるとし、その対角線を $d$ と書く。$H|_{\tau_1}$ は辺が $f,\operatorname{id}_y,d$ の2単体だから $f\simeq d$ である。$H|_{\tau_2}$ は辺が $\operatorname{id}_x,g,d$ の2単体だから、$d$ は $g$ と $\operatorname{id}_x$ の合成の代表である。ホモトピー類の合成は2単体の長辺の類として代表と2単体の選び方によらず定まり、恒等射の類は単位になる（HTT09 Propositions 1.2.3.7–1.2.3.8、p. 31）。よって $d$ と $g$ の類は等しく、$f\simeq g$ である。
以上から、「$f$ から $g$ への1単体がある」ことと $f\simeq g$ は同値である。$\simeq$ は同値関係である（HTT09 Proposition 1.2.3.5、p. 30）。単体的集合の $\pi_0$ は、頂点の集合を「1単体で結ばれる」関係が生成する同値関係で割ったものであり、いまこの関係自身がすでに同値関係なので、生成される同値関係は $\simeq$ に一致する。$\square$
したがって $\pi_0\operatorname{Map}_C(x,y)$ は∞圏のホモトピー圏 $hC$ の射集合であり、2単体を使う「ホモトピー」の定義と連結成分による定義は同じ集合を与える。しかし $\pi_0$ を取ると、一つの射の自己ホモトピーや、それらの高次の関係は失われる。
基本的な性質
準圏 $C,D$ の対象対に対し、単体的集合の自然な同型
$$
\operatorname{Map}_{C\times D}((x,u),(y,v))
\cong\operatorname{Map}_C(x,y)\times\operatorname{Map}_D(u,v)
$$
がある。
$\Delta^n\times\Delta^1\to C\times D$ を指定することは、二つの因子への写像を指定することに等しい。端が固定される条件も各因子の条件に分かれる。この対応はすべての面・退化写像と可換なので、各次数の全単射は単体的集合の同型になる。$\square$
準圏の間の関手、すなわち単体写像 $F\colon C\to D$ は、後合成によって単体写像
$$
F_{x,y}\colon\operatorname{Map}_C(x,y)\to\operatorname{Map}_D(Fx,Fy),\qquad H\mapsto F\circ H
$$
を定める。恒等関手は恒等写像を、合成 $G\circ F$ は $G_{Fx,Fy}\circ F_{x,y}$ を与える。$\pi_0$ に移すと、$F_{x,y}$ は $hF\colon hC\to hD$ の射集合の写像になる。
$H\colon\Delta^n\times\Delta^1\to C$ の端が $x,y$ で定値なら、$F\circ H$ の端は $Fx,Fy$ で定値である。面・退化は第1因子への前合成で、後合成と交換するから $F_{x,y}$ は単体写像である。恒等関手と合成についての等式は、写像の合成の結合律からそのまま従う。最後の主張は、0単体 $f$ を $Ff$ に送ることを $\pi_0$ に移したものである。$\square$
写像空間は関手の性質を測る物差しになる。各 $F_{x,y}$ がKan複体のホモトピー同値であることが充満忠実関手(∞圏)の定義であり、ホモトピー圏の射集合の全単射だけを求める条件よりも強い。
例と反例
$\Delta^n\times\Delta^1=N([n]\times[1])$ なので、定義の写像は $[n]\times[1]\to A$ という関手になる。二端の列が定値であるため、列の間の自然変換は同じ一本の射 $f\colon x\to y$ を各位置に置くほかない。逆に一本の射からその関手を一意に作れる。対応は全次数で $f$ を保つ。$\square$
順序集合 $P$ の脈体では、$x\leq y$ なら写像空間は一点、そうでなければ空である。空の単体的集合もKan複体である。写像空間が空かどうかは射の存在を表し、一点かどうかはそれより強い、変形も含む一意性を表す。
位相空間 $T$ の特異単体的集合 $\operatorname{Sing}T$ はKan複体であり、すべての射が可逆な∞圏とみなせる。その写像空間は、位相空間論でなじみのある道の空間そのものになる。点 $x,y\in T$ に対し、$P_{x,y}T$ を $\gamma(0)=x$、$\gamma(1)=y$ となる道 $\gamma\colon[0,1]\to T$ 全体にコンパクト開位相を入れた空間とする。以下、位相空間はコンパクト生成空間の圏で扱う。
単体的集合の自然な同型
$$
\operatorname{Map}_{\operatorname{Sing}T}(x,y)\cong\operatorname{Sing}(P_{x,y}T)
$$
がある。特に $x=y$ のとき、写像空間はループ空間 $\Omega_xT=P_{x,x}T$ の特異単体的集合である。
幾何学的実現 $|\cdot|$ と $\operatorname{Sing}$ の随伴により、$H\colon\Delta^n\times\Delta^1\to\operatorname{Sing}T$ は連続写像 $|\Delta^n\times\Delta^1|\to T$ と一対一に対応する。幾何学的実現は有限積を保つので $|\Delta^n\times\Delta^1|\cong|\Delta^n|\times[0,1]$ である（HTT09 §1.1.4、p. 19）。この同一視は自然なので、$\Delta^n\times\{0\}$ への制限は $|\Delta^n|\times\{0\}$ への制限に対応する。$\operatorname{Sing}T$ の $x$ で定値な単体は値 $x$ の定値写像だから、端の条件は $\phi\colon|\Delta^n|\times[0,1]\to T$ が $\phi(p,0)=x$、$\phi(p,1)=y$ を満たすことになる。
