正則ベクトル束
概要
正則ベクトル束（holomorphic vector bundle）とは、複素多様体上の複素ベクトル束で、変換関数が正則関数を成分にもつ行列にとれるもののことである。正則接束や $\mathbb P^n$ 上の $\mathcal O(k)$ が基本例である。枠によらない作用素 $\bar\partial_E$ があって $\bar\partial_E^2=0$ をみたし、その核が正則切断である。$\mathcal O(k)$ の正則切断は $k$ 次斉次多項式と一致する。直線束では可積分な $\bar\partial$ 作用素が正則構造をただ 1 つ定める。$\mathbb P^1$ 上の $\mathcal O\oplus\mathcal O$ と $\mathcal O(1)\oplus\mathcal O(-1)$ は滑らかには同型だが正則には同型でない。
前提知識: 複素多様体, ベクトル束, 正則関数, Dolbeaultコホモロジー
正則ベクトル束（holomorphic vector bundle）とは、複素多様体 $X$ 上の複素ベクトル束 $E$ で、全空間 $E$ が複素多様体であり、射影 $E\to X$ が正則で、局所自明化を正則にとれるもののことである。同じことだが、変換関数 $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to GL(r,\mathbb C)$ がすべて正則関数を成分にもつ行列であるような複素ベクトル束である。階数 $1$ のものを正則直線束という。
連結なコンパクト複素多様体上の正則関数は定数しかない（複素多様体 の命題「コンパクト複素多様体上の正則関数」）が、射影空間上の直線束 $\mathcal O(k)$ の正則切断は $k$ 次の斉次多項式と同じだけある。関数の代わりに正則ベクトル束の切断を考えることが、複素幾何の基本の手法である。
この記事では次を示す。
- 正則ベクトル束には、枠によらない作用素 $\bar\partial_E$ があり、$\bar\partial_E^2=0$ をみたし、その核が正則切断である。
- 射影空間 $\mathbb P^n$ 上の $\mathcal O(k)$ の正則切断の空間は、$k\ge0$ なら $k$ 次斉次多項式の空間と同型で、$k<0$ なら $0$ である。
- 滑らかな複素直線束に $\bar\partial$ 作用素が与えられ $\bar\partial^2=0$ なら、それを $\bar\partial_E$ とするただ 1 つの正則構造がある。
- $\mathbb P^1$ 上の $\mathcal O\oplus\mathcal O$ と $\mathcal O(1)\oplus\mathcal O(-1)$ は、滑らかな束としては同型だが、正則ベクトル束としては同型でない。
定義
以下、$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体とする。
$X$ 上の階数 $r$ の複素ベクトル束 $\pi\colon E\to X$（ベクトル束）が正則ベクトル束であるとは、$E$ が複素多様体で、$\pi$ が正則写像であり、$X$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と、各ファイバー上で複素線形な双正則写像（正則な局所自明化）
$$
h_\alpha\colon\pi^{-1}(U_\alpha)\xrightarrow{\ \cong\ }U_\alpha\times\mathbb C^r
$$
があることをいう。$r=1$ のとき正則直線束という。
2 つの正則な局所自明化の比較 $h_\alpha\circ h_\beta^{-1}$ は、各点 $x\in U_\alpha\cap U_\beta$ で可逆行列 $g_{\alpha\beta}(x)\in GL(r,\mathbb C)$ を掛ける写像であり、$g_{\alpha\beta}$ は正則である。これを変換関数といい、
$$
g_{\alpha\beta}\,g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}\quad(U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma\text{ 上}),\qquad g_{\alpha\alpha}=I
$$
をみたす。逆に、正則関数を成分にもつ $g_{\alpha\beta}$ でこの条件をみたすものが与えられれば、$\coprod_\alpha U_\alpha\times\mathbb C^r$ を $g_{\alpha\beta}$ で貼り合わせて正則ベクトル束が得られる（Wel08 Ch. I Definition 2.2 とその後の注意、p. 13）。したがって正則ベクトル束とは、変換関数が正則にとれる複素ベクトル束のことだと言ってよい。
