Euler類

要点：どれも Thom 類の一意性から従う。束写像で引き戻した類、$-u$、ファイバーの $-1$ 倍で引き戻した類は、どれもファイバーへの制限が生成元（またはその符号を変えたもの）なので、それぞれ引き戻し束の Thom 類、逆向きの Thom 類、$(-1)^nu$ である。4 は $E_0$ の上で $u|_E$ が $0$ になることによる。

$Z:=\{x_1,\dots,x_k\}$ とする。互いに交わらない開集合 $U_i\ni x_i$ を、向きを保つ座標で開球に写り、その上で $E$ が自明になるようにとる。
第 1 段：$e(E)$ を相対類から得る．$s$ は $M\setminus Z$ を $E_0$ に写すので、対の写像 $s\colon(M,M\setminus Z)\to(E,E_0)$ を与え、$s^*u\in H^n(M,M\setminus Z)$ が定まる。包含 $j\colon(M,\emptyset)\to(M,M\setminus Z)$ について $j^*s^*u=s^*(u|_E)$ であり、定義の直後の式によりこれは $e(E)$ である。よって
$$ \langle e(E),[M]\rangle=\langle j^*s^*u,[M]\rangle=\langle s^*u,j_*[M]\rangle . $$
第 2 段：切除で零点ごとに分ける．$C:=M\setminus\bigcup_iU_i$ は閉集合で、開集合 $M\setminus Z$ に含まれる。切除により、包含 $\iota\colon\bigsqcup_i(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\to(M,M\setminus Z)$ は同型
$$ \bigoplus_{i=1}^kH_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\xrightarrow{\ \cong\ }H_n(M,M\setminus Z) $$
を引き起こす。$H_n(M,M\setminus Z)\to H_n(M,M\setminus\{x_i\})$ を合成すると、$l\ne i$ の成分は $U_l\subset M\setminus\{x_i\}$ なので $H_n(U_l,U_l)=0$ を経由して $0$ になり、$i$ の成分は切除による同型 $H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\cong H_n(M,M\setminus\{x_i\})$ になる。$j_*[M]$ はこの合成で $\mu_{x_i}$ に写るので、$j_*[M]=\iota_*\bigl(\sum_i\mu^{U_i}_{x_i}\bigr)$ である。ここで $\mu^{U_i}_{x_i}\in H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})$ は $\mu_{x_i}$ に対応する局所向きである。したがって
$$ \langle s^*u,j_*[M]\rangle=\sum_{i=1}^k\bigl\langle(s|_{U_i})^*u,\ \mu^{U_i}_{x_i}\bigr\rangle . $$
右辺の各項は、$x_i$ の近くでの $s$ と $u$ だけで決まり、座標や自明化を使っていない。
第 3 段：自明化の上での計算．$U=U_i$、$x=x_i$ とし、向きを保つ自明化 $h\colon U\times\mathbb R^n\cong E|_U$ で $s$ を $f\colon U\to\mathbb R^n$ で表す。$U$ は可縮なので、1 本のファイバーへの制限 $H^n(U\times\mathbb R^n,U\times\mathbb R^n_0)\to H^n(\{x\}\times\mathbb R^n,\{x\}\times\mathbb R^n_0)$ は同型である（対 $U\times(\mathbb R^n,\mathbb R^n_0)$ は $\{x\}\times(\mathbb R^n,\mathbb R^n_0)$ に変形収縮する）。$h^*u$ と $\mathrm{pr}_2^*\nu$（$\nu:=u_{\mathbb R^n}$ は標準の向きの生成元）はどちらもファイバーへの制限が $\nu$ なので、$h^*u=\mathrm{pr}_2^*\nu$ である。$s|_U=h\circ(\mathrm{id},f)$ で $\mathrm{pr}_2\circ(\mathrm{id},f)=f$ だから、
$$ \bigl\langle(s|_U)^*u,\ \mu^U_x\bigr\rangle=\langle f^*\nu,\mu^U_x\rangle=\langle\nu,f_*\mu^U_x\rangle , $$
ここで $f\colon(U,U\setminus\{x\})\to(\mathbb R^n,\mathbb R^n_0)$ である。
第 4 段：写像度との一致．座標 $\varphi$ で $U$ を $\mathbb R^n$ の開球と同一視し、$x=0$ とする。$D:=\bar D_\varepsilon$ とすると、切除とホモトピー同値により
$$ H_n(U,U\setminus\{0\})\cong H_n(D,D\setminus\{0\})\xrightarrow[\cong]{\ \partial\ }H_{n-1}(D\setminus\{0\})\cong H_{n-1}(S_\varepsilon), $$
$$ H_n(\mathbb R^n,\mathbb R^n_0)\xrightarrow[\cong]{\ \partial\ }H_{n-1}(\mathbb R^n_0)\xrightarrow[\cong]{\ r_*\ }H_{n-1}(S^{n-1})\qquad(r(y)=y/|y|) $$
である（$H_{n-1}$ は被約ホモロジー $\tilde H_{n-1}$ で読む。$n=1$ でも $\partial$ が同型になるためで、$n\ge2$ では通常のものと同じ。$S_\varepsilon$ は半径 $\varepsilon$ の球面で、$D\setminus\{0\}$ と $\mathbb R^n_0$ はそれぞれ $S_\varepsilon$ と $S^{n-1}$ に変形収縮する）。$f$ は $(D,D\setminus\{0\})\to(\mathbb R^n,\mathbb R^n_0)$ を与え、連結準同型 $\partial$ は対の写像と可換なので、2 つの行の同型のもとで $f_*$ は $r\circ f|_{S_\varepsilon}\colon S_\varepsilon\to S^{n-1}$ の誘導する写像に対応する。$S_\varepsilon$ を $v\mapsto\varepsilon v$ で $S^{n-1}$ と同一視すれば、これは def-eu-index の $g$ である。恒等写像 $\mathrm{id}\colon(D,D\setminus\{0\})\to(\mathbb R^n,\mathbb R^n_0)$ は（座標が向きを保つので）$\mu^U_0$ を $\mathbb R^n$ の標準の向きの生成元 $\mu_{\mathbb R^n}$ に写し、そのとき $g$ は恒等写像である。よって 2 つの行の同型は $\mu^U_0\mapsto\mu_{\mathbb R^n}$ と同じ生成元どうしを対応させ、$f_*\mu^U_0=(\deg g)\,\mu_{\mathbb R^n}$ となる。$\langle\nu,\mu_{\mathbb R^n}\rangle=1$ なので
$$ \langle\nu,f_*\mu^U_x\rangle=\deg g=\operatorname{ind}_x(s) $$
である。
$x_i\in U'\subset U_i$ となる開集合 $U'$ について、包含 $(U',U'\setminus\{x_i\})\to(U_i,U_i\setminus\{x_i\})$ は切除により局所向きどうしを対応させる同型なので、量 $\langle(s|_{U_i})^*u,\mu^{U_i}_{x_i}\rangle$ は $U_i$ の取り方によらない。def-eu-index の座標 $\varphi$ と自明化が与えられたら、$U_i:=\varphi^{-1}(D_\varepsilon)$（開球。$\bar D_\varepsilon$ の中の零点は $x_i$ だけ）とすれば、第 3・4 段がその座標と自明化で使える。したがって $\operatorname{ind}_{x_i}(s)$ はこの量に等しく、座標と自明化の選び方によらない。第 1・2 段とあわせて $\langle e(E),[M]\rangle=\sum_i\operatorname{ind}_{x_i}(s)$ を得る。零点のない切断なら右辺は空の和 $0$ である。$\square$