$[0,1]$ はコンパクトHausdorff空間なので、指数法則により、このような $\phi$ は連続写像 $|\Delta^n|\to P_{x,y}T$、$p\mapsto\phi(p,-)$ と一対一に対応する。後者はちょうど $\operatorname{Sing}(P_{x,y}T)$ の $n$ 単体である。どの段の対応も $[n]$ についての前合成と交換するから、面・退化と可換な全単射、すなわち単体的集合の同型を得る。$\square$
$T=S^1$ と基点 $x$ をとると、prop-mapping-space-sing から $\operatorname{Map}_{\operatorname{Sing}S^1}(x,x)\cong\operatorname{Sing}(\Omega_xS^1)$ である。$\pi_0$ は道のホモトピー類の集合、すなわち基本群 $\pi_1(S^1,x)\cong\mathbb Z$ である。写像空間の $\pi_0$ が∞圏 $\operatorname{Sing}S^1$ のホモトピー圏での自己射集合を与えるという前節の命題が、ここでは基本群として現れる。
整数群の一対象亜群の脈体を $M=N(\mathbb Z)$ とする。$M$ は一点だけを頂点に持つKan複体だが、基本群 $\pi_1(M)=\mathbb Z$ なので可縮ではない。二対象 $0,1$ の単体的豊穣圏 $A_M$ を、$A_M(0,1)=M$, $A_M(0,0)=A_M(1,1)=\Delta^0$, $A_M(1,0)=\emptyset$ と定め、合成は単位との合成だけとする。これは局所Kanである。$C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ では $\operatorname{Map}_C(0,1)\simeq M$ であり、$hC$ には $0\to1$ がただ一つある。それでも写像空間は可縮でない。「ホモトピー類が唯一」と「選択の空間が可縮」は区別が必要である。
内角 $\Lambda_1^2$ そのものを単体的集合 $K$ とみる。$K$ は頂点 $0,1,2$ と辺 $0\to1$、$1\to2$ を持つが、辺 $0\to2$ を持たない。$\operatorname{Map}_K(0,2)$ の0単体は $0$ から $2$ への辺だから、この写像空間は空である。一方、準圏では合成可能な二本の射 $f,g$ から内角の充填で2単体が得られ、その長辺が $\operatorname{Map}(x,z)$ の点になる。$K$ は準圏であるという仮定を外した例であり、「合成可能な射があれば写像空間に合成が現れる」という含意が崩れる。
$C=\Delta^1=N([1])$ では、$\operatorname{Map}_C(0,1)$ は一点、$\operatorname{Map}_C(1,0)$ は空である。特異単体的集合では道の逆をとる写像 $\gamma\mapsto\gamma(1-\,\cdot\,)$ が同型 $\operatorname{Sing}(P_{x,y}T)\cong\operatorname{Sing}(P_{y,x}T)$ を与えるが、$\Delta^1$ は準圏であってもKan複体ではないので、このような向きの反転はない。道を逆にたどれることは、すべての射が可逆な $\operatorname{Sing}T$ の性質であり、一般の準圏には移らない。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 写像空間全体を見る（$\pi_0$ だけにしない） | $N_{\mathrm{hc}}(A_M)$、$A_M(0,1)=N(\mathbb Z)$ | ホモトピー類が唯一なら選択の空間が可縮 |
| 準圏であること（内角の充填） | $\Lambda_1^2$ | 合成可能な射があれば $\operatorname{Map}(x,z)$ が空でない |
| Kan複体であること | $\Delta^1=N([1])$ | $\operatorname{Map}(x,y)$ と $\operatorname{Map}(y,x)$ の同一視 |
豊穣モデルと合成
単体的豊穣圏 $A$ は、各対象対に単体的集合 $A(x,y)$ と厳密に結合的な合成を備える。すべての $A(x,y)$ がKan複体であることを局所Kanと呼ぶ。この条件の下で整合的脈体 $N_{\mathrm{hc}}(A)$ は準圏となり、その写像空間は $A(x,y)$ と自然に同じホモトピー型を持つ。これは HTT09 Proposition 1.1.5.10（p. 23）, Theorem 2.2.0.1（p. 72）、Proposition 2.2.4.1（p. 88）と Corollary 4.2.1.8（p. 242）を合わせた比較である。
整合的脈体の $n$ 単体は、対象 $0,\ldots,n$ と、$i< j$ の Hom が $(\Delta^1)^{j-i-1}$ である標準単体的圏から $A$ への豊穣関手で記述される。立方体は中間の合成を選ぶ高次の整合を担い、辺だけのデータではない。
円柱モデルでは、各 $x,y,z$ に対する合成を初めから厳密な式として指定してはいない。合成は三角形の充填で表され、ホモトピー圏では一意な演算になる。豊穣モデルは合成を厳密に保持し、準圏モデルは合成の選択とその整合を単体に保持する。同じホモトピー型という比較を、単体集合の等式や任意の比較写像の性質に読み替えてはいけない。
関連項目
- 前提: ∞圏, Kan複体
- 忘却: ∞圏のホモトピー圏
- 比較: 単体的豊穣圏, 圏同値(∞圏), 充満忠実関手(∞圏)
- 応用: 表現可能関手(∞圏), 米田の補題(∞圏)
参考文献
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