芽

同義語：germ関数の芽

概要

前提知識: 位相空間, 開集合, 同値関係, 切断, 茎

芽とは

関数や切断の芽（germ）は、一つの点の周囲での振る舞いだけを残した局所的なデータである。点 $x$ を含む開集合 $U$ 上で定義された関数 $f$ と、別の開集合 $V$ 上の関数 $g$ が、$x$ を含むさらに小さい開集合で一致すれば、両者は $x$ で同じ芽を定める。定義域の遠い部分が違っても芽は変わらない。一方、単に $f(x)=g(x)$ というだけでは同じ芽とは限らない（EoMGerm）。
芽を一つずつ見ると、「ある点の近くで零か」「その近くで逆数を持つか」「正則関数なら何次で消えるか」といった問いを明瞭にできる。同じ点におけるすべての芽を集めた対象が茎である。本記事はその集合全体の構成よりも、個々の芽の等号と局所的性質を扱う。茎の記事は帰納極限や層の射の判定を主題とし、切断の記事は開集合全体で定義されたデータとその貼り合わせを主題とする。

代表する関数と同値関係

$X$ を位相空間、$x\in X$ とする。$x$ の開近傍 $U$ 上の関数 $f:U\to Y$ を考える。ただし $Y$ は固定した集合で、連続関数や滑らかな関数だけを扱う場合は、その種類の関数に限定する。$(U,f)$ と $(V,g)$ は、ある開近傍 $W$ が $x\in W\subseteq U\cap V$ を満たし、$f|_W=g|_W$ となるとき同値とする。$W$ は $U\cap V$ 全体である必要はない。

点における関数の芽

$x$ を含む開集合上の、指定した種類の関数の組 $(U,f)$ を上の関係で同一視した同値類を、$x$ における $f$ の芽といい、$f_x$ または $[f]_x$ と書く。$f$ をその芽の代表という。特に
$$ f_x=g_x\quad\Longleftrightarrow\quad \text{$x$ のある開近傍 $W\subseteq U\cap V$ 上で $f|_W=g|_W$} $$
である。

この定義は同じ点に関するものだけを比べる。$x\ne y$ なら $f_x$ と $g_y$ は、それぞれ異なる点の局所データであり、値が等しいとしても通常は同じ芽とは言わない。関数の種類も固定する。例えば連続関数としての芽と正則関数としての芽は、代表の許される範囲が違う。EoMGerm は連続・微分可能・正則な関数の芽を同じ「近傍で一致する」という方法で定義している。

芽の等号は同値関係である

上の関係は反射的、対称的、推移的である。したがって各組 $(U,f)$ は一つの芽を定める。$x\in V\subseteq U$ なら $(f|_V)_x=f_x$ である。

共通の開近傍を取る

反射性には $W=U$ を使い、対称性は関数の等号の対称性による。$(U,f)$ と $(V,g)$ が $W_1$ 上で一致し、$(V,g)$ と $(T,h)$ が $W_2$ 上で一致するとする。$W_1\cap W_2$ は $x$ の開近傍であり、その上では $f=g=h$ である。よって $(U,f)$ と $(T,h)$ も同値で、推移性が従う。制限の場合は $W=V$ 上で $f|_V$ と自身が一致する。

近傍を縮めても芽が変わらないことは、局所的な計算の基本である。たとえば $f$ がある大きな開集合上で定義されていても、$x$ の近くの式だけで $f_x$ を扱える。逆に、一つの芽は一般に定義域を大きく広げる方法を指定しない。局所的な代表を取る操作と、大域的な関数に延長する操作は異なる。

関数値より細かい情報

代表 $f$ が点 $x$ で定義されているので、値 $f(x)$ は芽から決まる。$f_x=g_x$ なら近傍で一致するから、当然 $f(x)=g(x)$ である。しかし逆は成り立たない。$\mathbb R$ の $0$ で $f(t)=t$ と $g(t)=t^2$ を比べると、両者の値は $0$ だが、どの開近傍でも関数として一致しない。したがって $f_0\ne g_0$ である。