開集合 $U\subset X$ 上の正則切断とは、正則写像 $s\colon U\to E$ で $\pi\circ s=\mathrm{id}_U$ をみたすものをいう。正則な局所自明化で $h_\alpha\circ s=(x,\sigma_\alpha(x))$ と書くと、$s$ が正則であることは、各成分の列ベクトル $\sigma_\alpha\colon U\cap U_\alpha\to\mathbb C^r$ が正則であることと同じで、成分は $\sigma_\alpha=g_{\alpha\beta}\sigma_\beta$ で結ばれる。正則切断の全体を $H^0(U,E)$ と書く。正則ベクトル束の間の準同型とは、ファイバーごとに線形な正則写像 $E\to F$ で $X$ 上の恒等写像を覆うものをいう。
$U\mapsto H^0(U,E)$ は $X$ 上の正則関数の層 $\mathcal O_X$ の上の加群の層 $\mathcal O(E)$ であり、局所自明化の上では $\mathcal O^{\oplus r}$ と同型なので、階数 $r$ の局所自由層である。逆に階数 $r$ の局所自由層は、局所的な基底の間の変換行列を変換関数として、ある正則ベクトル束の正則切断の層と同型になる。この対応により、正則ベクトル束と局所自由層は同じものとみなせる（Dem12 Ch. V §11、p. 267）。正則直線束の同型類がテンソル積でなす群 $H^1(X,\mathcal O_X^*)$ が Picard 群であり、その第 1 Chern 類は 第1Chern類 の記事で扱う。
線形代数の構成は正則ベクトル束の上でもそのまま行える。$E$、$F$ の変換関数を $g_{\alpha\beta}$、$g'_{\alpha\beta}$ とすると、
| 構成 | 変換関数 |
|---|---|
| 双対束 $E^*$ | $({}^tg_{\alpha\beta})^{-1}$ |
| 直和 $E\oplus F$ | $\begin{pmatrix}g_{\alpha\beta}&0\\0&g'_{\alpha\beta}\end{pmatrix}$ |
| テンソル積 $E\otimes F$ | $g_{\alpha\beta}\otimes g'_{\alpha\beta}$（Kronecker 積） |
| 行列式束 $\det E=\Lambda^rE$ | $\det g_{\alpha\beta}$ |
| 正則写像 $f\colon Y\to X$ による引き戻し $f^*E$ | $g_{\alpha\beta}\circ f$ |
であり、いずれも正則なので、構成された束も正則ベクトル束である（ベクトル束の直和・テンソル積、Wel08 Ch. I §2、pp. 19–20）。
例
- 自明束．$X\times\mathbb C^r$ は変換関数 $I$ の正則ベクトル束で、正則切断は $\mathbb C^r$ に値をとる正則関数である。
- 正則接束．正則座標 $z=(z_1,\dots,z_n)$ と $w=(w_1,\dots,w_n)$ の座標変換 $z=\phi(w)$ について、$\partial/\partial w_k=\sum_j(\partial z_j/\partial w_k)\,\partial/\partial z_j$ である。$T^{1,0}X$（概複素構造）は局所枠 $\partial/\partial z_1,\dots,\partial/\partial z_n$ をもち、枠の変換行列は正則な Jacobi 行列 $(\partial z_j/\partial w_k)$ なので、正則ベクトル束である。これを正則接束という。その双対が正則余接束 $T^{*1,0}X$ で、局所枠は $dz_1,\dots,dz_n$ である。
- 標準束．$K_X:=\det T^{*1,0}X=\Lambda^nT^{*1,0}X$ を標準束という。局所枠は $dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n$ で、$dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n=\det(\partial z_j/\partial w_k)\,dw_1\wedge\cdots\wedge dw_n$ である。正則切断は正則な $n$ 形式であり、Serre 双対性（Serre双対性）に現れる。
$\mathbb P^n$ を $\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ の点 $x=(x_0,\dots,x_n)$ の複素直線 $[x]=\mathbb Cx$ の全体とし、$U_i:=\{x_i\neq0\}$ とする（射影空間）。
