p進Hodge理論

前提知識: p進数, 局所体, 絶対Galois群, Tate捻り

複素数体上の滑らかな射影多様体 $X$ では、特異コホモロジーと de Rham コホモロジーが微分形式の積分によって比べられ（de Rhamの定理）、さらに $H^n(X,\mathbb{C})\cong\bigoplus_{i+j=n}H^{j}(X,\Omega^i)$ という Hodge分解 が成り立つ。$p$ 進 Hodge 理論（$p$-adic Hodge theory）は、これらの $p$ 進数での類似を扱う理論である。$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大体 $K$ 上の固有で滑らかな多様体 $X$ には、2 種類のコホモロジーがある。1 つは $p$ 進エタールコホモロジー $H^i_{\mathrm{et}}(X_{\bar K},\mathbb{Q}_p)$ で、有限次元 $\mathbb{Q}_p$ ベクトル空間に $K$ の絶対 Galois 群 $G_K$ が連続に作用するもの（$p$ 進表現）である。もう 1 つは de Rham コホモロジー $H^i_{\mathrm{dR}}(X/K)$ で、フィルトレーション（Hodge フィルトレーション）をもつ $K$ ベクトル空間である。$p$ 進 Hodge 理論の中心にある比較定理は、Fontaine が構成した周期環 $B$ を係数に使うと両者が同じ情報をもつことを述べる。
この理論のもう 1 つの顔は、$G_K$ の $p$ 進表現の分類である。$\ell\ne p$ の $\ell$ 進表現と違い、$G_K$ の $p$ 進表現は非常に多く、そのうち「幾何から来るもの」を取り出す条件が必要になる。Fontaine は周期環 $B$ ごとに「$B$ 許容的」という条件を定め、Hodge–Tate 表現・de Rham 表現・半安定表現・クリスタリン表現という階層を作った。この記事では、周期環の形式論と Hodge–Tate 表現を定義から述べて証明し、その上に立つ主定理の地図を示す。

設定と記号

以下、$p$ を素数、$K$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大体（標数 $0$ の局所体）とする。$\bar K$ を $K$ の代数閉包、$G_K:=\operatorname{Gal}(\bar K/K)$ を $K$ の絶対Galois群とし、Krull 位相で副有限群とみる。$K$ の $p$ 進絶対値は $\bar K$ に一意に延び（$\bar K$ の各有限次部分拡大への付値の延長の一意性。局所体 の定理「標数0の局所体と有限次拡大」の 1）、一意性から $G_K$ はこの絶対値を保つ。$\bar K$ の完備化を $\mathbb{C}_p$ と書く（$\bar K=\bar{\mathbb{Q}}_p$ なので $K$ によらない）。$G_K$ の作用は連続性によって $\mathbb{C}_p$ に延びる。

$p$ 進表現を調べるときの基本の道具は、$G_K$ が作用する環 $B$ と $V$ のテンソル積 $B\otimes_{\mathbb{Q}_p}V$（作用は $g(b\otimes v)=g(b)\otimes gv$）をとり、その $G_K$ 不変部分を見ることである。これが後で述べる周期環の形式論である。

円分指標と Tate 捻り

$\mu_{p^n}\subset\bar K$ を $1$ の $p^n$ 乗根の群とする。$g\in G_K$ は $\mu_{p^n}$ に $\zeta\mapsto\zeta^{a_n}$（$a_n\in(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times$）で作用し、$a_n$ は $n$ について両立するので、$p$ 進整数 $\chi(g):=\varprojlim a_n\in\mathbb{Z}_p^\times$ が定まる。$\chi\colon G_K\to\mathbb{Z}_p^\times$ を $p$ 進円分指標という（Tate捻り の定義「円分指標」で $\ell=p$ としたもの。$K$ の標数は $0$ なので $p$ と異なる）。$\chi$ は連続である。実際、$\chi(g)\equiv1\pmod{p^n}$ となる $g$ の全体は $\operatorname{Gal}(\bar K/K(\mu_{p^n}))$ で、これは開部分群である。
$n\in\mathbb{Z}$ について、1 次元の $\mathbb{Q}_p$ ベクトル空間 $\mathbb{Q}_p e_n$ に $g e_n:=\chi(g)^ne_n$ で $G_K$ を作用させたものを $\mathbb{Q}_p(n)$ と書き、Tate 捻りという（Tate捻り の $\mathbb{Z}_p(n)$ に $\mathbb{Q}_p$ を掛けたもの）。$G_K$ が作用する $\mathbb{Q}_p$ 加群 $M$ について $M(n):=M\otimes_{\mathbb{Q}_p}\mathbb{Q}_p(n)$ とおく。たとえば $\mathbb{C}_p(n)$ の元 $x\otimes e_n$ には $g(x\otimes e_n)=\chi(g)^ng(x)\otimes e_n$ で作用する。したがって
$$ \mathbb{C}_p(n)^{G_K}\cong\{x\in\mathbb{C}_p\mid g(x)=\chi(g)^{-n}x\ \ (g\in G_K)\} $$
である。

