Ravi置換

方針：$b+c-a$ などを $x,y,z$ で書くと、ちょうど $2x$ などになる。これを 2 つの向きで確かめる。
段 1（(1) の正であること）。三角形の成立条件 $a< b+c$ から $-a+b+c>0$ なので $x=\dfrac{-a+b+c}2>0$ である。同じく $b< c+a$ から $y>0$、$c< a+b$ から $z>0$ である。
段 2（(1) の式）。定義から
$$ y+z=\frac{(a-b+c)+(a+b-c)}2=\frac{2a}2=a $$
である。同じく $z+x=\dfrac{(a+b-c)+(-a+b+c)}2=b$、$x+y=\dfrac{(-a+b+c)+(a-b+c)}2=c$ である。
段 3（(2) の成立条件）。$a=y+z$、$b=z+x$、$c=x+y$ のとき
$$ b+c-a=\underbrace{(z+x)}_{b}+\underbrace{(x+y)}_{c}-\underbrace{(y+z)}_{a}=2x $$
である。$x>0$ なので $b+c-a>0$、つまり $a< b+c$ である。同じく $c+a-b=2y>0$、$a+b-c=2z>0$ である。$a=y+z>0$ なども成り立つ。
段 4（(2) のもどり）。段 3 から $\dfrac{-a+b+c}2=\dfrac{2x}2=x$ で、同じく $\dfrac{a-b+c}2=y$、$\dfrac{a+b-c}2=z$ である。つまり def-rav の式でもとの $x,y,z$ にもどる。
段 5（1 対 1）。段 2 は「$(a,b,c)$ から $(x,y,z)$ を作り、それから $(a,b,c)$ を作るともとにもどる」ことを、段 4 は「$(x,y,z)$ から $(a,b,c)$ を作り、それから $(x,y,z)$ を作るともとにもどる」ことを示している。互いに逆の対応なので、1 対 1 である。$\square$

方針：1 つの点から円に引いた 2 本の接線の長さが等しいことを示し、ex-rav-start と同じ連立方程式を解く。内接円があること（3 つの角の二等分線が 1 点 $I$ で交わり、$I$ を中心とする円が 3 辺に接すること）は 三角形の内心と傍心 で示されている。内接円の半径を $r$ とする。
段 1（接線の長さは等しい）。接線は接点を通る半径に垂直なので、$\angle AEI=\angle AFI=90^\circ$ である。直角三角形 $AIE$ と $AIF$ で、斜辺 $AI$ は共通、$IE=IF=r$ なので、三平方の定理から
$$ AE^2=AI^2-r^2=AF^2 $$
で、$AE=AF$ である。同じく $BF=BD$、$CD=CE$ である。
段 2（連立方程式）。$p=AE=AF$、$q=BF=BD$、$t=CD=CE$ とおく。接点は辺の上にあるので $q+t=a$、$t+p=b$、$p+q=c$ である。3 式を足すと $2(p+q+t)=2s$ で $p+q+t=s$ である。
段 3（解く）。$p=(p+q+t)-(q+t)=s-a=x$ である。同じく $q=s-b=y$、$t=s-c=z$ である。$\square$

段 1（置き換え）。thm-rav-main により、正の数 $x,y,z$ で $a=y+z$、$b=z+x$、$c=x+y$ と書ける。$-a+b+c=2x$、$a-b+c=2y$、$a+b-c=2z$ なので、示す不等式は
$$ (y+z)(z+x)(x+y)\ge8xyz $$
になる。
段 2（相加平均と相乗平均）。正の数 $y,z$ について $y+z\ge2\sqrt{yz}$ で、等号は $y=z$ のときに限る（相加平均と相乗平均）。同じく $z+x\ge2\sqrt{zx}$、$x+y\ge2\sqrt{xy}$ である。
段 3（掛ける）。3 つの不等式の両辺はすべて正なので、辺々掛けてよく、
$$ (y+z)(z+x)(x+y)\ge8\sqrt{yz\cdot zx\cdot xy}=8\sqrt{(xyz)^2}=8xyz $$
である。
段 4（等号）。段 3 で等号が成り立つのは、3 つの不等式がすべて等号のとき、つまり $y=z$、$z=x$、$x=y$ のときに限る（どれか 1 つが真の不等号なら、正の数を掛けた積も真の不等号になる）。$x=y=z$ は $a=b=c$ と同じである。$\square$