- 同語反復直線束．$\mathcal O(-1):=\{([x],v)\in\mathbb P^n\times\mathbb C^{n+1}\mid v\in\mathbb Cx\}$ は各点 $[x]$ にその直線 $\mathbb Cx$ を対応させる直線束である。$U_i$ 上の正則な切断 $\varepsilon_i([x]):=x/x_i$ はどこでも $0$ でなく、$U_i\cap U_j$ 上で
$$ \varepsilon_i=\frac{x_j}{x_i}\,\varepsilon_j $$
をみたす。$x_j/x_i$ は $U_i\cap U_j$ 上の $0$ にならない正則関数なので、$\mathcal O(-1)$ は正則直線束である（Dem12 Ch. V (15.1)、p. 277）。 - $\mathcal O(k)$．$\mathcal O(1):=\mathcal O(-1)^*$、$\mathcal O(0):=\mathbb P^n\times\mathbb C$、$k\ge1$ について $\mathcal O(k):=\mathcal O(1)^{\otimes k}$、$\mathcal O(-k):=\mathcal O(-1)^{\otimes k}$ とおく。$\varepsilon_i^*$ を $\varepsilon_i$ の双対枠とし、$\mathcal O(k)$ の $U_i$ 上の枠 $\varepsilon^{(k)}_i$ を $k\ge0$ なら $(\varepsilon_i^*)^{\otimes k}$、$k<0$ なら $\varepsilon_i^{\otimes(-k)}$ とすると、どの $k\in\mathbb Z$ についても
$$ \varepsilon^{(k)}_i=\Bigl(\frac{x_i}{x_j}\Bigr)^k\varepsilon^{(k)}_j\qquad(U_i\cap U_j\text{ 上}) $$
である。自然な同型 $\ell^*\otimes\ell\cong\mathbb C$ により $\mathcal O(k)\otimes\mathcal O(m)\cong\mathcal O(k+m)$ である。
$\mathcal O(k)$ の正則切断は次のように完全に決まる。
$n\ge1$ とし、$S_k$ を $x_0,\dots,x_n$ の $k$ 次斉次多項式の空間とする（$k<0$ なら $S_k=0$）。$k\ge0$ のとき、$P\in S_k$ に $U_i$ 上で $P(x)/x_i^k\cdot\varepsilon^{(k)}_i$ となる切断を対応させる写像は、線形同型
$$
S_k\xrightarrow{\ \cong\ }H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(k))
$$
である。とくに $\dim H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(k))=\binom{n+k}{n}$ である。$k<0$ なら $H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(k))=0$ である。
切断と斉次関数の対応．$s\in H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(k))$ を $U_i$ 上で $s=a_i\varepsilon^{(k)}_i$（$a_i$ は $U_i$ 上の正則関数）と書く。$U_i\cap U_j$ 上で $a_i\varepsilon^{(k)}_i=a_j\varepsilon^{(k)}_j$ と ex-hvb-tautological の関係式から $a_j=a_i(x_i/x_j)^k$、すなわち
$$
a_i([x])\,x_i^k=a_j([x])\,x_j^k
$$
である。したがって $F(x):=a_i([x])\,x_i^k$（$x_i\neq0$ のとき）は $\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の関数として矛盾なく定まる。射影 $x\mapsto[x]$ は正則なので $F$ は正則であり、$F(\lambda x)=a_i([x])(\lambda x_i)^k=\lambda^kF(x)$（$\lambda\in\mathbb C^*$）をみたす。逆に、$\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の正則関数 $F$ で $F(\lambda x)=\lambda^kF(x)$ をみたすものがあれば、$a_i([x]):=F(x)/x_i^k$ は $x$ の代表によらず、$U_i$ のアフィン座標で正則であり、上の関係をみたすので切断を定める。この 2 つの対応は互いに逆で、線形である。