円分指標の像

$\mathbb{Q}_p(n)$（$n\ne0$）が像の有限な表現でないことは、円分指標の像が大きいことから分かる。これは $p$ 進 Hodge 理論の出発点となる計算である。

$p=3$、$n=2$ では $\Phi_9(Y+1)=Y^6+6Y^5+15Y^4+21Y^3+18Y^2+9Y+3$ であり、最高次以外の係数がすべて $3$ で割り切れ、定数項 $3$ は $9$ で割り切れない（Eisenstein 多項式）。証明の 1 はこの形の多項式が $\mathbb{Q}_p$ 上既約であることの証明である。
この定理の 3 から、$m\ne0$ のとき $\mathbb{Q}_p(m)$ は像が有限の表現ではない。$p$ 進表現には「像の小さい表現」の枠に収まらないものが自然に現れ、それが周期環を使う理由の 1 つになる。

周期環の形式論

Fontaine の方法では、$G_K$ が作用する環 $B$ を 1 つ固定し、$p$ 進表現 $V$ に $B$ 上の「不変部分」$D_B(V)$ を対応させる。$B$ に次の条件を課すと、$D_B(V)$ の次元が $V$ の次元を超えないことが一般に示せる。以下この節では、$G$ を群、$F$ を体とする（応用では $G=G_K$、$F=\mathbb{Q}_p$）。

条件 2 から $E$ は体である。実際 $b\in E$、$b\ne0$ なら $Fb$ は $G$ で安定なので $b\in B^\times$ であり、$g(b^{-1})=g(b)^{-1}=b^{-1}$ から $b^{-1}\in E$ である。条件 1 は、分数体に移っても不変な元が増えないことを要求している。

$\alpha_V$ が同型であることは、$B\otimes_FV$ が $B[G]$ 加群として $B^d$（自明な作用の $B$ の直和）に同型であることとも同値である。実際、同型なら $D_B(V)$ の $E$ 基底が $G$ 不変な $B$ 基底を与え、逆に $G$ 不変な $B$ 基底があれば、それは $D_B(V)$ に入り $E$ 上 1 次独立なので次元が $d$ 以上となる（Ber04 I.2.3 の言い換え）。
$$ \xymatrix{ B\otimes_{E}D_B(V) \ar[r]^-{\alpha_V} & B\otimes_{F}V \\ D_B(V) \ar@{^{(}->}[u] \ar@{^{(}->}[ur] & } $$
図式の斜めの矢印は包含 $D_B(V)=(B\otimes_FV)^G\subset B\otimes_FV$、縦の矢印は $x\mapsto1\otimes x$ であり、$\alpha_V(1\otimes x)=x$ なので図式は可換である。$V$ が $B$ 許容的とは、$V$ の情報が不変部分 $D_B(V)$ から $B$ の係数で完全に復元できるということである。

最初の例：$\bar K$ を周期環にする

$B=\bar K$（位相は考えない）、$G=G_K$、$F=\mathbb{Q}_p$ とする。$\bar K$ は体なので条件 2 は自動的にみたされ、$C=B$ なので条件 1 も成り立つ。$E=\bar K^{G_K}=K$ である（絶対Galois群 の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」 の 1 で $E=F=K$ とする）。

thm-pht-cyclotomic-surjective と合わせると、$\mathbb{Q}_p(m)$（$m\ne0$）は $\bar K$ 許容的でない。$\bar K$ は周期環として小さすぎ、興味のある表現の周期を含まない。そこで $\bar K$ を完備化した $\mathbb{C}_p$、さらに $t$ という「$2\pi i$ の $p$ 進類似」を添加した環へと進む。

Hodge–Tate 表現

Tate の定理

$\mathbb{C}_p$ の $G_K$ 作用について、次の 2 つの事実が基本である。この記事では証明しない。

1 と 2 の前半は Ber04 II.1.1 にあり、2 はそこで Tate の一般化されたトレース写像を使った証明の筋も述べられている（前半の $\psi$ が有限商を経由しないという条件は、像が無限であることから従う）。2 の「とくに」は、$\mathbb{C}_p(m)^{G_K}$ が $\psi=\chi^{-m}$ についての集合であること（「設定と記号」の式）と、thm-pht-cyclotomic-surjective の 3 により $\chi^{-m}(G_K)$ が無限群であることから従う。

