Cliffordの定理(代数曲線)

$n$ を $D$ の $P$ での係数とし、整数 $m$ について $V_m:=\{f\in V\mid f=0\ \text{または}\ \operatorname{ord}_P(f)\ge m\}$ とおく。$V_m$ は部分空間で、$V_{-n}=V$ であり（$f\in L(D)$ なら $\operatorname{ord}_P(f)\ge-n$）、$m$ が十分大きければ $V_m=0$ である（$V_m\subset L(D-(m+n)P)$ で、$\deg D< m+n$ なら右辺は $0$）。$t$ を $P$ での局所パラメータとすると、$f\mapsto(t^{-m}f)(P)$ は $V_m\to k$ の線形写像で、その核は $V_{m+1}$ である。よって $\dim V_m/V_{m+1}\le1$ であり、等号は $\operatorname{ord}_P(f)=m$ となる $f\in V$ があるときに限る。$m=-n$ から十分大きい $m$ まで足し合わせると、$\dim V=\sum_m\dim V_m/V_{m+1}$ は位数として実際に現れる値の個数になる。$\square$

点 $P$ を 1 つ固定する。lem-cl-orders により、$L(D)$ の元の $P$ での位数は相異なる $a:=\ell(D)$ 個の値 $\alpha_1<\cdots<\alpha_a$ をとり、$L(E)$ の元の位数は $b:=\ell(E)$ 個の値 $\beta_1<\cdots<\beta_b$ をとる。位数 $\alpha_i$ の $f_i\in L(D)$ と位数 $\beta_j$ の $h_j\in L(E)$ を選ぶと、積 $f_ih_j$ は $\operatorname{div}(f_ih_j)+D+E=(\operatorname{div}f_i+D)+(\operatorname{div}h_j+E)\ge0$ を満たすので $L(D+E)$ に入り、その位数は $\alpha_i+\beta_j$ である。
$$ \alpha_1+\beta_1<\alpha_2+\beta_1<\cdots<\alpha_a+\beta_1<\alpha_a+\beta_2<\cdots<\alpha_a+\beta_b $$
は $a+b-1$ 個の相異なる値なので、対応する積は位数が相異なり、線形独立である。よって $\ell(D+E)\ge a+b-1$ である。$\square$

lem-cl-sum を $D$ と $K-D$ に当てると、$\ell(D)+\ell(K-D)\le\ell(K)+1=g+1$ である（$\ell(K)=g$ は Riemann–Rochの定理 の系「Riemann–Rochの定理の帰結」の 1）。Riemann–Roch の定理 $\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g$ を辺々足すと $2\ell(D)\le\deg D+2$ を得る。$\square$

主張 1〜3 はどれも $H$ の線形同値類だけによるので、$H\ge0$ としてよい。上の段落の $x$ をとる。$x^i$ の極の因子は $iH$ なので、$1,x,\dots,x^r\in L(rH)$ であり、$H$ に現れる点 $P$ での位数 $\operatorname{ord}_P(x^i)$ は $i$ について狭義に減少するから、これらは線形独立である。よって $\ell(rH)\ge r+1$ である。
2：$r=g-1$ とすると $\ell((g-1)H)\ge g$ で、$\deg((g-1)H)=2g-2$ である。Riemann–Rochの定理 の系「Riemann–Rochの定理の帰結」の 4 により、次数 $2g-2$ の因子の $\ell$ は $K$ と線形同値なら $g$、そうでなければ $g-1$ なので、$(g-1)H\sim K$ である。
1：$0\le r\le g-1$ なら、2 から $K-rH\sim(g-1-r)H$ であり、$\ell(K-rH)\ge g-r\ge1$ である。$rH$ は有効なので $\ell(rH)\ge1$ で、thm-cl-inequality から $\ell(rH)\le r+1$ となる。
3：lem-cl-sum と 1 から $\ell(H'+(g-2)H)\ge2+(g-1)-1=g$ であり、$\deg(H'+(g-2)H)=2g-2$ なので、2 と同じ理由で $H'+(g-2)H\sim K\sim(g-1)H$ である。両辺から $(g-2)H$ を引いて $H'\sim H$ を得る。$\square$