Hartogs の拡張．$n+1\ge2$ なので、Hartogs の拡張定理（$\mathbb C^m$、$m\ge2$ の開集合 $\Omega$ とコンパクト集合 $K\subset\Omega$ で $\Omega\setminus K$ が連結なものについて、$\Omega\setminus K$ 上の正則関数は $\Omega$ 上の正則関数に延びる。Dem12 Ch. I (3.28)、p. 28）を $\Omega=\mathbb C^{n+1}$、$K=\{0\}$ に当てると、$F$ は $\mathbb C^{n+1}$ 全体の正則関数に延びる。これを同じ $F$ で書く。
$k<0$ の場合．$x\neq0$ を固定する。$F$ は $0$ の近くで有界だが、$\lambda\to0$ のとき $|F(\lambda x)|=|\lambda|^k|F(x)|$ であり、$k<0$ なので $F(x)\neq0$ なら発散する。よって $F(x)=0$ であり、$s=0$ である。
$k\ge0$ の場合．$F$ は $\mathbb C^{n+1}$ 全体の正則関数なので、原点での Taylor 展開 $F=\sum_{m\ge0}P_m$（$P_m$ は $m$ 次斉次多項式）が $\mathbb C^{n+1}$ 全体で収束する。$x$ を固定すると $\lambda\mapsto F(\lambda x)=\sum_m\lambda^mP_m(x)$ は $\lambda$ の冪級数で、これが $\lambda^kF(x)=\sum_m\lambda^kP_m(x)$ と等しいので、係数を比べて $m\neq k$ なら $P_m(x)=0$ である。よって $F=P_k\in S_k$ である。逆に $P\in S_k$ は斉次次数 $k$ の正則関数なので、最初の段落の対応で切断を定め、それが命題の写像である。以上で同型が示された。
$S_k$ の基底は単項式 $x_0^{m_0}\cdots x_n^{m_n}$（$m_0+\cdots+m_n=k$）で、その個数は $\binom{n+k}{n}$ である。$\square$
同じ結果は Dem12 Ch. V Theorem (15.5) と Corollary (15.6)（pp. 278–279）にある。$n=1$ のときは $\mathbb P^1$ の 2 枚の座標で Laurent 展開を比べる計算でも示せる（Wel08 Ch. I Example 2.13、p. 22。同所の $E_k$ はこの記事の $\mathcal O(-k)$ にあたり、符号の流儀が逆である）。代数的な計算は 層コホモロジー の例「射影直線上の $\mathcal{O}(d)$」にある。
$\bar\partial$ 作用素
$E$ に値をとる $C^\infty$ 級の $(p,q)$ 形式の空間を $\mathcal A^{p,q}(X,E)$ と書く（$(p,q)$ 形式は Dolbeaultコホモロジー の定義「型 $(p,q)$ の微分形式と $\bar\partial$ 作用素」）。
$E$ を正則ベクトル束とする。正則な局所自明化の成分 $\sigma_\alpha$ で $s\in\mathcal A^{p,q}(X,E)$ を表したとき、$\bar\partial\sigma_\alpha$（成分ごとの $\bar\partial$）を成分とする形式を $\bar\partial_Es$ とおく。
- $\bar\partial_Es\in\mathcal A^{p,q+1}(X,E)$ は自明化の選び方によらずに定まる。
- 関数 $f$ と $s\in\mathcal A^{0,0}(X,E)$ について $\bar\partial_E(fs)=\bar\partial f\otimes s+f\,\bar\partial_Es$ である。
- $\bar\partial_E\circ\bar\partial_E=0$ である。
- $U$ 上の $C^\infty$ 級切断 $s$ が正則であることと $\bar\partial_Es=0$ は同値である。
1．$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $\sigma_\alpha=g_{\alpha\beta}\sigma_\beta$ であり、$g_{\alpha\beta}$ の成分は正則なので $\bar\partial g_{\alpha\beta}=0$ である。Leibniz 則により
$$
\bar\partial\sigma_\alpha=\bar\partial(g_{\alpha\beta}\sigma_\beta)=\bar\partial g_{\alpha\beta}\wedge\sigma_\beta+g_{\alpha\beta}\,\bar\partial\sigma_\beta=g_{\alpha\beta}\,\bar\partial\sigma_\beta
$$