周期環 $B_{\mathrm{HT}}$

重さの符号は文献によって逆の規約もある。この記事の規約（Ber04 II.1.2 と同じ）では $\mathbb{Q}_p(1)$ の重さは $1$ である。

ex-pht-ht-examples の 4 は、複素多様体の Hodge分解 $H^i(X,\mathbb{C})\cong\bigoplus_jH^{i-j}(X,\Omega^j)$ の $p$ 進版である。複素数の場合との違いは、Hodge 成分が Tate 捻り $\mathbb{C}_p(-j)$ で区別され、Galois 群の作用が「どの成分か」を記録していることにある。
Hodge–Tate 表現は、$\mathbb{C}_p$ 許容的な表現よりは広いが、$p$ 進表現全体よりは狭い。次の表はこの違いを示す。確かめは表の下にある。

周期環の階層

Hodge–Tate 表現は、$\mathbb{C}_p\otimes V$ が Tate 捻りの直和に分かれるという「次数付きの」情報しか見ない。Fontaine はより細かい周期環を構成した。以下の構成と性質はこの記事では証明せず、所在を示す。

• $B_{\mathrm{dR}}$：完備離散付値体で、$G_K$ の作用、フィルトレーション $\operatorname{Fil}^iB_{\mathrm{dR}}=t^iB_{\mathrm{dR}}^+$ をもち、$B_{\mathrm{dR}}^{G_K}=K$ である。ここで $t$ は $g(t)=\chi(g)t$ をみたす元で、「$\log$ をとった $1$ の $p$ 冪乗根の系」として作られる（Ber04 II.2.3）。$\operatorname{gr}B_{\mathrm{dR}}\cong\bigoplus_i\mathbb{C}_p(i)=B_{\mathrm{HT}}$ である。$B_{\mathrm{dR}}$ 許容的な表現を de Rham 表現といい、$D_{\mathrm{dR}}(V)$ はフィルトレーション付き $K$ ベクトル空間になる。
• $B_{\mathrm{cris}}$：$B_{\mathrm{dR}}$ の部分環で、Frobenius 作用素 $\varphi$ をもつ。$B_{\mathrm{cris}}^{G_K}=K_0$（$K$ の中の $\mathbb{Q}_p$ の最大不分岐拡大）である。$B_{\mathrm{cris}}$ 許容的な表現をクリスタリン表現といい、$D_{\mathrm{cris}}(V)$ はフィルトレーション付き $\varphi$ 加群になる（Ber04 II.3.1）。
• $B_{\mathrm{st}}=B_{\mathrm{cris}}[Y]$：さらにモノドロミー作用素 $N$ をもつ。$B_{\mathrm{st}}$ 許容的な表現を半安定表現という（Ber04 II.3.3）。
  周期環の包含 $B_{\mathrm{cris}}\subset B_{\mathrm{st}}\subset B_{\mathrm{dR}}$ と $\operatorname{gr}B_{\mathrm{dR}}=B_{\mathrm{HT}}$ から、表現のクラスには次の包含がある（Ber04 I.3 の表、II.2.3）。
  $$ \xymatrix{ \{\text{クリスタリン}\} \ar@{^{(}->}[r] & \{\text{半安定}\} \ar@{^{(}->}[r] & \{\text{de Rham}\} \ar@{^{(}->}[r] & \{\text{Hodge–Tate}\} \ar@{^{(}->}[r] & \{p\text{ 進表現}\} } $$
  たとえば「de Rham ならば Hodge–Tate」は、$D_{\mathrm{dR}}(V)$ のフィルトレーションの跳びが Hodge–Tate 重さの符号を変えたものになる、という形で示される（Ber04 II.2.3）。各クラスと、対応する幾何の性質・$\ell$ 進の類似を並べる。

  表現のクラス	付随する線形代数の対象	幾何での意味（$V=H^i_{\mathrm{et}}$）	$\ell$ 進表現での類似
  クリスタリン	フィルトレーション付き $\varphi$ 加群	よい還元	よい還元（不分岐な $\ell$ 進表現）
  半安定	フィルトレーション付き $(\varphi,N)$ 加群	半安定還元	惰性が単冪的に作用
  de Rham	フィルトレーション付き $K$ ベクトル空間	固有で滑らかなら常に成り立つ	すべての $\ell$ 進表現
  Hodge–Tate	次数付き $K$ ベクトル空間	Hodge 数を記録	—