thm-eu-index-sum を $E=TM$ に使うと、指数の和は $\langle e(TM),[M]\rangle$ に等しく、thm-eu-tangent-chi によりこれは $\chi(M)$ である。$\square$

$e_{n+1}$ を第 $n+1$ 座標の単位ベクトルとし、$v(p):=e_{n+1}-p_{n+1}\,p$ とおく（$e_{n+1}$ の接空間 $T_pS^n=p^\perp$ への直交射影であり、高さ関数 $p\mapsto p_{n+1}$ の勾配である）。$\langle v(p),p\rangle=p_{n+1}-p_{n+1}|p|^2=0$ なので $v$ は接ベクトル場である。$v(p)=0$ なら $e_{n+1}=p_{n+1}p$ であり、両辺の長さから $|p_{n+1}|=1$、よって零点は北極 $N=e_{n+1}$ と南極 $S=-e_{n+1}$ の 2 点だけである。
$N$ の近くでは $\varphi(p)=(p_1,\dots,p_n)$ が座標であり、$p=(y,h)$、$h=\sqrt{1-|y|^2}>0$ と書ける。このとき $v(p)=(-h\,y,\ 1-h^2)$ なので、座標で書いたベクトル場は $f(y)=d\varphi(v)=-h(y)\,y$ である。小さい球面の上で $f/|f|$ は対蹠写像 $y\mapsto-y$ に等しいから、その写像度は $(-1)^n$ である（写像度 の命題「直交変換の写像度」を $S^{n-1}$ に使う）。$S$ の近くでも同じ座標 $\varphi$ が使え、$h=-\sqrt{1-|y|^2}< 0$ なので $f(y)=-h(y)\,y=|h(y)|\,y$ となり、指数は恒等写像の写像度 $1$ である。前節の最後に述べたとおり、ベクトル場の指数は座標が向きを保つかどうかによらない。thm-eu-index-sum により
$$ \langle e(TS^n),[S^n]\rangle=\operatorname{ind}_N(v)+\operatorname{ind}_S(v)=(-1)^n+1 $$
である。$H^n(S^n)\cong\mathbb Z$ で、$\langle\,\cdot\,,[S^n]\rangle$ はこの同型を与える（普遍係数定理）ので、$n$ が偶数なら $e(TS^n)$ は生成元の $2$ 倍、奇数なら $0$ である。$\square$