写像空間(∞圏)
概要
写像空間(∞圏)（mapping space）とは、∞圏の二つの対象を結ぶ射と、その間のホモトピーや高次の整合をまとめた空間である。通常のHom集合に対応し、連結成分を取るとホモトピー圏の射集合になる。
定義
∞圏の写像空間は、二つの対象の間の射だけでなく、射の間のホモトピーとその高次のホモトピーをまとめた空間である。通常の圏の Hom 集合に対応するが、集合では見えない変形の情報を保持する。
ここで∞圏とは準圏、すなわち内角 $\Lambda_i^n\to C$ が $0< i< n$ のとき常に $\Delta^n\to C$ へ延長できる単体的集合をいう。$\Delta^n$ は標準 $n$ 単体（標準単体）、$\Lambda_i^n$ は第 $i$ 面以外の面を集めた部分である。Kan複体は外側の角も含むすべての角を充填できる単体的集合で、空間のモデルになる。
準圏 $C$ の頂点 $x,y$ に対し、写像空間 $\operatorname{Map}_C(x,y)$ の $n$ 単体を、単体写像
$$
H\colon\Delta^n\times\Delta^1\longrightarrow C,
\qquad H|_{\Delta^n\times\{0\}}=x,
\quad H|_{\Delta^n\times\{1\}}=y
$$
で定める。端の条件は各端の列全体が定値であることを意味する。面・退化写像は第1因子への前合成である。したがって
$$
\operatorname{Map}_C(x,y)
=\{(x,y)\}\times_{C\times C}C^{\Delta^1}.
$$
ここで $(C^K)_n=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(\Delta^n\times K,C)$ である。
この単体的集合はKan複体になる。端を固定した角柱の持ち上げ問題を、内角と恒等射を端に持つ外角の充填に分解するのが証明の要点である。標準的な構成とKan性は KMap §4.6.1、他モデルとの比較は HTT09 §1.2.2, Corollary 4.2.1.8 を参照する。
各次数の意味
0単体は射 $x\to y$ である。1単体は、上下を恒等射に固定した四角形 $\Delta^1\times\Delta^1\to C$ であり、二つの射の間のホモトピーを与える。2単体はそのホモトピー同士の整合を与える。一般のパラメータ単体集合 $T$ についても、$T\to\operatorname{Map}_C(x,y)$ は端を固定した $T\times\Delta^1\to C$ と厳密に同じデータである。
連結成分の集合 $\pi_0\operatorname{Map}_C(x,y)$ は∞圏のホモトピー圏 $hC$ の射集合になる。しかし $\pi_0$ を取ると、一つの射の自己ホモトピーや、それらの高次の関係は失われる。
準圏 $C,D$ の対象対に対し、単体的集合の自然な同型
$$
\operatorname{Map}_{C\times D}((x,u),(y,v))
\cong\operatorname{Map}_C(x,y)\times\operatorname{Map}_D(u,v)
$$
がある。
$\Delta^n\times\Delta^1\to C\times D$ を指定することは、二つの因子への写像を指定することに等しい。端が固定される条件も各因子の条件に分かれる。この対応はすべての面・退化写像と可換なので、各次数の全単射は単体的集合の同型になる。
例と反例
$\Delta^n\times\Delta^1=N([n]\times[1])$ なので、定義の写像は $[n]\times[1]\to A$ という関手になる。二端の列が定値であるため、列の間の自然変換は同じ一本の射 $f\colon x\to y$ を各位置に置くほかない。逆に一本の射からその関手を一意に作れる。対応は全次数で $f$ を保つ。
順序集合 $P$ の脈体では、$x\leq y$ なら写像空間は一点、そうでなければ空である。空の単体的集合もKan複体である。写像空間が空かどうかは射の存在を表し、一点かどうかはそれより強い、変形も含む一意性を表す。
整数群の一対象亜群の脈体を $M=N(\mathbb Z)$ とする。$M$ は一点だけを頂点に持つKan複体だが、基本群 $\pi_1(M)=\mathbb Z$ なので可縮ではない。二対象 $0,1$ の単体的豊穣圏 $A_M$ を、$A_M(0,1)=M$, $A_M(0,0)=A_M(1,1)=\Delta^0$, $A_M(1,0)=\emptyset$ と定め、合成は単位との合成だけとする。これは局所Kanである。$C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ では $\operatorname{Map}_C(0,1)\simeq M$ であり、$hC$ には $0\to1$ がただ一つある。それでも写像空間は可縮でない。「ホモトピー類が唯一」と「選択の空間が可縮」は区別が必要である。
豊穣モデルと合成
単体的豊穣圏 $A$ は、各対象対に単体的集合 $A(x,y)$ と厳密に結合的な合成を備える。すべての $A(x,y)$ がKan複体であることを局所Kanと呼ぶ。この条件の下で整合的脈体 $N_{\mathrm{hc}}(A)$ は準圏となり、その写像空間は $A(x,y)$ と自然に同じホモトピー型を持つ。これは HTT09 Proposition 1.1.5.10, Theorem 2.2.0.1 の比較である。
整合的脈体の $n$ 単体は、対象 $0,\ldots,n$ と、$i< j$ の Hom が $(\Delta^1)^{j-i-1}$ である標準単体的圏から $A$ への豊穣関手で記述される。立方体は中間の合成を選ぶ高次の整合を担い、辺だけのデータではない。
円柱モデルでは、各 $x,y,z$ に対する合成を初めから厳密な式として指定してはいない。合成は三角形の充填で表され、ホモトピー圏では一意な演算になる。豊穣モデルは合成を厳密に保持し、準圏モデルは合成の選択とその整合を単体に保持する。同じホモトピー型という比較を、単体集合の等式や任意の比較写像の性質に読み替えてはいけない。
関連項目
参考文献
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