  表の $\ell$ 進の列と還元の列は Ber04 I.3 の表と II.5.1 による。

主定理の地図

$p$ 進 Hodge 理論の主な定理を、この記事の言葉で並べる。どれもこの記事では証明しない。

1. de Rham 比較定理。$K$ 上の固有で滑らかな多様体 $X$ について、$V=H^i_{\mathrm{et}}(X_{\bar K},\mathbb{Q}_p)$ は de Rham 表現で、$D_{\mathrm{dR}}(V)\cong H^i_{\mathrm{dR}}(X/K)$ がフィルトレーション付き $K$ ベクトル空間として成り立つ（Ber04 I.2.3 の 3、II.5.1。剛解析多様体への拡張と Hodge–de Rham スペクトル系列の退化は Sch13 Theorem 1.6、Corollary 1.8）。複素数での同型 $\mathbb{C}\otimes H^i_{\mathrm{dR}}(X)\cong\mathbb{C}\otimes H^i(X,\mathbb{Z})$（微分形式の積分）の $p$ 進類似である。
2. 半安定比較定理とクリスタリン比較定理。$X$ が半安定還元をもつなら $V$ は半安定表現、よい還元をもつならクリスタリン表現である（Tsuji、Faltings、Nizioł による。Ber04 II.5.1）。
3. 弱許容加群の定理（Colmez–Fontaine）。$V\mapsto D_{\mathrm{cris}}(V)$ はクリスタリン表現の圏から許容的なフィルトレーション付き $\varphi$ 加群の圏への圏同値であり、半安定表現と $(\varphi,N)$ 加群についても同様である（Ber04 II.3.1、II.3.3）。ここで「許容的」は Newton 多角形と Hodge 多角形の比較で定まる線形代数の条件で、以前は「弱許容的」と呼ばれていた。
4. $p$ 進モノドロミー定理。de Rham 表現は潜在的に半安定である、すなわち $K$ の有限次拡大 $L$ に制限すると半安定表現になる（Ber04 IV.5）。$\ell$ 進表現がすべて準単冪的（quasi-unipotent）であるという Grothendieck の $\ell$ 進モノドロミー定理の類似である（同 IV.5.1）。
5. 還元の判定。$K$ 上のアーベル多様体 $A$ がよい還元をもつことと $V_pA$ がクリスタリン表現であることは同値で、半安定還元についても同様である（Coleman–Iovita、Breuil。Ber04 II.5.1）。$\ell$ 進表現での Néron–Ogg–Shafarevich の判定法の $p$ 進版である。
   大域的な問題への応用として、Fontaine–Mazur 予想がある。数体の絶対 Galois 群の $p$ 進表現が「幾何から来る」のは、有限個を除く素数で不分岐で、$p$ の上の分解群への制限が潜在的に半安定であるとき、かつそのときに限る、という予想である（Ber04 II.5.1）。$p$ 進 Hodge 理論は、Galoisコホモロジー の中の Selmer 群の局所条件（Bloch–加藤の指数写像）に使われる（Ber04 V.2）。

直感

$p$ 進 Hodge 理論が扱うのは、「Galois 群の作用」と「フィルトレーションや Frobenius などの線形代数の構造」という、まったく種類の違う 2 つの情報の翻訳である。周期環 $B$ はその翻訳の辞書にあたる。$B$ の中には $V$ と $D_B(V)$ の両方の基底が入り、その間の行列（周期）が 2 つの情報を結びつける。複素幾何での周期（微分形式を輪体上で積分した値）が $\mathbb{C}$ に値をとるのに対し、$p$ 進の周期は $\mathbb{C}_p$ よりはるかに大きい $B_{\mathrm{dR}}$ に値をとる。$\mathbb{C}_p$ だけでは $\mathbb{Q}_p(1)$ の周期すら表せない（thm-pht-tate）ことが、大きな周期環が必要になる理由である。

関連する概念との区別

• $\ell$ 進表現との違い：$\ell\ne p$ の $\ell$ 進表現は、$G_K$ の位相と $\ell$ 進位相の相性が悪いため代数的な性格が強く、周期環なしに扱える。$p$ 進表現は解析的な性格をもち、表現が多すぎるので、幾何から来るものを周期環で選び出す（Ber04 I.1.1）。
• 複素 Hodge 理論との違い：複素数の Hodge 分解は Kähler 多様体についての調和形式の理論から得られる。$p$ 進の Hodge–Tate 分解は、Kähler 条件にあたる仮定なしに、固有で滑らかな剛解析多様体で成り立つ（Sch13 Corollary 1.8 の後の注意）。
• $(\varphi,\Gamma)$ 加群：すべての $p$ 進表現を線形代数の対象（Frobenius と $\Gamma_K=\operatorname{Gal}(K(\mu_{p^\infty})/K)$ の作用をもつ加群）で記述する Fontaine の別の理論で、周期環の階層と補い合う（Ber04 III）。

関連項目

• 前提: p進数, 局所体, 絶対Galois群, Tate捻り, Tate加群
• 比較: Hodge分解, de Rhamの定理, エタールコホモロジー, 結晶コホモロジー
• 発展: Galoisコホモロジー, 楕円曲線, 数論幾何学