$a=y+z$、$b=z+x$、$c=x+y$ とする。
$$ a^2+b^2+c^2=(y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx) $$
である。$(y+z)(z+x)=z^2+xy+yz+zx$ で、ほかの 2 つの積も同じ形なので
$$ ab+bc+ca=(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx) $$
である。よって
$$ 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)=2(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+zx)-2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)=4(xy+yz+zx) $$
で、$x,y,z>0$ なので正である。$\square$

方針：Ravi 置換で $x,y,z$ の式に直し、$xyz$ で割って、$\dfrac{x^2}y\ge2x-y$ の形の不等式を 3 つ足す。
段 1（置き換えて展開する）。$a=y+z$、$b=z+x$、$c=x+y$（$x,y,z>0$）とすると $a-b=y-x$、$b-c=z-y$、$c-a=x-z$ である。3 つの項をそれぞれ展開すると
$$ \begin{aligned} a^2b(a-b)&=(y+z)^2(z+x)(y-x)\\ &=xy^3-x^2y^2+xy^2z-2x^2yz-xyz^2-x^2z^2-xz^3+y^3z+2y^2z^2+yz^3,\\ b^2c(b-c)&=(z+x)^2(x+y)(z-y)\\ &=x^3z-x^3y-x^2y^2-x^2yz+2x^2z^2-2xy^2z+xyz^2+xz^3-y^2z^2+yz^3,\\ c^2a(c-a)&=(x+y)^2(y+z)(x-z)\\ &=x^3y+x^3z+2x^2y^2+x^2yz-x^2z^2+xy^3-xy^2z-2xyz^2-y^3z-y^2z^2 \end{aligned} $$
である。足すと、$x^2y^2$、$y^2z^2$、$x^2z^2$、$x^3y$、$y^3z$、$xz^3$ の項は打ち消し合い
$$ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)=2\bigl(xy^3+yz^3+zx^3-x^2yz-xy^2z-xyz^2\bigr) $$
となる。右辺のかっこの中は $xy^3+yz^3+zx^3-xyz(x+y+z)$ である。
段 2（$xyz$ で割る）。$xyz>0$ なので、示すことは
$$ \frac{xy^3+yz^3+zx^3}{xyz}\ge x+y+z,\qquad\text{つまり}\qquad \frac{y^2}z+\frac{z^2}x+\frac{x^2}y\ge x+y+z $$
と同じである（$\dfrac{xy^3}{xyz}=\dfrac{y^2}z$ などを使った）。
段 3（平方で評価する）。正の数 $x,y$ について
$$ \frac{x^2}y-(2x-y)=\frac{x^2-2xy+y^2}y=\frac{(x-y)^2}y\ge0 $$
なので $\dfrac{x^2}y\ge2x-y$ で、等号は $x=y$ のときに限る。同じく $\dfrac{y^2}z\ge2y-z$、$\dfrac{z^2}x\ge2z-x$ である。3 つを足すと
$$ \frac{y^2}z+\frac{z^2}x+\frac{x^2}y\ge(2y-z)+(2z-x)+(2x-y)=x+y+z $$
である。
段 4（等号）。等号は段 3 の 3 つの不等式がすべて等号のとき、つまり $x=y$、$y=z$、$z=x$ のときに限る。rem-rav-equality のとおり、これは $a=b=c$（正三角形）と同じである。答え：不等式は成り立ち、等号は正三角形のときに限る。$\square$