となる。つまり $(\bar\partial\sigma_\alpha)_\alpha$ は切断の成分と同じ変換則をみたすので、1 つの $E$ 値の $(p,q+1)$ 形式を定める。
2．$fs$ の成分は $f\sigma_\alpha$ で、$\bar\partial(f\sigma_\alpha)=\bar\partial f\,\sigma_\alpha+f\,\bar\partial\sigma_\alpha$ である。
3．成分ごとに $\bar\partial^2=0$ である（Dolbeaultコホモロジー）。
4．$s$ が正則であることは各成分 $\sigma_\alpha$ が正則であること、すなわち $\bar\partial\sigma_\alpha=0$ と同値である（$C^\infty$ 級関数が正則であることと Cauchy–Riemann 方程式 $\bar\partial f=0$ は同値）。$\square$
$\bar\partial_E$ の複体のコホモロジーが $E$ に値をとる Dolbeault コホモロジー $H^{p,q}(X,E)$ であり、Dolbeault の定理により $H^{0,q}(X,E)\cong H^q(X,\mathcal O(E))$ である（Dolbeaultの定理、Dem12 Ch. V (11.3)–(11.5)、pp. 267–268）。
$\bar\partial$ 作用素から正則構造へ
prop-hvb-dbar の 2・3 の性質だけを取り出して、正則構造をまだもたない束の上で考える。
$E$ を複素多様体 $X$ 上の滑らかな複素ベクトル束とする。$\mathbb C$ 線形写像 $D''\colon\mathcal A^{0,0}(X,E)\to\mathcal A^{0,1}(X,E)$ で、関数 $f$ について $D''(fs)=\bar\partial f\otimes s+f\,D''s$ をみたすものを $E$ の $\bar\partial$ 作用素（型 $(0,1)$ の接続）という。$D''(\varphi\otimes s):=\bar\partial\varphi\otimes s+(-1)^{k}\varphi\wedge D''s$（$\varphi$ は $k$ 次形式）で $E$ 値の形式に延ばし、$D''\circ D''=0$ のとき可積分という。
局所的な滑らかな枠 $e_1,\dots,e_r$ をとり $D''e_b=\sum_a\alpha_{ab}\otimes e_a$ とおくと、$\alpha=(\alpha_{ab})$ は $(0,1)$ 形式を成分とする行列で、$D''\circ D''e_b=\sum_a(\bar\partial\alpha+\alpha\wedge\alpha)_{ab}\otimes e_a$ である（接続 の命題「接続行列と曲率行列」の 2 と同じ計算）。正則ベクトル束の $\bar\partial_E$ は、正則な枠について $\alpha=0$ となる可積分な $\bar\partial$ 作用素である。逆向きの主張が次の定理である。
$L$ を複素多様体 $X$ 上の滑らかな複素直線束、$D''$ を $L$ の可積分な $\bar\partial$ 作用素とする。このとき $L$ の正則直線束の構造で、$\bar\partial_L=D''$ となるものがただ 1 つある。その正則切断は $D''s=0$ をみたす切断である。
局所的な正則枠．$x\in X$ の座標近傍で、$L$ の $0$ にならない滑らかな切断 $e$ をとり、$D''e=\alpha\otimes e$（$\alpha$ は $(0,1)$ 形式）と書く。延長の定義から
$$
D''(D''e)=\bar\partial\alpha\otimes e-\alpha\wedge D''e=\bar\partial\alpha\otimes e-(\alpha\wedge\alpha)\otimes e=\bar\partial\alpha\otimes e
$$
である（1 形式 $\alpha$ について $\alpha\wedge\alpha=0$）。可積分性から $\bar\partial\alpha=0$ である。Dolbeault–Grothendieck の補題（Dolbeaultの定理 の定理「Dolbeault–Grothendieck の補題」）により、$x$ を中心とする小さい多重円板 $V$ 上の滑らかな関数 $f$ で $\bar\partial f=\alpha$ となるものがある。$e_V:=e^{-f}e$ とおくと、$e_V$ は $V$ 上で $0$ にならず
$$
D''e_V=\bar\partial(e^{-f})\otimes e+e^{-f}\alpha\otimes e=e^{-f}(-\bar\partial f+\alpha)\otimes e=0
$$
である。