値は同じで芽は異なる

$f(t)=0$ と $g(t)=t^2$ を $\mathbb R$ 上の連続関数とする。$f(0)=g(0)=0$ だが、任意の $0$ の開近傍は $0$ でない $t$ を含み、そこで $g(t)\ne0$ となる。従って $f_0\ne g_0$。他方、$h(t)$ を $|t|<1$ では $t^2$、その外では別の連続な式で与えたなら、$h_0=g_0$ である。

同じ芽でも代表は無数にある。例えば $f(t)=t^2$ を $(-1,1)$ で定義し、$g(t)=t^2$ を $(-2,2)$ で定義すると、組としての定義域は違うが $0$ における芽は同じである。さらに $(-2,2)$ の端の近くで $g$ の値を変更しても、$0$ の近くの式が変わらなければ同じ芽を定める。芽は定義域の広さも、点から離れた値も記憶しない。
連続関数と正則関数の芽を比べると、同じ「局所情報」にも強弱がある。連続関数の芽は単なる点の値より多くを記録するが、正則関数の芽は一変数では収束する Taylor 級数と対応し、点での全ての複素導関数を通じて読める。これらの差は後で具体的に確かめる。

同じ芽から作る新しい芽

芽は代表を用いて計算するが、計算が代表の選び方に依存しないことを確かめて初めて意味を持つ。連続関数の芽 $f_x$ に連続写像 $\phi:Y\to Z$ を合成する場合、$\phi\circ f$ は $x$ の近傍で定義される。別の代表 $g$ が $f_x=g_x$ を満たせば、共通の小さい近傍で $f=g$ なので $\phi\circ f=\phi\circ g$ もそこで成り立つ。従って $(\phi\circ f)_x$ は $f_x$ だけで決まる。$\phi$ が定義される範囲に $f(x)$ が入っているなら、必要に応じて $f$ の定義域を縮めればよい。
微分可能な関数についても、$f_x=g_x$ なら小さい近傍で関数が等しく、そこでは導関数も等しいから $(f')_x=(g')_x$ である。ただし逆は一般に成り立たない。例えば $\mathbb R$ 上の $f(t)=t$ と $g(t)=t+1$ は導関数の芽が同じだが、元の芽は異なる。導関数の芽に一点での値を加えれば、区間上の関数を微分積分の基本定理で復元できる場合があるが、芽の等号そのものは必ず代表の近傍での一致によって判定する。
さらに、零でない値をとる関数に対して逆数の芽を作るときには、定義域を縮める必要がある。$f(x)\ne0$ でも元の $U$ の別の点で $f$ が零になるかもしれない。しかし $x$ の近くに限れば逆数を定義できる。このように、芽の計算では代表を適宜縮める自由が本質的である。

切断の芽と茎

一般の前層 $\mathcal F$ では、$U$ 上の元 $s\in\mathcal F(U)$ を切断という。関数として値を取る形でなくても、制限写像 $s\mapsto s|_W$ がある。$x$ を含む開集合上の二つの切断 $s,t$ について、ある $x$ の開近傍 $W$ で制限が等しいとき、同じ芽を定めると定義する。芽 $s_x$ は茎 $\mathcal F_x$ の一つの元であって、茎そのものではない（StacksStalk §6.11）。

切断の芽

$\mathcal F$ を $X$ 上の前層、$x\in U$、$s\in\mathcal F(U)$ とする。組 $(U,s)$ の、共通の小さい開近傍で制限が一致するという同値関係による類を、切断 $s$ の $x$ における芽 $s_x\in\mathcal F_x$ という。

ここで $s_x=t_x$ を確かめるには、同じ開集合 $U$ 上で $s=t$ を示す必要はない。$x$ の近くの、場合によっては非常に小さい開集合で一致すれば足りる。このため芽の等号は「どこか十分近くで起こる」という存在的な局所条件である。$U$ の各点での芽を一斉に比較して $s=t$ を結論するには、別に層の局所性公理を使う。