等号が成り立つこと：$\ell(0)=1$、$\deg0=0$ であり、$\ell(K)=g$、$\deg K=2g-2$ である。3 の場合は prop-cl-hyperelliptic の 1 により $\ell(rH)=r+1$、$\deg(rH)=2r$ であり、同命題の証明のとおり $\ell(K-rH)\ge1$ である。
逆を示す。等号が成り立ち、$D\not\sim0$、$D\not\sim K$ とする。$\deg D=2r$、$\ell(D)=r+1$ とおく。$\deg D=0$ なら $\ell(D)\ge1$ から $D\sim0$、$\deg D=2g-2$ なら $\ell(K-D)\ge1$ から $K-D\sim0$ となるので（Riemann–Rochの定理 の補題「$\ell(D)$ の基本性質」の 4）、$0<2r<2g-2$、すなわち $1\le r\le g-2$ である。とくに $g\ge3$ である。
段 1（$X$ は超楕円的）：$r$ についての帰納法で示す（$r$ より小さい値ではすべて成り立つと仮定する）。$r=1$ なら $D$ は $g^1_2$ であり、$g\ge3$ なので $X$ は超楕円的である。$r\ge2$ とする。まず、因子 $A=\sum_Pa_PP$、$B=\sum_Pb_PP$ について $\min(A,B):=\sum_P\min(a_P,b_P)P$ とおくと、$L(A)\cap L(B)=L(\min(A,B))$ であり、$A+B-\min(A,B)$ の係数は $\max(a_P,b_P)$ なので $L(A)+L(B)\subset L(A+B-\min(A,B))$ である。したがって $\ell(A)+\ell(B)\le\ell(\min(A,B))+\ell(A+B-\min(A,B))$ である。$\ell(K-D)\ge1$ なので有効因子 $E\sim K-D$ がとれ、$\deg E=2g-2-2r>0$ だから $E$ に現れる点 $P$ がある。$E$ に現れない点 $Q$ をとる。$\ell(D-P-Q)\ge\ell(D)-2=r-1\ge1$ なので、$0\ne u\in L(D-P-Q)$ をとって $D_1:=\operatorname{div}(u)+D$ とおくと、$D_1\sim D$ かつ $D_1\ge P+Q$ である。$C:=\min(D_1,E)$ とおく。$C$ の $P$ での係数は $1$ 以上、$Q$ での係数は $0$ なので、$1\le\deg C\le\deg D_1-1=2r-1$ である。上の不等式を $A=D_1$、$B=E$ に当てると、$D_1+E-C\sim K-C$ なので $\ell(C)+\ell(K-C)\ge\ell(D)+\ell(K-D)=g+1$ である。$C\ge0$ かつ $D_1+E-C\ge0$ なので $\ell(C)\ge1$、$\ell(K-C)\ge1$ であり、lem-cl-sum を $C$ と $K-C$ に当てた $\ell(C)+\ell(K-C)\le g+1$ と合わせて等号が成り立つ。よって $2\dim\lvert C\rvert=\deg C$ であり、$\deg C$ は偶数だから $2\le\deg C\le2r-2$、とくに $0<\deg C<2g-2$ なので $C\not\sim0$、$C\not\sim K$ である。帰納法の仮定から $X$ は超楕円的である。
段 2（$D\sim rH$）：$H$ を $g^1_2$ の因子とする。prop-cl-hyperelliptic の 1 から $\ell((g-1-r)H)=g-r\ge1$ なので、lem-cl-sum により
$$ \ell\bigl(D+(g-1-r)H\bigr)\ge(r+1)+(g-r)-1=g $$
である。左辺の因子の次数は $2r+2(g-1-r)=2g-2$ なので、prop-cl-hyperelliptic の 2 の証明と同じ理由で $D+(g-1-r)H\sim K\sim(g-1)H$ となり、$D\sim rH$ を得る。$\square$