貼り合わせ．このような $(V,e_V)$ で $X$ を覆う。$V\cap W$ 上で $e_W=g\,e_V$（$g$ は $0$ にならない滑らかな関数）と書くと、$0=D''e_W=\bar\partial g\otimes e_V$ なので $\bar\partial g=0$、すなわち $g$ は正則である。したがって枠 $e_V$ による局所自明化は正則な変換関数をもち、$L$ に正則直線束の構造を与える。この構造の $\bar\partial_L$ と $D''$ はどちらも $e_V$ を $0$ に写し、同じ Leibniz 則をみたすので、$\bar\partial_L(fe_V)=\bar\partial f\otimes e_V=D''(fe_V)$ となって一致する。prop-hvb-dbar の 4 により、正則切断は $D''s=0$ をみたす切断である。
一意性．$\bar\partial_L=D''$ となる正則構造が 2 つあれば、prop-hvb-dbar の 4 により両者の局所的な正則枠はどちらも $D''$ の核の $0$ にならない元であり、一方の正則枠は他方でも正則である。よって 2 つの構造の正則な局所自明化は互いに正則な変換で結ばれ、同じ正則構造である。$\square$
階数が $2$ 以上でも、可積分な $\bar\partial$ 作用素 $D''$ に対して $\bar\partial_E=D''$ となる正則構造がただ 1 つあることが知られている（Kob87 Proposition 1.3.7、p. 8。同所の証明は全空間 $E$ に概複素構造を入れてその可積分性を確かめる）。この記事ではこの一般の場合は証明しない。直線束の場合は $\alpha\wedge\alpha=0$ のため可積分性が $\bar\partial\alpha=0$ という線形の条件になり、Dolbeault–Grothendieck の補題だけで済む。
滑らかな同型と正則な同型
同じ滑らかな複素ベクトル束に、同型でない正則構造が入ることがある。
- $\Phi\colon\mathbb P^1\times\mathbb C^2\to\mathcal O(1)$ を、点 $[x]$ の上で $v\in\mathbb C^2$ に線形形式 $\mathbb Cx\ni y\mapsto\det(y,v)$ を対応させる写像とすると、正則ベクトル束の完全列
$$ 0\to\mathcal O(-1)\to\mathbb P^1\times\mathbb C^2\xrightarrow{\ \Phi\ }\mathcal O(1)\to0 $$
が得られる。 - $\mathcal O\oplus\mathcal O$ と $\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(1)$ は滑らかな複素ベクトル束として同型である。
- $\mathcal O\oplus\mathcal O$ と $\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(1)$ は正則ベクトル束として同型でない。
1．$y\mapsto\det(y,v)$ は $y$ について線形なので $\mathcal O(1)_{[x]}=(\mathbb Cx)^*$ の元である。枠 $\varepsilon_i^*$ についての係数は、$\varepsilon_i=x/x_i$ での値 $\det(x,v)/x_i$ で、これは $x$ について次数 $0$ の斉次な関数として $U_i$ 上で正則、$v$ について線形である。よって $\Phi$ は正則ベクトル束の準同型である。$\det(x,v)=0$ と $v\in\mathbb Cx$ は同値なので、各点で $\Phi$ の核はちょうど $\mathbb Cx=\mathcal O(-1)_{[x]}$ で、$\Phi$ は各ファイバーで全射である。
2．$\mathbb C^2$ の標準的な Hermite 内積について、$\mathbb Cx$ の直交補空間 $(\mathbb Cx)^\perp$ を考える。直交射影 $I-xx^*/|x|^2$ は $[x]$ について滑らかで階数 $1$ なので、$(\mathbb Cx)^\perp$ は $\mathbb P^1\times\mathbb C^2$ の滑らかな部分束であり（Wel08 Ch. I Proposition 2.10、p. 20）、滑らかな束として $\mathbb P^1\times\mathbb C^2=\mathcal O(-1)\oplus(\mathbb Cx)^\perp$ である。1 により $\Phi$ は $(\mathbb Cx)^\perp$ の上で各ファイバーの同型なので、$(\mathbb Cx)^\perp\cong\mathcal O(1)$（滑らかな同型）である。よって $\mathcal O\oplus\mathcal O=\mathbb P^1\times\mathbb C^2\cong\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(1)$ である。