全ての点で同じ芽を持つ切断

$\mathcal F$ が層で、$s,t\in\mathcal F(U)$ とする。全ての $x\in U$ で $s_x=t_x$ なら $s=t$ である。前層一般ではこの結論は成り立たない。

局所性を使う

各 $x\in U$ について、芽の等号から $x$ を含む開集合 $W_x\subseteq U$ があり、$s|_{W_x}=t|_{W_x}$ である。$U=\bigcup_{x\in U}W_x$ だから、層の局所性公理により $s=t$。前層については、二点以上ある離散空間 $X$ に対し、$\mathcal F(X)=\{a,b\}$ とし、真の開部分集合 $V\subsetneq X$ には一点集合を割り当てる。$X$ から真部分集合への制限は唯一の写像、同じ開集合への制限は恒等写像とする。これらは合成則を満たすので前層である。$X$ 上の異なる切断 $a,b$ は各点の十分小さい真の開近傍に制限すると一致するので、全ての点で同じ芽を持つ。しかし $a\ne b$ である。

この反例は、芽だけで元の前層の切断を復元できるとは限らないことを示す。層では局所一致から大域的一致へ進めるが、局所切断の族が任意に貼れるわけではなく、重なりで一致するという条件も必要である。芽を集めた茎と、開集合上の切断を扱う層は、関係は深いが同じものではない。

零芽と演算

実数値・複素数値の連続関数、滑らかな関数、正則関数のように、切断を足したり掛けたりできるとき、芽も同じ演算を持つ。代表 $f,g$ の定義域が違えば、まず $x$ を含む共通部分に制限してから演算する。別の代表を選んでも、さらに小さな近傍でそれぞれ一致するため、計算結果の芽は同じである。この構成で関数の芽は環をなし、零芽は零関数の芽である（EoMGerm）。

零芽の判定

関数の芽 $f_x$ が零芽であることと、$x$ のある開近傍で $f$ が恒等的に零であることは同値である。従って $f(x)=0$ は零芽であるための必要条件だが、一般には十分条件でない。

零関数と代表を比較する

零芽は $x$ の開近傍上で定義された零関数の類である。$f_x=0_x$ という等式に芽の定義を適用すると、さらに小さい開近傍 $W$ 上で $f|_W=0$ となる。逆にそのような $W$ があれば、$f$ と零関数は $W$ 上で一致するので同じ芽を定める。$f(x)=0$ が十分でない例は $f(t)=t$ の $0$ での芽である。

芽の演算は点での値の演算と両立するが、値だけから芽の演算を逆算することはできない。たとえば $t$ の芽と $t^2$ の芽は、どちらも $0$ という値を持つが互いに等しくない。また積が零芽になる条件は、対象とする関数の種類に左右される。正則関数の一変数の芽では零因子がないが、連続関数の芽では、左右の半軸上で別々に支えられた二つの非零芽の積が零芽になる。

連続関数の芽の零因子

$f(t)=\max\{t,0\}$、$g(t)=\max\{-t,0\}$ を $\mathbb R$ 上の連続関数とする。$0$ のどの開近傍でも $f$ と $g$ はそれぞれどこかで非零なので $f_0\ne0$、$g_0\ne0$ である。一方、全ての $t$ で $f(t)g(t)=0$ だから $f_0g_0=0$。従って $0$ における連続関数の芽の環は整域ではない。

点での非零性と局所的な逆数

連続関数 $f$ の芽 $f_x$ は、$f(x)\ne0$ なら可逆である。連続性により $x$ の十分小さい近傍で $f$ は零にならず、$1/f$ がそこで定義されるからである。逆に $f_xg_x=1_x$ なら $x$ で値をとって $f(x)g(x)=1$、従って $f(x)\ne0$。正則関数でも、分母が零でない近傍で逆数は正則だから同じ判定が成り立つ。

関数の芽が単元である条件

$X$ 上の実数値または複素数値連続関数の層を考える。$f_x$ が芽の環で可逆であることと $f(x)\ne0$ は同値である。複素多様体上の正則関数の芽についても同じ同値が成り立つ。