3．正則な同型 $\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(1)\cong\mathcal O\oplus\mathcal O$ があったとする。両辺に $\mathcal O(-1)$ をテンソルすると、ex-hvb-tautological の $\mathcal O(k)\otimes\mathcal O(m)\cong\mathcal O(k+m)$ により正則な同型 $\mathcal O(-2)\oplus\mathcal O\cong\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(-1)$ が得られ、正則切断の空間の次元も等しい。ところが thm-hvb-sections-ok により左辺は $0+1=1$、右辺は $0+0=0$ である。これは矛盾である。$\square$
1 の完全列は正則には分裂しない（分裂すれば 3 に反する）。滑らかな束の完全列は Hermite 計量でいつでも分裂するが、正則な分裂の障害は $H^1(X,\operatorname{Hom}(Q,S))$ の類である（Dem12 Ch. V §14、pp. 273–277）。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 可積分性 $D''\circ D''=0$ | $\mathbb C^2$ 上の自明直線束と $D''=\bar\partial+\bar z_1\,d\bar z_2$ | 局所的な正則枠（$D''e=0$ で $0$ にならない $e$）がある |
| 準同型の階数が一定 | $\mathbb C$ 上の自明直線束の $z$ 倍 | 準同型の核・余核が正則ベクトル束 |
| 正則な同型（滑らかな同型だけ） | $\mathbb P^1$ 上の $\mathcal O\oplus\mathcal O$ と $\mathcal O(-1)\oplus\mathcal O(1)$ | 滑らかに同型なら正則ベクトル束としても同型 |
| 底空間のコンパクト性 | $\mathbb C$ 上の自明直線束 | 大域的な正則切断の空間が有限次元 |
1 行目：$\alpha=\bar z_1\,d\bar z_2$ について $\bar\partial\alpha=d\bar z_1\wedge d\bar z_2\neq0$ なので、thm-hvb-line-integrability の証明の計算により $D''\circ D''(\sigma)=\bar\partial\alpha\,\sigma\neq0$（$\sigma\neq0$）である。$D''e=0$ となる $0$ にならない $e$ があれば $D''\circ D''e=0$ となって矛盾する。したがってこの $D''$ はどの正則構造の $\bar\partial_L$ でもない。破る含意は「$\bar\partial$ 作用素はある正則構造の $\bar\partial_E$ である」である。
2 行目：$\varphi(x,v)=(x,xv)$ は正則ベクトル束の準同型だが、ファイバーの写像は $x=0$ で $0$、$x\neq0$ で同型である。各点の核を集めたものは $x=0$ だけで $1$ 次元になり、ベクトル束でない。余核の層 $\mathcal O/z\mathcal O$ は原点だけに台をもつ層で、局所自由でない。準同型の核・像が束になるのは、階数が一定のときである（Wel08 Ch. I Proposition 2.10、p. 20）。
3 行目は prop-hvb-p1-split である。滑らかな複素ベクトル束としての型（たとえば Chern 類）は正則構造を決めない。2 つの束の Chern 類はどちらも $c_1=0$ である。
4 行目：$\mathbb C$ 上の正則関数全体は無限次元である。$X$ がコンパクトなら、$H^0(X,E)=H^{0,0}(X,E)$ はつねに有限次元である（ベクトル束に値をとる調和形式についての Hodge の定理による。Serre双対性 の注意「引用する Hodge の定理」）。
Hermite 計量との関係．正則ベクトル束にも Hermite 計量（エルミート計量）は 1 の分割でいつでも入るが、正則な枠をユニタリにとれるとは限らない。正則構造と計量の両方に合う接続がただ 1 つあることが Chern 接続（Chern接続）の定理で、その曲率が曲率形式による Chern 類（第1Chern類）を与える。
関連項目
参考文献
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