逆数を小さい近傍で作る

$f(x)\ne0$ とする。連続性から $x$ の開近傍 $W$ を十分小さくすれば $f(y)\ne0$ が全ての $y\in W$ で成り立つ。$1/f$ は $W$ 上で連続で、正則な $f$ の場合は正則でもある。よって $f_x(1/f)_x=1_x$。逆に $f_xg_x=1_x$ なら、芽の積と等号の定義から $x$ のある近傍で $fg=1$ となり、特に $f(x)g(x)=1$ である。

この命題から、$f(x)=0$ である芽の全体は芽の環の唯一の極大イデアルになる。実際、点での値をとる写像から係数体への剰余が得られ、その核が非単元の全体である。この環が局所環と呼ばれる理由は、芽が一点の近くに絞った情報を持つことと対応する。ただし「芽が零」と「芽が非単元」は全く異なる。$f(t)=t$ の $0$ での芽は零でないが、点での値が零なので単元ではない。

正則関数の芽と複素解析

$x=0$ での一変数正則関数の芽は、$0$ のある円板で収束する冪級数 $\sum_{n\ge0}a_nz^n$ と対応する。正則関数から Taylor 係数 $a_n=f^{(n)}(0)/n!$ を取れば収束級数を得て、同じ芽なら近傍で一致するから係数も同じである。逆に正の収束半径を持つ級数は円板上の正則関数を定め、同じ係数列は同じ芽を与える（EoMAnalytic）。したがって複素平面の点 $0$ における正則関数の芽の環は、収束冪級数の環 $\mathbb C\{z\}$ とみなせる（EoMAnalyticRing）。

正則関数の芽の零判定

複素平面の $0$ における正則関数の芽 $f_0$ について、次は同値である。

$f_0$ は零芽である。
$f$ の $0$ における全ての複素導関数が零である。
$0$ における Taylor 級数の全ての係数が零である。
これに対し滑らかな実関数では、全ての導関数が零でも零芽とは限らない。

収束冪級数で芽を読む

零芽なら、ある円板上で $f=0$ だから全ての導関数は $0$ である。Taylor 係数は導関数を $n!$ で割ったものなので、2 と 3 は同値。全係数が零なら、正則関数の局所冪級数表示により、十分小さい円板上で $f$ は零級数に等しい。よって零芽である。滑らかな関数の対照例は次節で構成する。

零でない正則関数の芽の Taylor 級数には、最初に零でない係数がある。その添字を消滅次数と呼ぶ。例えば $z^3(1+z)$ の $0$ での芽の消滅次数は $3$ で、$1+z$ の芽は単元である。これにより非零芽を $z^m$ と単元の積として書ける。二つの非零芽の積も非零で、消滅次数は和になる。この局所計算は、零点の重複度や複素解析空間の局所的な方程式を理解する入口になる。複数変数や特異な解析空間では、全てを一つの消滅次数で表すことはできず、局所環やイデアルを用いて調べる。
一変数正則関数にはもう一つ重要な境界がある。$0$ に集積する異なる点 $z_n$ で $f(z_n)=g(z_n)$ が成り立ち、$f,g$ がともに $0$ の開近傍で正則なら、一致の定理により $f_0=g_0$ である。これは各点 $z_n$ で値が一致するだけでなく、集積点の近くで関数全体が一致するという強い結論である。対照的に連続関数では、$z_n\to0$ の一点列上で値が等しくても、列の外で違えば芽は異なる。たとえば実数上で $f(t)=0$、$g(t)=t\sin(\pi/t)$（$t\ne0$、$g(0)=0$）なら、$t=1/n$ では一致するが $0$ での芽は違う。
この一致の定理を使う際は、集積点が両関数の定義域の内部にあることが重要である。境界に集積する零点だけでは、同じ局所結論は直ちには出ない。芽は点を含む開近傍で定義した代表から作るので、ある一点での正則関数の芽に一致の定理を適用するときは、代表を共通の小さい円板に制限してから比較する。

滑らかな芽と有限階の情報

有限個の導関数の値だけでは一般に芽は決まらない。$f(t)=t^{m+1}$ と零関数は、$0$ で $m$ 階までの導関数が全て一致するが、芽は違う。この「$m$ 階までの情報」は $m$-ジェットと呼ばれ、芽より粗い。さらに実変数の滑らかな関数では、全階の導関数が一致しても芽が一致しないことがある。

全ての導関数が零でも非零の芽

$$ h(t)= \begin{cases} \exp(-1/t^2)&t>0,\\ 0&t\leq0 \end{cases} $$
と置く。$h$ は $\mathbb R$ 上で滑らかで、全ての $n\ge0$ について $h^{(n)}(0)=0$ である。しかし $0$ のどの開近傍にも正の $t$ があり、そこで $h(t)>0$ だから $h_0$ は零芽でない。

平坦な関数の導関数と芽

$t>0$ では微分を繰り返すと $h^{(n)}(t)=P_n(1/t)\exp(-1/t^2)$ という形になる。ここで $P_n$ は多項式である。任意の整数 $N\ge0$ について $t^{-N}\exp(-1/t^2)\to0$（$t\downarrow0$）なので、これらの式も $0$ に向かう。左側では $h$ は恒等的に零であり、帰納的に $0$ での全ての導関数が存在して零になる。一方、各 $0$ の開近傍に $t>0$ が含まれ、そこで $h(t)>0$。零芽の判定により $h_0\ne0$ である。

この例は、滑らかさと解析性の違いを芽の言葉で表す。正則関数では Taylor 級数が芽を決めるが、滑らかな関数では Taylor 級数だけでは足りない。したがって「全ての微分係数が一致するから同じ局所関数である」と述べるときは、正則性などの仮定が必要である。

芽を使うときの境界

芽は一点の十分小さい開近傍での性質を表す。その点を含まない場所で起こること、あるいは遠方まで代表を延長できるかどうかは、芽だけでは分からない。たとえば $1/(1-z)$ の $0$ における正則関数の芽は存在するが、その同じ式を $z=1$ へ正則関数として延長することはできない。一方、$0$ に近い円板では問題なく定義されている。局所的に存在することと、空間全体で存在することを分ける。
また「ある近傍で成り立つ」性質は、代表を縮めると保たれるが、「ある指定した大きな開集合上で成り立つ」性質は一般には芽の性質ではない。例えば $f_x$ が単元かどうかは局所的に決まる。しかし代表 $f$ が大域的に有界か、指定した閉曲線の内側全体で定義されているかは、別の代表では変わり得る。芽を使う際には、主張が定義域を小さくしても変わらないかを確認する。
芽の等号を確かめるために、特定の半径や決まった形の開近傍を選ぶ必要はない。距離空間なら十分小さい開球で、複素平面なら十分小さい円板で、一致を示せばよい。反対に芽が異なることを示すには、どの開近傍でも一致しないことが必要である。$t$ と零関数の $0$ での芽が違う理由は、任意の開区間 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ に零でない点が含まれるからであり、一つの大きな区間で違うというだけでは証明にならない。
この量化の違いは実務上も重要である。ある式を簡単にするために定義域を一度縮めてよいが、違う代表を選ぶたびに別の近傍が出てくる。有限個の芽に関する計算なら、それらの近傍の共通部分を取れば全ての等式を同時に扱える。無限個の条件では、開近傍の無限交叉がなお開であるとは限らないため、「各条件についてどこかの近傍がある」から「全条件が同時に成り立つ一つの近傍がある」へは一般に進めない。
集合や写像、解析空間にも芽という語がある。例えば二つの部分集合が $x$ のある近傍で一致するとき、$x$ における集合の芽が等しいという（EoMGerm）。ただし、その場合は関数の値や足し算をそのまま持ち込めない。対象ごとの構造を指定した上で、共通する「点の近くで一致したものを同一視する」という考えを使う。